【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题14 初等数论 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）原卷版

试卷第=page11页，共=sectionpages33页【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】专题14初等数论真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）一、单选题1．（2021·北京·高三强基计划）2021年是北大建校123周年，则满足建校n周年的正整数n能整除对应年份的n的个数为（

）A．4 B．8 C．12 D．前三个选项都不对2．（2021·北京·高三强基计划）设a，b是正整数n的正因数，使得，则n可以等于（

）A． B．C． D．前三个选项都不对3．（2021·北京·高三强基计划）在十进制下的末两位数字是（

）A．01 B．21 C．81 D．前三个选项都不对4．（2021·北京·高三强基计划）设n为正整数，且是完全平方数，则这样的n的个数为（

）A．1 B．2C．无穷个 D．前三个选项都不对5．（2021·北京·高三强基计划）设，若，则n的最小值为（

）A．71 B．72 C．80 D．816．（2021·北京·高三强基计划）方程的正整数解的组数为（

）A．0 B．2 C．无穷多 D．以上答案都不对7．（2021·北京·高三强基计划）已知，则S的个位数字是（

）A．4 B．5 C．7 D．以上答案都不对8．（2021·北京·高三强基计划）方程的整数解的组数为（

）A．0 B．1 C．2 D．以上答案都不对9．（2020·北京·高三强基计划）已知整数数列满足，且对任意，有，则的个位数字是（

）A．8 B．4 C．2 D．前三个答案都不对10．（2021·北京·高三强基计划）设正整数，且是完全平方数，则可能的n的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对11．（2020·北京·高三强基计划）对于不小于3的正整数n，若存在正整数使得构成等差数列，其中为组合数，则称n为“理想数”．不超过2020的“理想数"的个数为（

）A．40 B．41 C．42 D．前三个答案都不对12．（2020·北京·高三强基计划）在的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数则最多可选因数个数为（

）A．16 B．31 C．32 D．前三个答案都不对13．（2020·北京·高三强基计划）方程的整数解个数为（

）A．4 B．8 C．16 D．前三个答案都不对14．（2019·北京·高三校考强基计划）已知不定方程有正整数解，则正整数n的最小值为（

）A．11 B．13 C．15 D．1715．（2019·北京·高三校考强基计划）满足方程的有序正整数组的个数为（

）A．12 B．13 C．24 D．2516．（2019·北京·高三校考强基计划）在十进制数下，设a是的各位数字之和，而b是a的各位数字之和，则b的各位数字之和是（

）A．5 B．6 C．7 D．1617．（2021·北京·高三强基计划）若为非负整数，则方程的解有（

）A．83组 B．84组C．85组 D．以上答案都不对18．（2021·北京·高三强基计划）设是与的差的绝对值最小的整数，是与的差的绝对值最小的整数．记的前n项和为，的前n项和为，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对二、多选题19．（2021·北京·高三校考强基计划）若x，y为两个不同的质数，n为不小于2的正整数且，则（

）A．存在奇数n符合题意 B．不存在奇数n符合题意C．存在偶数n符合题意 D．不存在偶数n符合题意20．（2020·北京·高三校考强基计划）设的三边长a，b，c都是整数，面积是有理数，则a的值可以为（

）A．1 B．2 C．3 D．421．（2020·北京·高三校考强基计划）设x，y为不同的正整数，则下列结论中正确的有（

）A．与不可能同时为完全平方数B．与不可能同时为完全平方数C．与不可能同时为完全平方数D．以上答案都不正确三、填空题22．（2018·江西·高三竞赛）、为正整数，满足，则所有正整数对的个数为______．23．（2018·全国·高三竞赛）设n为正整数.从集合中任取一个正整数n恰为方程的解的概率为_______（表示不超过实数x的最大整数）.24．（2018·安徽·高三竞赛）设n是正整数，且满足，则n=__________.25．（2018·全国·高三竞赛）用表示不超过实数x的最大整数.则__________．26．（2018·山东·高三竞赛）已知，，且为方程的一个根，则的最大可能值为______．27．（2021·全国·高三竞赛）为正整数列，满足为的最小素因子，，构成集合A，P为所有质数构成的集合，则集合的最小元素为___________．28．（2021·全国·高三竞赛）集合整除中元素的个数为__________.29．（2020·北京·高三强基计划）已知表示不超过x的最大整数，记，则方程的整数解个数为__________．30．（2021·北京·高三强基计划）若可化简为最简分数，则_________．31．（2021·北京·高三强基计划）若正整数m，n满足，则有_________组．32．（2021·北京·高三强基计划）若存在正整数n，使得，则正整数m的最大值是_________．33．（2021·北京·高三强基计划）已知表示不超过x的最大整数，则的值域为_________．34．（2020·北京·高三强基计划）已知表示不超过x的最大整数，如等，则__________．35．（2021·北京·高三强基计划）已知是常数项不为0的整系数多项式，，则中有_________项为0．四、解答题36．（2018·全国·高三竞赛）求最小的两个正整数m，使得为完全平方数.37．（2018·全国·高三竞赛）证明：存在无穷多个正整数n，使得，其中，[x]表示不超过实数x的最大整数．38．（2018·全国·高三竞赛）求所有素数p，使得.39．（2018·全国·高三竞赛）证明：存在无穷多个素数，使得对于这些素数中的每一个p，至少存在一个，满足.40．（2018·江西·高三竞赛）求最小的正整数，使得当正整数点时，在前个正整数构成的集合中，对任意总存在另一个数且，满足为平方数．41．（2019·全国·高三校联考竞赛）求满足以下条件的所有正整数n：（1）n至少有4个正因数；（2）若是n的所有正因数，，构成等比数列.42．（2019·上海·高三校联考竞赛）求证：不存在无穷多项的素数数列，使得.43．（2019·吉林·高三校联考竞赛）求所有的正整数n，使得方程有正整数解.44．（2019·江西·高三校联考竞赛）试求所有由互异正奇数构成的三元集{a，b，c}，使其满足：.45．（2021·全国·高三竞赛）求方程的所有正整数解．46．（2021·全国·高三竞赛）求方程的整数解，其中p､q是质数，r､s是大于1的正整数，并证明所得到的解是全部解.47．（2021·全国·高三竞赛）证明：对任意正整数，都存在正整数和个互不相同的正整数，使是完全平方数．48．（2018·全国·高三竞赛）对于素数p，定义集合.及.试求所有的素数p，使得.49．（2021·全国·高三竞赛）已知是两个整数集合，且对于任意整数，存在