【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题06 不等式 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版

试卷第=page11页，共=sectionpages33页【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】专题06不等式真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）若正实数x，y，z，w满足和，则的最小值等于（

）A． B． C．1 D．前三个答案都不对【答案】D【分析】利用基本不等式可求最小值，从而可得正确的选项.【详解】根据题意，有，等号当时取得，因此所求最小值为．故选：D.2．（2021·北京·高三强基计划）已知，且，则的最小值是（

）A． B．C．417 D．以上答案都不对【答案】A【分析】根据题设条件可设，利用柯西不等式可求最小值.【详解】由可得，由对称性可设，则条件即即，从而，根据柯西不等式，等号当时取得．因此所求最小值为．故选：A.3．（2021·北京·高三强基计划）若a，b，c为非负实数，且，则的最小值为（

）A．3 B．5 C．7 D．以上答案都不对【答案】B【分析】利用非负性可求最小值.【详解】根据题意，有，等号当时可以取得，因此所求最小值为5．故选：B.二、填空题4．（2021·北京·高三强基计划）在锐角中，的最小值是_________．【答案】【分析】利用柯西不等式及三角形的恒等式可取最小值.【详解】记题中代数式为M，我们熟知三角形中的三角恒等式：，于是，等号当时取得，因此所求最小值为故答案为：5．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数满足，则的最小值为________．【答案】##0.5【详解】由柯西不等式知，且，所以，且当时取到等号．故答案为：.6．（2022·浙江·高二竞赛）设a，b，c，，，则的最小值为______.【答案】【详解】由题意可得，且，则，原问题等价于求函数的最小值.，，，，令，则，由可得，则单调递增，，则单调递增，，此时，.故答案为：.7．（2021·全国·高三竞赛）设正实数满足，则最大值为_________．【答案】【详解】解析：最大值为．记，则，故，即，对,求和，并结合算术-几何平均不等式，有，故，等号当时取到．所以原式的最大值为．故答案为：.8．（2021秋·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设，则当_______时，取到最大值．【答案】##2.5【分析】巧妙利用换元得到，将取对数运算得到，将所求问题转化为求的最大值问题，由使用两次基本不等式可求出的最大值，考查等号取得条件即可.【详解】设，则，设，则，可知，.，(当且仅当，即时取等号.)所以，故有最大值，所以就有最大值，即有最大值.故答案为:.【点睛】使用基本不等式求最值关键是要有定值才能求最值，没有明显的定值要进行变形拼凑.在此题中拼凑的定值有:①及，为求最大值做准备;②通过提取公因式实现因式分解拼凑乘积，，产生了与上面遥相呼应，可以使用基本不等式.三、解答题9．（2023·全国·高三专题练习）设，满足又设满足，证明：【答案】证明见解析.【分析】根据给定条件，利用多项式平方运算求出，再利用赋值法结合已知及进行不等式的放缩，推理判断作答.【详解】，于是，，因为，则，所以.10．（2023·全国·高三专题练习）设，是两个实系数非零多项式，且存在实数使得记，证明：【答案】证明见解析.【分析】根据给定条件，利用多项式恒等定理求出多项式的对应项系数的关系，再按和讨论，并结合含绝对值不等式的性质推理作答.【详解】因为，即，则有，于是，若，则，，，所以，于是，若，则由，得，于是，于是，，所以，于是，综上得：.11．（2021·全国·高三竞赛）已知：a，b，，求证：.【答案】证明见解析【详解】，因为a，b，，所以.于是，同理，.则：.故题中的不等式成立.12．（2021·全国·高三竞赛）求所有的正实数，使得存在实数满足．【答案】【详解】设，则不等式化为．当时，；当时，；当时，．因此不等式可化为．设，考虑在1和之间恒小于零，则，故，解得．所以的取值范围是．13．（2022·新疆·高二竞赛）（1）若实数x，y，z满足，证明：；（2）若2023个实数满足，求的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）不妨设，则.（2）因为2023为奇数，则中必存在（令）同号，不妨设同号，则：．不妨设，则，所以：．当且仅当或时等号成立．因此的最大值为．14．（2021·全国·高三竞赛）设m为正整数，且，求所有的实数组，使得，对所有成立．【答案】证明见解析.【分析】第一步化简原式，第二步利用不等式即可得到或，这两种情况是对称的，不妨证明的时候成立，所以原式成立.【详解】由已知，得，故全相等．注意到若实数满足，则，即．因此，．设中有，个b，则有，且，即．由不等式，若，，因此必取等，即或，这两种情况是对称的，不妨，则，知，则．若，则，即．若，则，即．综上可知，要么1个个；要么全是．15．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数，使得对任意正整数n及正实数，均有．【答案】的最大值为3．【分析】先取，通过对其求和可得的范围，再利用放缩法可得，最后求出最大的正实数的值.【详解】一方面，取，得即．令，得．另一方面对正实数x，y有，故，，，……．以上各式相加，得．故时，原不等式恒成立．综上，的最大值为3．16．（2021·全国·高三竞赛）已知证明：存在，使得.【答案】证明见解析【详解】不妨，设，当时，因为，即，当且仅当时，等号成立.故，所以存在，使得，即.所以存在，使得.17．（2021·全国·高三专题练习）已知：，，.求证：.【答案】证明见解析.【分析】构造一个直角三角形，使其两直角边长分别为和，而斜边之长则为（如图所示），证明不等式成立；再证明,即得证.【详解】证明：为了使得条件与待证式的中间部分在形式上接近一些，我们将该条件作如下变形：，进而有.①我们来构造这样一个直角三角形，使其两直角边长分别为和，而斜边之长则为（如图所示）.显然，这个直角三角形的三边长之间的关系是符合①的，从而满足条件.由图所示，根据定理“三角形任意两边之和大于第三边”，而有不等式成立.至于这个双联不等式的右边部分，也可由图，并根据直角三角形的边角关系知，.于是有所证不等式成立.18．（2021·全国·高三专题练习）已知a，b为正数，且，证明.【答案】证明见解析【分析】如图所示，可先构造，再构造，最后，作，由图形直观得，即得证.【详解】证明：由于.可先构造，使得，，如图所示.此时，.再以为斜边，为直角边构造，则.最后，作，过点D作交于点E，由得，由图形直观得，即.19．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设皆为正数，且满足，证明：【答案】证明见解析【详解】证法一：由AM-GM不等式有：，即.证法二：不妨设,则.从而原题转化为:已知,求证.令,则.不失一般性,我们设,则：(1)若,由Jesen不等式有：.(2)若.容易得到取得最小值当且仅当.20．（2023·全国·高三专题练习）实数和正数使得有三个实数根．且满足：（1）；（2），求的最大值.【答案】【分析】解法一：设，，，利用韦达定理可化简所求式子为，结合基本不等式可求得最大值，验证取等条件即可确定结果；解法二：由可令，，由此可化简所求式子为，令，，利用导数可求得，即为所求式子的最大值.【详解】解法一：由题意可设：，，，可令，由韦达定理得：，则，，则要取得最大值，则，（当且仅当，即时取等号），又满足，取，，则，此时，，，，，时，，的最大值为.解法二：，又，，令，，，；令，则，令，则，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，；当，时，即，，，，，时，，的最大值为.21．（2021·全国·高三竞赛）设，记：，其中求和是对1，2，…，n的所有个k元组合进行的，求证：．【答案】证明见解析【详解】任取，由柯西不等式，有：．所以．其中求和对1，2，…，n的所有个元组合进行．上式左边实际上是一些k元组合的求和，因对任意k元组合，选这k个数的元组合有个（余下的个数中任意一个数都与其构成一个元组合），故．这样便有，所以．再注意到，即得：．这就证明了，其中．即有．22．（2021·全国·高三竞赛）已知，且满足，求的最大值.【答案】当为偶数时，最大值为，当n为奇数时，最大值为.【详解】当且仅当时等号成立.（1）当为偶数时，最大时，显然需满足，否则用替换依然满足条件，且值增大.设，所以.当且仅当（为奇数，为偶数或为偶数，为奇数）时等号成立.（2）当为奇数时，必存在同号，不妨设同号，则：.不妨设，则，所以：.当且仅当或时等号成立.23．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数满足．证明：．【答案】证明见解析.【详解】当时，由平均值不等式知．又，则，所以．当时，即证．由于，所以，所以．命题得证．24．（2021·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）数列定义为，．证明，存在正整数，使得．【答案】证明见解析【详解】由题意．对，我们有：；．两式相减，得：，即．对有．取，则，从而满足要求．25．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数．求最大的实数．使得对任意正实数恒成立，其中．【答案】【详解】当时，令，则．当时，．令，则问题化为：，证明：．当时，首先证明：．

①①式，由均值不等式知成立．由①式知．假设时，对任意正实数结论成立．则时，由对称性不妨设中最大，则，所以，由归纳假设知，此时结论成立．由数学归纳法知，．故．当时，．由于，令，则，所以．综上所述，26．（2019·河南·高二校联考竞赛）锐角三角形ABC中，求证：.【答案】证明见解析【详解】原不等式等价于.在三角形ABC中，，.令，则原不等式等价于.而上式左边，故原不等式得证27．（2022·贵州·高二统考竞赛）正数，满足，求证：．【答案】证明见解析【详解】（柯西不等式），由均值不等式可得，令，，其中，则，所以．所以．28．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知整数，证明：.【答案】证明见解析【详解】解同除：，设，原题即证：，而，所以，即，，又，所以，即，，综上可得：时，，即.29．（2022·浙江杭州·高三学军中学校考竞赛）设实数满足，求的最小值.【答案】答案见解析【分析】由特例可得当为偶数时，的最小值为0，当为奇数时，问题可转化为“给定正奇数，设满足，,则恒成立.”，利用逐步调整法可证后者.【详解】当为偶数时，取，故的最小值为0；当为奇数时，也可只取，其余为0，此时，下证当为奇数时，恒成立.（利用换元可以得到更直观的形式如问题2）.问题2：给定正奇数，设满足，,则恒成立.证明：注意到若同号，即有，因为为正奇数，则必定存在一组同号，否则若均异号，则的符号必定相异.若还存在其他组，则可得成立，若无其他组同号，不妨，可设，（若等于0的可以进行小范围微调，只要不影响绝对值内数值的符号即可）.因为无其他组同号，故，此时同号.记，则且对，设，下