湖南省常德市沅澧共同体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1湖南省常德市沅澧共同体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，则.故选：C.2.等差数列的首项为2，公差不为0，若成等比数列，则前3项的和为（）A. B. C.18 D.6【答案】A【解析】等差数列中，根据题意，，即，解出（舍去），，，所以数列前3项的和为：.故选：A.3.若函数是定义在上奇函数，且在上单调递增，，则满足不等式的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以，显然时，满足；因为在上单调递增，，所以在上单调递增，，当时，不等式等价于，因为在上单调递增，所以；当时，不等式等价于，因为在上单调递增，所以；综上可知不等式的的取值范围是.故选：B4.若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，则.故选：D5.在棱长为2正四面体中，正四面体的内切球表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】正四面体底面的中心记为点，连接，.由正四面体的性质可得：面.因为正四面体棱长为2，所以底面三角形的高为，则，所以正四面体的高.设正四面体内切球的半径为，球心为.由等体积法可得：，即，解得：.所以正四面体的内切球表面积为.故选：B.6.已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（）A.9 B.2 C. D.8【答案】C【解析】依题意设，，由，所以，则，又，且，所以，即，所以，当且仅当时取等号，即的最大值为.故选：C.7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，则①，令，则②，②减①可得：.故选：A.8.某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过4次而接通电话的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】第一次接通电话的概率为，第二次接通电话的概率为，第三次接通电话的概率为，第四次接通电话的概率为，所以拨号不超过三次就接通电话的概率为.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.“长沙沙水水无沙，常德德山山有德”2024年3月国家主席走进湖南长沙和常德两个城市，感受了常德和长沙两地的好风光.从气象意义上从冬季进入春季的标志为：“连续5天日平均温度不低于18”.现有常德和长沙两地连续5天日平均温度的记录数据（数据都是正整数，单位）满足以下条件：常德：5个数据中位数是20，众数是18；长沙：5个数据有1个27，平均数是21，方差是10.2.则下列说法正确的是（）A.进入春季的地区有2个 B.长沙地区肯定进入了春季C.两地肯定还未进入春季 D.不能肯定常德地区进入了春季【答案】AB【解析】常德：5个数据的中位数是20，众数是18，则5个数据中必有2个18，1个20，设剩余的两个数为，则将5个数据从小到大排列为，显然满足连续5天日平均温度不低于18，故常德地区进入春季；长沙：5个数据有1个27，平均数是21，方差是10.2.设5个数据依次为，则且，即，，由于数据都是正整数，若中有数据小于等于时，此时，不合要求，故中数据均大于等于，显然满足连续5天日平均温度不低于18，故长沙地区进入春季，故AB正确，CD错误.故选：AB10.已知直线，圆的方程为，下列表述正确的是（）A.当实数变化时，直线恒过定点B.当直线与直线平行时，则两条直线的距离为C.当时，圆关于直线对称D.当时，直线与圆没有公共点【答案】AD【解析】A选项，变形为，，解得，故当实数变化时，直线恒过定点，A正确；B选项，当直线与直线平行时，，故直线，故两条直线的距离为，B错误；C选项，当时，直线，，故圆心为，其中，故圆心不在上，故圆不关于直线对称，C错误；D选项，当时，，圆心到直线的距离，的半径为，由于，故直线与圆没有公共点，D正确.故选：AD11.对于函数，下列说法正确的是（）A.只有一个零点 B.在处取得极大值为C. D.若在区间上恒成立，则【答案】ABD【解析】对于选项A：令，解得，可知只有一个零点，故A正确；对于选项B：由题意可知：的定义域为，，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；可知函数在处取得极大值也是最大值，故B正确；对于选项C：因为函数在上单调递减，且，由，可得，故C错误；对于选项D：若，则，原题意等价于在内恒成立，则，设，定义域为，则，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；可知的最大值为，所以，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______________.【答案】【解析】因为，所以，，，曲线在点处的切线斜率为，又因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以.故答案为：.13.设，，为虚数单位，若是关于的二次方程一个虚根，则__________．【答案】7【解析】因为是关于的二次方程一个虚根，所以，即，可得，解得，则.故答案为：7.14.设抛物线C：的焦点为F，准线为，斜率为的直线经过焦点F，交抛物线C于点A、B两点，若，则抛物线C的方程为_____________．【答案】【解析】抛物线C：的焦点为，则过焦点且斜率为的直线方程为：，联立，消去可得：，,设A、B两点的坐标分别为，则，由抛物线的性质可得：，代入化简可得：，解得：.则抛物线C的方程为:.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中已知.（1）求；（2）若面积为，求的最小值.解：（1）因为，由正弦定理的边角互化可得，而，即，即，所以，，即，则，.（2）由（1）可知，则，因为面积为，即，所以，则，即，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.16.近些年来，由于手机与电脑的影响，学生视力问题逐渐突出.作出重要指示，呵护好孩子的眼睛就是呵护孩子的未来.为了落实这一指示，某学校调查了学生的视力情况，随机抽取了200名学生，男生80人，女生120人，记录了他们的视力情况，结果如下表：近视不近视男生5030女生7050（1）是否有90％的把握认为近视与性别有关(结果精确到0.001)；（2）从120名女生中按是否近视，采用分层抽样的方法抽取12人，再从12人中随机抽取4人做进一步调查，记抽到一名近视的得分，抽到一名不近视的得1分，设随机变量X表示抽取的4名学生的总得分，试求X的分布列与数学期望.附：独立性验临界值表P0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828公式，其中．解：（1）补全列联表如下：近视不近视合计男生503080女生7050120合计12080200据列联表中的数据可得，根据临界值表可知，没有的把握认为近视与性别有关.（2）由分层抽样可知，抽取的12人中，近视的有人，不近视的有人，所以的可能取值为，则，，，，，所以的分布列如下：024于是.17.如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形．（1）求证：直线平面；（2）若，，，求平面和平面夹角的余弦值.解：（1）∵为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，∴,∵四边形为矩形，平面，∴平面，又平面，∴，又∵平面，平面，∴平面.（2）以C为坐标原点，所在直线分别为x，y轴，过点C且与平行的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则，所以，所以，所以平面和平面夹角的余弦值.18.已知双曲线过点，且离心率为.（1）求双曲线的标准方程；（2）设过点且斜率不为0的直线与双曲线的左右两支交于，两点.问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意，双曲线的离心率为，可得，设，则，所以，所以双曲线的方程可化为，因为点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线的标准方程为.（2）设，假设存在点，易知直线的斜率存在，且不为0，设其方程为，联立双曲线方程与直线方程，得，消去并整理，得，则，且，因为，所以当，即时，或，故存在定点，使直线与的斜率之积为定值．19.如果数列满足：且，则称数列为阶“归化数列”．若数列还满足：数列项数有限为；则称数列为“阶可控摇摆数列”.（1）若某6阶“归化数列”是等比数列，写出该数列的各项；（2）若某13阶“归化数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）已知数列“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.解：（1）设成公比为的等比数列，显然，则有，得，解得，由，得，解得，所以数列或为所求6阶“归化数列”