2025年春华师版数学九年级下册教学课件 26.2.3 求二次函数的表达式

26.2二次函数的图象与性质第26章

二次函数3.求二次函数的表达式复习引入1.

一次函数

y

=

kx

+

b

(k

≠

0)

有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？2.

求一次函数表达式的方法是什么？一般步骤有哪些？2

个2

个待定系数法(1)设：表达式(2)代：坐标代入(3)解：方程（组）(4)还原：写表达式{∴典例精析

例1

已知二次函数

y＝ax2＋c的图象经过点(2，3)和(－1，－3)，求这个二次函数的表达式．

解：∵该图象经过点

(2，3)和(－1，－3)，

3=4a+c，－3=a+c，∴所求二次函数表达式为

y=2x2－5.a=2，c=－5.解得关于

y

轴对称{特殊条件的二次函数的表达式1.已知二次函数

y＝ax2＋bx的图象经过点(－2，8)

和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．

解：∵该图象经过点

(-2，8)和

(-1，5)，针对训练图象经过原点∴

8=4a-

2b，5=a-

b，解得∴

y=-x2-

6x.{{a=-1，b=-6.

选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是

y

=

a(x

-

h)2

+

k，把顶点

(-2，1)代入

y

=

a(x

-

h)2

+

k

得

y

=

a(x

+

2)2

+

1，再把点

(1，-8)代入上式得a(1

+

2)2

+

1

=

-8，解得a

=

-1.∴所求的二次函数的表达式是y=

-(x+2)2+1或y=

-x2-4x-3.顶点法求二次函数的表达式归纳总结顶点法求二次函数的方法这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：①

设函数表达式是

y

=

a(x

+

h)2

+

k；②

先代入顶点坐标，得到关于

a

的一元一次方程；③

将另一点的坐标代入原方程求出

a

的值；④

将

a

用数值换掉，写出函数表达式，然后化为一

般式.例2

一个二次函数的图象经点

(0，1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式.解：因为这个二次函数的图象的顶点坐标为

(8，9)，所以可设其表达式为

y

=

a(x

-

8)2

+

9.又因为它的图象经过点(0，1)，所以1

=

a(0

-

8)2

+

9，解得故所求的二次函数的表达式是

y

=

(x

-

8)2

+

9，即

y

=

x2

+

2x

+

1.解：∵

(-3，0)，(-1，0)是抛物线与

x

轴的交点，∴可设其表达式为

y

=

a(x

+

3)(x

+

1).代入点

(0，-3)，得a(0

+

3)(0

+

1)

=

-3，解得

a

=

-1.∴

所求表达式为

y

=

-(x

+

3)(x

+

1)，即

y

=

-x2

-

4x

-

3.

选取二次函数图象上的三点

(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式.

xyO12-1-2-3-4-2-4-31交点法求二次函数的表达式归纳总结交点法求二次函数表达式的方法

这种已知抛物线与

x

轴的交点坐标，求表达式的方法叫做交点法.其一般步骤是：①

设其表达式是

y

=

a(x

-

x1)(x

-

x2)(其中

x1，x2

分别是两交点的横坐标)；②

将抛物线经过的第三点的坐标代入表达式，得到关于

a

的一元一次方程；③

解方程得出

a

值；④

写出表达式，并化为一般式.想一想确定二次函数的这三点应满足什么条件？

这三点不能在同一条直线上（其中两点的连线可垂直于

y

轴，但不可以垂直于

x

轴）.合作探究一般式法二次函数的表达式问题1

（1）二次函数

y

=

ax2

+

bx

+

c

(a

≠

0)

中有几个待定系数？需要抛物线上的几个点的坐标才能求出系数？3个3个（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象时所列表格的一部分：x-3-2-1012y010-3-8-15①

选取图象经过的三点(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式.

解：设这个二次函数的表达式为

y

=

ax2

+

bx

+

c，把

(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)

代入表达式，得9a

-

3b

+

c

=

0，a

-

b

+

c

=

0，c

=

-3，解得a

=

-1，b

=

-4，c

=

-3.∴

所求的二次函数的表达式为

y

=

-x2

-

4x

-

3.待定系数法步骤:1.设：表达式2.代：坐标代入3.解：方程(组)4.还原：写解析式这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其一般步骤是：①

设函数表达式为

y

=

ax2

+

bx

+

c；②

代入三点的坐标后得到一个三元一次方程组；③

解方程组得到

a，b，c

的值；④

把待定系数用求得的值换掉，写出函数表达式.归纳总结一般式法求二次函数表达式的方法1.

如图，在平面直角坐标系中，该抛物线的表达式应是

.

注

y

=

ax2

与

y

=

ax2

+

k，y

=

a(x

+

h)2，y

=

a(x

+

h)2

+

k

一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.注意xyO2-2-42-242.

过点

(2，4)，且当

x

=

1

时，y

有最值为

6，则其表达式是

.y

=

-2x2+

4x

+4顶点坐标是

(1，6)3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次函数的表达式．解：设这个二次函数的表达式为

y＝ax2＋bx＋c.依题意得∴这个二次函数的表达式为

y＝2x2＋3x－4.a＋b＋c＝1，c＝－4，a－b＋c＝－5，解得b＝3，c＝－4.a＝2，4.已知抛物线与

x轴相交于点

A(－1，0)，B(1，0)，且过点

M(0，1)，求此抛物线的表达式．解：由于点

A(－1，0)，B(1，0)是抛物线与

x轴的交点，故可设该抛物线的表达式为

y＝a(x＋1)(x－1).又因为抛物线过点

M(0，1)，∴1＝a(0＋1)(0－1)，解得

a＝－1.∴所求抛物线的表达式为

y＝－(x＋1)(x－1)，即

y＝－x2＋1.5.如图，抛物线

y＝x2＋bx＋c过点

A(－4，－3)，与

y轴交于点

B，对称轴是

x＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的表达式；解：把点

A(－4，－3)代入

y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，即

c＝4b－19.∵对称轴是

x＝－3，∴

＝－3.∴b＝6.∴c＝4b－19＝5.∴该抛物线的表达式为

y＝x2＋6x＋5.(2)若与

x轴平行的直线和抛物线交于

C，D两点，点

C在对称轴左侧，且

CD＝8，求△BCD的面积．解：∵CD∥x轴，∴点

C与点

D关于

x＝－3对称.∵点

C在对称轴左侧，且CD＝8，∴点

C的横坐标为－7.∴点

C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.易得点

B的坐标为(0，5)，∴△BCD中

CD边上的高为12－5＝7.∴△B