2025年春北师版数学八年级下册 2.5 第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系 教案

2.5一元一次不等式与一次函数第1课时一元一次不等式与一次函数的关系教学内容第1课时一元一次不等式与一次函数的关系课时1核心素养目标根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解问题，培养抽象能力和应用能力.通过学习理解一次函数与方程、不等式的关系，发展运算能力和推理应用意识，能够探究实际生活中蕴含的数学规律.通过运用一次函数与方程、不等式的关系解决有关现实问题，学生会运用数据形成合理判断或决策，感悟数据的价值.知识目标通过观察函数图象、求方程的解和不等式的解集，从中体会一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系.通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系.感知不等式、方程、函数的不同作用与内在联系.教学重点认识一元一次不等式与一次函数之间的联系．教学难点会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义.教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、复习导入二、探究新知当堂练习，巩固所学温习旧知，导入新知1.解不等式2x－5＞0.2.一次函数的图象是__________.它与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是；要作一次函数的图象，只需_____点即可.3.一次函数y=2x–5它与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是.师生活动：教师提问，学生积极举手发言，预测学生能正确回答这些问题.小组合作，探究概念和性质知识点一：一元一次不等式与一次函数作出一次函数y＝2x－5的图象师生活动：学生独立画图，可能有学生描5个点，有学生描2个点，对此教师都可予以鼓励，为节省时间，本题展示可用两点画图法.观察图象回答下列问题：(1)x取何值时，2x－5＝0师生活动：学生可能会用解方程的方法解答，教师需引导学生观察图像，y＝2x－5中2x－5＝0，意味着y＝0，即y＝2x－5与x的交点(2.5，0)处2x－5＝0，∴x＝2.5，2x－5＝0.(2)x取哪些值时，2x－5＞0师生活动：学生可以类比第（1）问的分析，思考2x－5＞0意味着y＞0，教师引导学生观察图像，函数图像哪一部分在x轴上方.学生可得：∴x＞2.5，2x－5＞0.x取哪些值时，2x－5＜0？师生活动：学生独立思考，基于前两问分析讲解，学生应能得出2x－5＜0意味着y＜0，∴x＜2.5，2x－5＜0.x取哪些值时，2x－5＞1？师生活动：学生小组讨论，小组代表发言汇报讨论结果：2x－5＞1意味着y＞1，可以在一次函数图像上找到y=1的点(3，1)，∴x＞3，2x－5＞1想一想如果y＝-2x-5，那么当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＜1？师生活动：学生小组讨论，小组代表发言汇报讨论结果，预测有两种思路：思路一：运用函数图象解不等式.由图象可得当x＞2.5时，y＜0.当x＞-3时，y＜1.思路二：将函数问题转化为不等式问题.即解不等式-2x-5＜0，则x＞-2.5.-2x-5＜1，则x＞-3.∴当x＞-2.5时，y＜0.∴当x＞-3时，y＜1.教师引导学生完善过程，并归纳总结：归纳总结：典例精析例1根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集.(1)3x＋6＞0(即y＞0)(3)-x＋3≥0(即y≥0)(2)3x＋6≤0(即y≤0)(4)-x＋3＜0(即y＜0)师生活动：学生独立思考，教师请4名学生分别回答，并适时给予学生指导和评价，帮助学生形成正确的认知.针对训练利用y=-eq\f(5,2)x+5的图象，直接写出：方程-eq\f(5,2)x+5=0的解；不等式-eq\f(5,2)x+5＞0的解集；不等式-eq\f(5,2)x+5＜0的解集；不等式-eq\f(5,2)x+5＞5的解集；师生活动：学生独立思考，教师请4名学生分别回答，并适时给予学生指导和评价，帮助学生形成正确的认知.典例精析例2兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自已才开始跑，已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m.列出函数关系式，作出函数图象，观察图象回答问题：(1)何时弟弟跑在哥哥前面？(2)何时哥哥跑在弟弟前面？(3)谁先跑过20m？谁先跑过100m？你是怎样求解的？与同伴交流.师生活动：师生共同画出函数图象，如图：学生小组讨论，小组代表汇报，对于问题(1)(2)，要让学生广泛发表自己的见解，学生的做法可能是多种多样的，只要合理就应予以鼓励.教师将思路整理，预测两种思路（如下）：思路一：图象法(1)________s时，弟弟跑在哥哥前面.(2)________s时，哥哥跑在弟弟前面.(3)________先跑过20m.________先跑过100m.思路二：代数法针对训练2.直线l1：y1＝kx+b与直线l2：y2＝x+a在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于kx＋b＞x＋a的不等式的解集为()A.x＞3 B.x＜3 C.x＝3 D.无法确定师生活动：学生独立思考，教师请学生代表回答，并阐述解题思路，教师适时引导，并给予适当评价.3.直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P(a，2)，则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为________.师生活动：学生独立思考，教师请学生代表回答，并阐述解题思路，教师适时引导，并给予适当评价.当堂练习，巩固所学1.(思明期末)若函数y=ax和函数y=bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式ax-bx＞c的解集是()A.x＜2B.x＜1C.x＞2D.x＞12.甲、乙两辆摩托车从相距20km的A、B两地相向而行，图中l1、l2分别表示两辆摩托车离开A地的距离s(km)与行驶时间t(h)之间函数关系.(1)哪辆摩托车的速度较快？(2)经过多长时间，甲车行驶到A、B两地中点？设计意图：通过复习导入，将学生注意力放在一次函数与x轴、y轴交点处，帮助学生初步建立临界意识，为后面的知识讲解做铺垫.设计意图：让学生通过观察一次函数的图象找到相应的一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，对于问题(4)，可以鼓励学生进行讨论，找到点(3，1)可以帮助解决问题，画出直线y=1也可以增进学生对一次函数、一元一次方程、一元一次不等式三者关系的理解.设计意图：在教学中，要关注学生解决问题方法与策略的多样性，鼓励他们从不同角度思考解决问题的方法，函数中的问题可转化为不等式问题来解决，不等式问题也可转化为函数问题来解决.设计意图：这里是对前边两种思路的总结，目的是让学生通过讨论、归纳，帮助学生发展数形结合的思维.设计意图：这里是对前边两种思路的总结，目的是让学生通过讨论、归纳，帮助学生发展数形结合的思维.设计意图：通过练习，让学生进一步理解方程与不等式之间的联系.设计意图：鼓励学生积极思考，多种方法解题，开拓学生思维.教学时可引导学生讨论：哥俩谁跑在前面，关键是要知道哥哥何时追上弟弟.学生可能直接解不等式，也可能会通过列方程找到哥哥追上弟弟的时间，再说出何时弟弟在前面、何时哥哥在前面(应当让其解释其中的道理).设计意图：通过2道对应训练帮助学生加深对知识的理解与掌握：能够通过图象辨别不等式的解集，其中关键在于交点的横坐标.设计意图：考查学生一元一次不等式与一次函数的联系的掌握情况.设计意图：考查学生一元一次不等式与一次函数的联系的掌握情况.板书设计一元一次不等式与一次函数的关系一元一次不等式观察函数图象一次函数课后小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.教学反思本节主要研究一元一次不等式与一次函数的联系，运用一次函数图象求解一元一次不等式，体会方程、不等式、函数之间的内在联系，并能运用它们之间的联系解决实际问题.第1课时首先通过观察一次函数的图象求出相应的一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，让学生从整体上感受利用一次函数可以帮助解决一元一次不等式、一元一次方程的