【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题05 数列 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版

试卷第=page11页，共=sectionpages33页【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】专题05数列真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）满足对任意有且严格递增的数列的个数为（

）A．0 B．1 C．无穷多个 D．前三个答案都不对【答案】B【分析】由题设可得，故可求，故可判断符合条件的数列的个数.【详解】设，根据题意，有，从而，进而，顺此只有当时，为严格递增数列；当时，为摆动数列．故选：B.2．（2020·北京·高三强基计划）已知数列满足，且对任意，有，其前n项和为，则的最大值等于（

）A．28 B．35 C．47 D．前三个答案都不对【答案】A【分析】根据递推关系可得数列为递减数列且从第5项开始为负，故可求的最大值.【详解】根据题意，有，于是数列为8，4，，…，从第3项起为负数，因此数列从第3项起单调递减，而数列为，因此的最大值为．故选：A.3．（2020·北京·高三强基计划）设x，y，z均不为，其中k为整数．已知成等差数列，则依然成等差数列的是（

）A． B．C． D．前三个答案都不对【答案】C【分析】利用和差化积、同角三角函数的基本关系式可得，从而可得正确的选项.【详解】根据题意，有，根据和差化积公式，可得，由和差角公式可得，两边同除以，可得，因此成等差数列，故选：C4．（2020·北京·高三强基计划）已知整数数列满足，且对任意，有，则的个位数字是（

）A．8 B．4 C．2 D．前三个答案都不对【答案】A【分析】根据递推关系可得，从而各项个位数字周期性出现，故可得正确的选项.【详解】根据题意，有，因此，从而，于是模10的余数为n123456789101448402886n111213141516171819208046626082n212223242526272829302420644840从第2项起，以24为周期，因此．故选A.5．（2020·北京·高三校考强基计划）设数列的前n项和，且实数p满足．则p的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据前项和与通项的关系可求数列的通项，再求出数列的最大值和最小项后可得正确的选项.【详解】在题中等式中分别令，有，，，于是，，进而可得，．接下来考虑p的取值范围．根据题意，p在数列的任意相邻两项之间．一方面，有，即．另一方面，当时，有，且，于是有．综上所述，实数p的取值范围是．故选：A.6．（2021·北京·高三强基计划）已知数列满足，数列满足，若正整数m满足，则m的最小值为（

）A．23 B．24 C．25 D．以上答案都不对【答案】B【分析】可证且，从而可得m的最小值.【详解】引入参数，k，尝试证明，该不等式若能递推证明，需要，也即，取，则递推证明成立，此时递推起点可以选择当时取，有，这样就得到了．类似的，引入参数，p，尝试证明，该不等式若能递推证明，需要，也即，取，则递推证明成立，此时递推起点可以选择当时取，有，这排就得到了．综上所述，m的最小值为24．故选：B.7．（2021·北京·高三强基计划）设是与的差的绝对值最小的整数，是与的差的绝对值最小的整数．记的前n项和为，的前n项和为，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对【答案】A【分析】根据整数的性质可得且，故可求的值.【详解】容易证明的小数部分不可能为0.5，因此，整理可得，故，注意到当时，，因此．类似的，有，整理可得，故，注意到当时，，因此．综上所述，有．故选：A.二、多选题8．（2020·北京·高三校考强基计划）已知数列满足，则（

）A．存在数列A，使得B．存在数列A，使得C．存在数列A，使得D．存在数列A，使得【答案】BC【分析】根据递推关系可得可以取从到的所有奇数且，故可得正确的选项.【详解】因为，可以取从到的所有奇数.而，取可得，因此．而可以取从到21的所有奇数（可以递推证明可以取从到的所有得数，可以取从到的所有奇数），因此可以取2（当时）和10（当时），无法取得0，12．故选：BC.9．（2020·北京·高三校考强基计划）设数列的前n项和为，若数列满足对任意，均存在，使得，则称数列为T数列．下列命题中正确的有（

）A．若则为T数列B．若（其中a为常数），则为T数列C．若均为T数列，，则为等差数列D．若为等差数列，则存在两个T数列，，使得【答案】ABD【分析】求出前项和后可判断AB的正误，对于D，可将等差数列分拆为两个等差数列，它们的公差为首项，从而可判断D的正误，通过反例可判断C的正误.【详解】对于选项A，对应的，因此取即可，命题正确．对于选项B，对应的，因此取即可，命题正确．对于选项C，取且，则，不为等差数列．对于选项D，设，则考虑，取，则命题成立．综上所述，选项ABD正确．故选：ABD.三、填空题10．（2022·福建·高二统考竞赛）已知各项均为正数的等比数列中，，.数列满足：对任意正整数n，有，则___________.【答案】【详解】设的公比为q，则由得，结合，得，，又，因此，因为，所以当时，，，当时，，所以，因此，对一切正整数n，，设，则，，于是，，所以，故答案为：.11．（2021·全国·高三竞赛）设数列的首项，且求．【答案】【详解】若n为偶数，则，即，所以，于是．故．若n为奇数，则，即，所以．于是，；故答案为：.12．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足：，且当为偶数时，；当为奇数时，.若，则___________.【答案】或56##56或9.【详解】解析：（1）当m是奇数时，是偶数，所以，，或，解之得或，经检验，.（2）当m是偶数时，①当时，，或，解之得或，所以或8，经检验，.②当时，，所以，无解.综上所述，或56.故答案为：或56.13．（2022·北京·高三校考强基计划）已知与均为完全平方数且不超过2022，则正整数的个数为___________.【答案】1【分析】根据题意整理可得：，构建佩尔方程，先结合题意得，再根据广义佩尔方程的通解可得，再根据特征方程可得二阶线性递推公式，代入检验判断．【详解】设化简得到，即，由于为佩尔方程的一组解，由佩尔方程的性质知其有无穷多组解，对其任意一组解，由于，所以为被3整除的正奇数.则，知这样的均为正整数.由于，知，所以，为佩尔方程的基本解由佩尔方程的通解知，由特征方程知其所对应的递推公式为，得，因此仅满足条件，此时.所以这样的为1个.故答案为：1．14．（2022·浙江·高二竞赛）设数列满足，，则的值为______.（结果用和表示）【答案】【详解】，，，易证得，，，故答案为：.15．（2022·浙江·高二竞赛）已知，，，，1，2，…，则满足的最小正整数n为______.【答案】23【详解】，，，，，由此可知，数列为：，猜想数列中对，一定有两个连续的项，据此可得数列中有项：，，，故假设对于也成立，由上述过程可知，只有型数为正，而大于2022的型数为2048，即的最小值为.16．（2021·江苏·高三强基计划）是与最接近的整数，则_________．【答案】##88.9【分析】先求解的范围，再结合其特性写出的通项，最后求和.【详解】根据题意，可设，所以化简得从而有所以满足的有个，即的n有个所以.17．（2020·北京·高三强基计划）已知表示不超过x的最大整数，如等，则__________．【答案】【分析】根据可求的形式，再利用分组求和可求数列的和.【详解】由于，于是设原式为M，则．故答案为：.18．（2022·北京·高三校考强基计划）若三边长为等差数列，则的取值范围是___________.【答案】【分析】通过余弦定理以及等差数列的性质，将目标式转化为关于公差的关系是，通过公差的范围得出结论.【详解】不妨设三边长为，其中.此时：故答案为：.19．（2022·北京·高三校考强基计划）已知数列各项均为正整数，且中存在一项为3，可能的数列的个数为___________.【答案】211【分析】由题意记，则，设，则，对于给定的可唯一确定一组数列，从而可求出数列的个数【详解】解：记，则，对确定的，数列各项间的大小顺序即确定，设，则，对于给定的可唯一确定一组数列，由于且，这样的数列共个，其中不符合题设条件的数列各项均为1或2，这样的数列有个，综上所述，符合要求的数列共有个.故答案为：21120．（2022·北京·高三校考强基计划）已知数列满足，则最接近的整数为___________.【答案】4【分析】令，将原递推化简为可得是以为首项，公比为的等比数列.进而得到，再根据的范围确定的范围即可【详解】令，则且，原递推即为，整理后即为，由得，即，故是以为首项，公比为的等比数列.所以.所以，另一方面，，所以，综上所述，，所以与之最接近的整数为4.故答案为：4四、解答题21．（2021·全国·高三竞赛）求证：对于正整数n，令，数列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（表示不超过实数x的最大整数）．【答案】证明见解析【详解】在二进制中，记，其中.用反证法，先证明数列中有无穷多个偶数．假设，数列中只有有限个偶数，那么存在整数N，，是奇数，则存在正整数，使得，且当时，，故，矛盾！同理可证明数列中有无穷多个偶数．所以数列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数．22．（2021·全国·高三竞赛）数列满足且．证明：其中无理数．【答案】证明见解析【详解】证法一：由递推关系有.故．两边取对数并利用已知不等式得：．故．有，，…．将上述不等式两边相加可得．即，故．证法二：由数学归纳法易证对成立，故．令，则．对上述不等式两边取对数并利用已知不等式得：．故，，…．将上述不等式两边相加可得：．因．故．故，又显然，故对一切成立．23．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数，使得对任意正整数n及正实数，均有．【答案】的最大值为3．【分析】先取，通过对其求和可得的范围，再利用放缩法可得，最后求出最大的正实数的值.【详解】一方面，取，得即．令，得．另一方面对正实数x，y有，故，，，……．以上各式相加，得．故时，原不等式恒成立．综上，的最大值为3．24．（2022·江苏南京·高三强基计划）设的两个根分别为，，设.(1)求证：；(2)求的个位数字.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由题意可知，，此时：，，则：，此时.（2）因为，，上述两式相加可得，设为的个位数字，则：，，，，，，，，则数列是以6为周期的数列，则.25．（2022·江苏苏州·高二统考竞赛）已知数列满足，，且，.(1)证明：；(2)证明：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据题意整理可得，结合符号分析可得故与同号，进而可证，再代入原式放缩可得，可证；（2）根据题意可得，利用累加法得，进而分析得，再利用放缩可得，结合裂项相消法求和证明．(1)由已知数列满足，，且，，即，故，由，，有，，故与同号，因为，则，，以此类推可知，对任意的，，所以，则，所以.(2)因为，则，，，累加得，所以，可得.当时，，故.【点睛】解该题的关键是因式分解和放缩的运用，观察题中递推公式因式分解得：；放缩的灵活准确运用：，和．26．（2020·浙江·高三竞赛）已知数列满足，，.（1）若对任意的正整数，有，求实数的取值范围；（2）若，且对任意大于1的正整数，有恒成立，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【详解】解（1）必要条件：，解得，此时.设时，，则当时，，因为，，故，由数学归纳法可知时，有.（2）由题意有，，，则，.因为，故，若，则，则恒成立，这不可能成立，故，猜想：，下面利用数学归纳法证明.当时，设当时，有，则当时，；另一方面：.由数学归纳法可得猜想成立.因为对任意大于1的正整数，有恒成立，故，故对任意大于1的正整数，有恒成立，取，则，取，则，故，而，故.下证：,当时，由的取值范围的来源可得不等式成立，设当时，，则当时，而()，所以，又而，故成立，由数学归纳法得到对任意的恒成立，故的最小值为：27．（2021·全国·高三竞赛）已知.求证：.【答案】证明见解析【详解】当时，，并且时，，因此，对任意，存在唯一的，使得.则有，所以.同理，，所以（其中充分大使得）.28．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知整数，证明：.【答案】证明见解析【详解】解同除：，设，原题即证：，而，所以，即，，又，所以，即，，综上可得：时，，即.29．（2021·浙江·高二竞赛）设为给定的正整数，，，…，为满足对每个都有的一列实数，求的最大值.【答案】.【分析】先利用和的变换得到，然后利用绝对值不等式放缩，并利用已知条件得到，然后构造满足题意的实数组，并使得这里的所有“≤”取等号，从而说明的最大值为.【详解】由，所以.取则满足对每个都有，且此时,所以的最大值为,故答案为：.30．（2021·全国·高三竞赛）求所有无穷正整数列满足下列条件：（1）；（2）不存在正整数（可以相同i、j、k）使．（3）有无穷多个正整数k，使．【答案】答案见解析【详解】所求的正整数列只有．一方面，不难验证此数列满足条件．另一方面，我