重庆市2025届高三下学期学业质量调研抽测（第二次模拟考试）数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页重庆市2025届高三下学期学业质量调研抽测（第二次模拟考试）数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM={1,2,5}，则(

)A.3∉M B.2∈M C.5∈M D.4∈M2.从小到大排列的一组数据：80，86，90，96，110，120，126，134，则这组数据的下四分位数为(

)A.88 B.90 C.123 D.1263.已知命题p：a=−1，命题q：复数z=1−a2+(a−1)i(a∈R)为纯虚数，则命题p是qA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.某学校举行运动会，该校高二年级2班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、100米三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，若甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则不同参赛方案总数为A.20 B.24 C.30 D.365.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(−∞,0)上为增函数，设a=(12)−25，b=323，c=(−3A.f(a)>f(b)>f(c) B.f(a)>f(c)>f(b)

C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(a)>f(b)6.若函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)在(0,π)上有且仅有1个零点和1A.23,76 B.23,7.已知抛物线C：y2=8x，O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且直线OA，OB的斜率之积为−2，则点O到直线l的最大距离为A.2 B.3 C.4 D.68.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且an>0，4Sn=an+1A.4041 B.8041 C.2021二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知O为△ABC内部的一点，满足OA+OB+OC=0，|A.|OA|=5 B.cos∠AOB=10.如图，已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱长为4，点E，F分别为BA.AC1⊥CF B.平面EA1C1//平面FAC

C.三棱锥C−EC11.已知双曲线C：x2−y23=1的左右顶点分别为A，B，双曲线C的右焦点为F，点M是双曲线C上在第一象限内的点，直线MF交双曲线C右支于点N，交y轴于点P，且PM=λMF，PN=μNF.A.点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为32

B.设R(4,1)，则|MR|+|MF|的最小值为37−2

C.λ+μ为定值

D.当2tanα+tanβ三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.3x213.过点P(−2,0)的直线l与曲线y=−x2+2x+214.已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x+1)−f(x)，且f(1)=3，f(5)=5，则k=12025f(k)=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c，且csin(Ⅰ)求角A的值；(Ⅱ)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．16.(本小题15分)某工厂采购了甲、乙两台新型机器，现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计如下：零件直径(单位：厘米)[1.0,1.2)[1.2,1.4)[1.4,1.6)[1.6,1.8)[1.8,2.0]零件个数1025302510(Ⅰ)经统计，零件的直径ξ服从正态分布N(1.5,0.2282)(Ⅱ)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间[1.2,1.4)内的零件个数为η，求η的分布列和数学期望；(Ⅲ)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的2倍，且甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件，若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率．参考数据：若随机变量ξ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.9545，17.(本小题15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD是边长为2的正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为侧棱PD的中点，O为AD的中点，M为线段PC上一点．(Ⅰ)若点M为线段PC的中点，求证：直线OM//平面PAB；(Ⅱ)若PMPC=13，且点B到平面ACE的距离为2518.(本小题17分)已知函数f(x)=(Ⅰ)设过点(x0，y0)且与曲线y=f(x)过此点的切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点(x0，y0)处的法线．若曲线(Ⅱ)当a=2时，若对任意x∈(−1,+∞)，不等式f(x)+x+2≤bex+ln(Ⅲ)若f(x)存在两个不同的极值点x1，x2，x1<x219.(本小题17分)已知椭圆E的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率为22，点1,−(Ⅰ)求E的方程；(Ⅱ)过点T12n,0且斜率存在的两条直线l1，l2互相垂直，直线l1交E于A，B两点，直线l2交E于C，D两点，M，N分别为弦AB和CD的中点，直线①求qn②设椭圆E的上顶点为P，记△PTQ的面积为Sn，令an=ln9Sn2，参考答案1.D

2.A

3.C

4.C

5.B

6.A

7.C

8.A

9.ACD

10.BD

11.BCD

12.45

13.214.−10

15.解：(Ⅰ)∵csinA+3acosC=3b，

∴sinCsinA+3sinAcosC=3sinB，

∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，∴sinCsinA=3cosA16.解：(Ⅰ)零件的直径ξ服从正态分布N(1.5,0.2282)，则

P(μ−2σ≤ξ≤μ+2σ)=P(1.5−2×0.228≤ξ≤1.5+2×0.228)=0.9545，

∴P(1.044≤ξ≤1.5)=0.47725;

(Ⅱ)由题意知，这批零件直径在[1.2,1.4)的概率为14，η的取值为0，1，2，3，4，

则P(η=0)=C40(34)4=81256η01234P81272731∴E(η)=0×81256+1×2764+2×27128+3×364+4×1256=1;

(Ⅲ)设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件A1，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件A2，“抽取的零件为次品”记为事件B，

则P(A17.解：(Ⅰ)如图，取PB的中点N，连接MN，AN，

因点M为线段PC的中点，故MN//BC，MN=12BC，

因底面ABCD为矩形，O为AD的中点，则OA//BC，OA=12BC，

故有MN/​/OA，MN=OA，∴四边形AOMN为平行四边形，

则OM//AN，因OM⊄平面PAB，AN⊂平面PAB，

故直线OM//平面PAB;

(Ⅱ)如图，因平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

△PAD为等边三角形，且O为AD的中点，则PO⊥AD，

又PO⊂平面PAD，故PO⊥平面ABCD．

取BC中点K，连接OK，则OK⊥AD，故可以OK，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O−xyz，

设AB=a，则A(0,−1,0)，B(a,−1,0)，C(a,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,3)，

因E为侧棱PD的中点，则E(0,12,32)于是，

AE=(0,32,32)，AC=(a,2,0)，

设平面ACE的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AE=32y+32z=0n⋅AC=ax+2y=0，

故可取n=(2,−a,3a)．

又BC=(0,2,0)，

则点B到平面ACE的距离为d=|n⋅BC||n18.解：(I)由f(x)=x2−1+aln(1+x)得

f′(x)=2x+a1+x=2x2+2x+a1+x，x>−1，

∴f′(0)=a，曲线y=f(x)在点(0,−1)处的法线的斜率为−1a，

∴由题意知：−1a=32，∴a=−23；

(Ⅱ)当a=2时，f(x)=x2−1+2ln(1+x)，

∴对任意x∈(−1,+∞)，x2+x+1+2ln(1+x)≤bex+lnb恒成立，即

(x+1)2+ln(1+x)2≤bex+ln(bex)恒成立，

设g(x)=x+lnx，则g((1+x)2)≤g(bex)，又g′(x)=1+1x>0，g(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，

∴(1+x)2≤bex，即b≥(1+x)2ex，

令t(x)=(1+x)2ex，x>−1，t′(x)=1−x2ex，

当−1<x<1时，t(x)单调递增，x>1时，t(