2025年高考数学考试易错题模块01集合、逻辑用语和不等式(学生版+解析)

模块01集合、逻辑用语和不等式一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（24-25高三上·甘肃·期末）设集合，，则（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·安徽·阶段练习）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．3．（24-25高三上·山东烟台·期末）设集合，若，则（

）A． B．1 C． D．04．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（23-24高三上·湖北·阶段练习）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．6．（2024·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（

）A．0,4 B．0,4 C． D．0,27．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知：．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．8．（2024·山东淄博·二模）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（

）A． B．1 C．2 D．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（2025高三·全国·专题练习）已知，则下列结论正确的是（

）A．若，且，则 B．若，且，则C．若，则 D．若，则10．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则或D．若，则11．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）星形线或称为四尖瓣线，是一个有四个尖点的内摆线.已知星形线上的点到轴的距离的最大值为1，则（

）A．B．上的点到原点的距离的最大值为1C．上的点到原点的距离的最小值为D．当点在上时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（24-25高三上·天津河东·阶段练习）已知集合，，若，，则.13．（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是．14．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）如图，曲线是四叶玫瑰花瓣曲线，若点是曲线上一点，则的最大值为，玫瑰花瓣及其边界内包含整点（横､纵坐标均为整数）的个数为.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，．(1)求；(2)已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．16．（24-25高三上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为.(1)求实数，的值；(2)若正实数，满足，求的最小值.17．（2024·四川成都·二模）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且（注：年利润年销售收入年总成本）(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；(2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量.18．（24-25高三上·安徽六安·期中）已知幂函数在上单调递减.(1)求函数的解析式；(2)解关于的不等式(3)若对任意，都存在，使成立，求实数的取值范围.19．（2024·重庆·模拟预测）集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集.记符号表示集合A中的元素个数.当时，设是集合A中按从小到大排列的所有元素，记集合.(1)已知集合，，，若，求的值.(2)已知，记集合或.（i）当时，证明的充要条件是；（ii）若，，求的所有可能取值．模块01集合、逻辑用语和不等式一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（24-25高三上·甘肃·期末）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式，化简集合，根据交集的定义求结论.【详解】因为，所以.故选：C.2．（24-25高三上·安徽·阶段练习）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据存在命题的否定即可求解.【详解】命题“”的否定是，故选：D3．（24-25高三上·山东烟台·期末）设集合，若，则（

）A． B．1 C． D．0【答案】D【分析】利用子集的概念计算可求的值.【详解】因为集合，且，所以或或，解得或或，当时，，符合集合元素的互异性，当时，，不符合集合元素的互异性，故舍去，当时，，不符合集合元素的互异性，故舍去.综上所述：.故选：D.4．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题中条件列出不等式，解出即可.【详解】由题意，得，即，∴，解得.又每枚的最低售价为15元，∴.故选：B.5．（23-24高三上·湖北·阶段练习）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意结合恒成立问题可知，根据充分、必要条件结合包含关系分析判断.【详解】因为，即，且，则，由题意可得，选项中只有选项D满足是的真子集，所以命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是.故选：D.6．（2024·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（

）A．0,4 B．0,4 C． D．0,2【答案】A【分析】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题.对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于，则需要考虑其判别式的取值范围.【详解】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题.对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于.因为恒成立，所以，即，解得.故选：A.7．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知：．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解分式不等式、对数不等式求对应范围，结合充分不必要条件有，即可得范围.【详解】由，可得；由，因为是的充分不必要条件，则.故选：C8．（2024·山东淄博·二模）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】设，得，两次应用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件即可．【详解】设，则，，，∴，当且仅当时取等号，又，当且仅当，即时取等号，所以，所以的最小值是2，故选：C．【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据定义得出，，，相加后基本不等式求得最小值．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（2025高三·全国·专题练习）已知，则下列结论正确的是（

）A．若，且，则 B．若，且，则C．若，则 D．若，则【答案】ACD【分析】根据作差法即可求解AD,举反例即可求解B，根据不等式即可求解C.【详解】选项A：由可得，由可得，故，故A正确．选项B：当，时，满足，且，但，，不等式不成立，故B错误．选项C：因为，所以，故，故C正确．选项D：由可得，且，故，即，故D正确．故选：ACD10．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则或D．若，则【答案】ABC【分析】先求出集合，然后令，对于A，由题意可得是方程gx=0的两个根，利用根与系数的关系列方程可求出，对于B，由题意可得，可求出，对于C，由题意可得，可求出的范围，对于D，求出集合，再求出两集合的交集判断即可.【详解】由已知得，，令，对于A，若，即是方程gx=0的两个根，则，解得，所以A正确；对于B，若，则，解得，所以B正确；对于C，当时，，解得或，所以C正确；D：当时，，所以，所以D错误.故选：ABC.11．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）星形线或称为四尖瓣线，是一个有四个尖点的内摆线.已知星形线上的点到轴的距离的最大值为1，则（

）A．B．上的点到原点的距离的最大值为1C．上的点到原点的距离的最小值为D．当点在上时，【答案】ABD【分析】令得，即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD.【详解】对于A，∵星形线上的点到轴的距离的最大值为1，令得，∵，可得，故A正确；对于B，由图可得上的点到原点的距离的最大值为1，故B正确；对于C，设点Px0,y0在上，则，当且仅当等号成立，即星形线上的点到原点距离的最小值为，故C错误；对于D，当点在上时，∵，得，当且仅当等号成立，即星形线上的点到，轴距离的乘积的最大值为，故D正确.故选：ABD.【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（24-25高三上·天津河东·阶段练习）已知集合，，若，，则.【答案】19【分析】由题意可得，所以5和6是方程的两个根，代入解方程可求出，即可求出的值.【详解】因为，，，，所以，所以5和6是方程的两个根，所以，解得，，所以.故答案为：19.13．（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是．【答案】【分析】通过构造函数，利用的单调性解不等式，再由题意将是的充分条件转化为包含关系，进而求得参数范围.【详解】设，则在单调递增，又，所以，即，故.则.由题意是的充分条件，则，所以有，故实数m的取值范围是.故答案为：.14．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）如图，曲线是四叶玫瑰花瓣曲线，若点是曲线上一点，则的最大值为，玫瑰花瓣及其边界内包含整点（横､纵坐标均为整数）的个数为.

【答案】817【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值；求出圆及内部的整点个数，再剔除在玫瑰花瓣外的点即可得解.【详解】由基本不等式，解得，当且仅当时取等号，所以的最大值为8；在圆及其内部的整点横向最上面一排有，共5排；纵向每一列也有5个点，有5列，共25个，验证知只有坐标轴上除原点外的8个点不在花瓣内，所以共有17个.故答案为：8；17【点睛】关键点点睛：确定圆及其内部的整点个数是解决第2空的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，．(1)求；(2)已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】(1)或(2)【分析】（1）解分式不等式以及一元二次不等式可得集合，再由集合的运算可得结果；（2）易知，对集合是否为空集进行分类讨论，列出不等式求解即可．【详解】（1），，可得，所以或．（2）若“”是“”的充分不必要条件，则，若，则解得；若，则，且等号不能同时成立，解得，综上可知，实数m的取值范围为16．（24-25高三上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为.(1)求实数，的值；(2)若正实数，满足，求的最小值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据不等式的解集得到和是方程的两根，再由韦达定理即可求解；（2）结合（1）中结论，利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，所以和是方程的两根，由韦达定理得，解得，；（2）由（1）得，，当且仅当，即时取等号，所以取得最小值，即的最小值为.17．（2024·四川成都·二模）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且（注：年利润年销售收入年总成本）(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；(2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量.【答案】(1)(2)9千件【分析】（1）分段利用“年利润年销售收入年总成本”可得所求函数的解析式.（2）分段求函数的最大值，进行比较可得结论.【详解】（1）当时，；当时，.综上：.（2）当时，，.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减，所以.当时，.因为，当且仅当即时取“”.此时.因为.所以当年产量为千件时，年利润最大.18．（24-25高三上·安徽六安·期中）已知幂函数在上单调递减.(1)求函数的解析式；(2)解关于的不等式(3)若对任意，都存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）由幂函数的定义结合单调性即可求解；（2）通过和两类情况讨论即可；（3）由题意得到，再得到存在，使得，进而可求解.【详解】（1）由幂函数在上单调递减，可得，解得，所以（2）当时，，解集为，当时，，得，，当时，，方程的两根为所以不等式的解为，当时，，不等式的解集为，综上可知，当时，解集为，当0≤a<1时，解集为.（3）由（1）知，因为对，使得都成立，所以，易知，所以，因为存在，使得成立，可得，因为，所以是关于的单调递增函数，所以，解得：或，所以的取值范围为.19．（2024·重庆·模拟预测）集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集.记符号表示集合A中的元素个数.当时，设是集合A中按从小到大排列的所有元素，记集合.(1)已知