【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题02 函数 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版

试卷第=page11页，共=sectionpages33页【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】专题02函数真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）一、单选题1．（2020·北京·高三校考强基计划）设函数在区间上存在零点，则的最小值为（

）A． B．e C． D．【答案】D【分析】利用点到直线的距离结合导数可求的最小值.【详解】设零点为t，则，因此，考虑函数，其导函数，因此函数在上单调递减，从而的最小值为．故选：D.2．（2020·北京·高三校考强基计划）设多项式的各项系数都是非负实数，且，则的常数项的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数可求系数和的4个等式，结合组合数的性质可判断常数项的最小值.【详解】设，其中，则从而，，，，于是，等号当时取得，因此所求最小值为，故选：B.3．（2020·北京·高三校考强基计划）设函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函数的对称性可求，再利用特殊值法可判断最小值小于零，从而可判断CD的正误.【详解】注意到，因此，故选项A正确，选项B错误．而注意到，于是，故选项CD错误．综上所述，只有选项A正确．故选：A.4．（2020·北京·高三校考强基计划）已知的导数存在，的图象如图所示，设是由曲线与直线，及x轴围成的平面图形的面积，则在区间上（

）A．的最大值是，最小值是 B．的最大值是，最小值是C．的最大值是，最小值是 D．的最大值是，最小值是【答案】D【分析】根据图像，利用导数的定义，化简，然后，逐个选项进行判断即可.【详解】如图所示，的最大值为，最小值为．由导函数的定义，得．则的最大值是，最小值是.故选：D5．（2022·北京·高三校考强基计划）已知表示不超过的整数，如.已知，则（

）A．321 B．322 C．323 D．以上都不对【答案】A【分析】记，则由其所对应的特征根方程知数列满足，由递推关系依次求出各项，再结合放缩法即可求解【详解】记，则由其所对应的特征根方程知数列满足且，依次可得，而，所以，所以，所以.故选：A6．（2022·全国·高三专题练习）设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数的取值范围为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】利用函数的单调性可以证明.令函数，化为.令，利用导数研究其单调性即可得出.【详解】解：，当时，取得最大值，当时，取得最小值，即函数的取值范围为，，若上存在点，使得成立，则，.又在定义域上单调递增.所以假设，则（c），不满足.同理假设，也不满足.综上可得：.，.函数，的定义域为，等价为，在，上有解即平方得，则，设，则，由得，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减，即当时，函数取得极小值，即（1），当时，（e），则.则.故选：.【点睛】本题考查了函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题.二、多选题7．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设函数则（

）A．当有极小值时，B．当有极大值时，C．当连续时，的可能值有3个D．当有2极值点时，或【答案】BC【分析】作出和的图象,由图象依次判断各选项即可得出结果.【详解】作出和的图象,如图,有两个极值点.对于选项A,当时，有极小值，A错误；对于选项B,当有极大值时，，所以B正确；选项C,要使连续，则必须取在和的交点处，这样的恰有三个,故C正确；对于选项D,要有两个极值点，则或，故D错误.故选：BC.8．（2022·浙江宁波·高三统考竞赛）已知且，关于x的不等式，下列结论正确的是（

）A．存在a，使得该不等式的解集是RB．存在a，使得该不等式的解集是C．存在a，使得该不等式的解集是D．存在a，使得该不等式的解集是【答案】ACD【分析】结合指数函数相关知识对选项逐一进行判定.【详解】①，故A正确；②，又，故存在a使得，不等式解集为故C正确；③，又，故存在a使得，不等式解集为故D正确；④结合A、C、D选项，当或或时，不等式都存在解集，故不满足解集为空集，所以B错误.故选：ACD．9．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设正整数使得关于的方程在区间内恰有个实根，则（

）A．B．C．D．，，成等差数列【答案】ABC【分析】利用函数图象，结合图象判断每个选项即可.【详解】解：如图所示，函数与函数恰有个交点.选项A，根据对称性可知，正确；选项B，考虑在区间内，两函数在时相切，所以，所以满足，而，所以，正确；选项C，两函数在时相切，所以，所以，正确；选项D，若，，成等差数列，则因为，关于原点对称，所以必有，即，则，则，故不符合题意，错误.故选：ABC.三、填空题10．（2022秋·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考竞赛）若函数的定义域为，值域为，则实数t的取值范围是___________.【答案】【详解】解析：易知在上单调递减，因为函数的值域为，所以即两式相减得，，所以.因为，所以，而，所以.又，所以.故答案为：.11．（2022·新疆·高二竞赛）已知，则不等式的解集为___________．【答案】【详解】令，易得为奇函数且单调递增．原不等式等价于．所以．故答案为：.12．（2021·全国·高二专题练习）若函数满足（其中为自然对数的底数），且，则___________.【答案】0【分析】构造函数，可得，即，结合，可得，即，，代入即得解【详解】令，则，∴.又，∴，∴，∴，于是，.故答案为：013．（2022·广西·高二统考竞赛）设是严格单调递增的函数，其反函数为．设，分别是方程和的解，则______．【答案】2【详解】严格单调递增．且，故，，于是.故答案为：2.14．（2022·广西·高二统考竞赛）已知，．设，则的整数部分为______．【答案】14996【详解】由，取，，将不等式相加可得，则的整数部分为14996．故答案为：14996．15．（2022·江苏南京·高三强基计划）函数的值域为___________.【答案】【详解】令，由得，则，，所以.故答案为：.16．（2022·福建·高二统考竞赛）已知函数在区间上恒正，则实数a的取值范围为___________.【答案】【详解】设，由，得，当，且时，，所以时，在区间上递增，①若，则时，，因此，②若，则时，，因此，综上，a的取值范围为.故答案为：.17．（2022·贵州·高二统考竞赛）函数的对称中心为，则_____．【答案】1【详解】∵，设，，∴是奇函数，所以f(x)关于点对称，∴．故答案为：1.18．（2022·贵州·高二统考竞赛），使得（）恒成立，则所有满足条件的a的和_____．【答案】0【详解】由得，，令，，，，，在同一坐标下的图像如图所示：由得，，当时，，由图对称性知，∴，∴，∴元素之和为0，故答案为：0.19．（2021·全国·高三竞赛）已知方程有三个实根．若，则实数__________．【答案】【详解】设，注意到．故方程可变形为．由，得，从而有由，得，进而．再由，得．因为，所以，即，解得．故答案为：.20．（2021·全国·高三竞赛）已知s､t是关于x的整系数方程的两根，，则当正整数a取得最小值时，___________.【答案】【详解】设，则，因为，所以，所以.又因为，所以，但，所以.当时，，所以，所以.于是，故.21．（2021·全国·高三竞赛），可以表示为一个偶函数和奇函数的和，则的最小值是_________．【答案】0【详解】解析：因为可以表示为一个偶函数和奇函数的和，所以，，当时，．故答案为：0.22．（2021·全国·高三竞赛）方程的不同的实数解的个数为___________.【答案】5【详解】解析：易知是原方程的解.当时，利用，原方程等价于.方程两端同除x，整理后得.再同除x，得.即，从而有.经验证均是原方程的根，所以原方程共有5个不同的实数根.故答案为：5.23．（2020·江苏·高三竞赛）已知函数是定义在上的奇函数，若为偶函数，且，则实数的最大值为___________．【答案】1【详解】解析：由题意，则，求导可得为单调递增的函数，故，则，解得，则实数的最大值为1．故答案为：1.24．（2022·北京·高三校考强基计划）已知是二次函数，，且，则___________.【答案】36【分析】法一：由，可设，则由整理后即为，由得，讨论，可得出，由此可解出，可求出的解析式，即可得出答案.法二：由，设，讨论和结合题目条件可解得，可求出的解析式，即可得出答案.【详解】法一：由，可设，则由得，所以且，整理后即为，由得，若则必有，此时与矛盾，所以且，整理后为，与相加即得，即，所以，所以，又由于在原不等式中令可得，所以，由此解得.所以.法二：，令，则，设.若，则，于是时，存在使得，矛盾；时，存在使得，矛盾；故，令，则.于是，进而.故答案为：36.25．（2021·全国·高三竞赛）实数x、y满足则x、y的大小关系是___________．【答案】##【分析】比较x、y的大小关系，在等式中比较x、y的大小关系，利用假设法结论正确的答案，结论错误则结果与假设的相反.【详解】假设．由①知，由于，则，从而．设，则在上递减，且，又，所以．于是．由②知，，又，所以，即．类似上面有．于是与矛盾故．故答案为：.26．（2021·全国·高三竞赛）已知函数，如果不等式对恒成立，则实数m的取值范围_______________.【答案】【分析】求出，将已知条件转化为对恒成立，利用换元法转化为，对恒成立，由可解得结果.【详解】，得又，，，由题意得对恒成立，等价于，即对恒成立，显然，令，所以，对恒成立，令是关于t的一次函数，要使，对恒成立，需，即，解得：，所以实数m的取值范围故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图像在上方即可)；③讨论最值或恒成立27．（2020·全国·高三竞赛）设，满足：关于x的方程恰有三个不同的实数解，且，则的值为_____．【答案】144．【分析】令，将方程根的问题转化为函数问题，结合函数的奇偶性和单调性进行计算，即可得到结果.【详解】解：令，则关于t的方程恰有三个不同的实数解．由于为偶函数，故方程的三个实数解关于数轴原点对称分布，从而必有．以下求方程的实数解．当时，，等号成立当且仅当；当时，单调增，且当时；当时，单调减，且当时．从而方程恰有三个实数解．由条件知，结合得．于是．故答案为：144【点睛】关键点点睛：要求解方程的根，关键是转化为函数问题，结合函数的奇偶性和单调性进行求解，考查转化能力.四、解答题28．（2022·广西·高二统考竞赛）设为正整数，，，令．求证：存在使得，．【答案】证明见解析【详解】首先证明，．否则，由可知存在正整数，使得，，从而.（1）若，则由得到，矛盾（2）若，则由得到，矛盾．下面证明，．假设存在，，则由可知存在正整数，使，.（3）若，则，矛盾．（4）若，则由可得，从而有或者，矛盾．因此，存在使得，.29．（2022·福建·高二统考竞赛）如果对任意的整数x，y，不等式恒成立，求最大常数k.【答案】3【详解】当时，有，因此，下面证明不等式对任意整数x，y均成立，设，则，由二次函数性