8.1 平方根 2024-2025学年人教版七年级数学下册

第八章实数8.1平方根人教版数学（七年级下）老师：孙老师授课时间：2025（第一课时）1.了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系.2.知道平方根的性质，会用符号表示平方根，会求非负数的平方根.问题

当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v(单位:m/s)时，就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星.v的大小满足v²=2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g≈9.8(单位:m/s)，R是地球半径，R≈6.4×106(单位:m)，怎样求v呢?这就要用到平方根的概念思考

如果一个数的平方等于9，这个数是多少?32=9，所以这个数可以是3；(-3)2=9，所以这个数也可以是-3.除3，-3以外，任何一个数的平方都不等于9.因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数是3或-3.知识点1平方根填写下表:知识点1平方根x21163649x1或-14或-46或-67或-7

一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根.

例如：3和-3是9的平方根，简记为±3是9的平方根.知识点1平方根求一个数a的平方根的运算，叫作开平方.+1-1+2-2+3-3平方149+1-1+2-2+3-3149开平方观察下图，你发现了什么?平方与开平方互为逆运算知识点1平方根想求一个数的平方根，就想谁的平方等于它

知识点1平方根

求一个正数的平方根主要分两步:(1)找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个；(2)根据平方根的定义写出这个正数的平方根.知识点1平方根思考正数的平方根有什么特点?从例1可以看出，正数有两个平方根，它们互为相反数.知识点2平方根的性质思考0的平方根是多少?因为0²=0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根是0.知识点2

平方根的性质思考负数有平方根吗?正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平方是0，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根.知识点2

平方根的性质平方根的性质：1.正数有两个平方根，它们互为相反数；2.0的平方根是0；3.负数没有平方根.知识点2

平方根的性质知识点2

平方根的性质例2判断题.(1)1的平方根是1;(2)-1的平方根是-1;(3)0.5是0.25的一个平方根;(4)0的平方根是0.a的平方根表示为：根号被开方数（a是非负数）读作“正、负根号

a”知识点3平方根的表示正平方根：负平方根：知识点3平方根的表示读作“根号

a”读作“负根号

a”

知识点3平方根的表示

知识点3平方根的表示

D2.判断下列说法是否正确，如果错误，请说明理由.(1)1的平方根是1.(2)2是4的一个平方根.(3)-5是25的平方根.(4)64的平方根是±8.(5)-16的平方根是-4(6)0的平方根是0.1的平方根是±1负数没有平方根

解：因为一个正数的两个平方根是2a-1和a-5，则有(2a-1)+(a-5)=0，解得a=2.所以2a-1=3，所以这个正数为32=9.4.已知一个正数的两个平方根分别是2a-1和a-5，求这个正数.互为相反数一个正数有两个平方根，它们互为相反数.5.求下列各式中x的值:(1)4x2-1=0；(2)(x+1)2=81；

(2)因为(±9)2=81，所以x+1=9或x+1=-9，解方程，得x=8或x=-10.所以x=8或x=-10.

平方根一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根.

表示(1)正数有两个平方根，它们互为相反数；

(2)0的平方根是0；(3)负数没有平方根.开平方与平方互为逆运算运算概念性质第八章实数8.1平方根人教版数学（七年级下）老师：孙老师授课时间：2025（第二课时）1.了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根；2.了解算术平方根的非负性；3.掌握算术平方根的估算，初步体会无限不循环小数.问题

学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少?解：因为52=25所以这个正方形画布的边长应取5dm.5是25的正的平方根知识点1算术平方根

a的算术平方根记作：根号被开方数a的算术平方根读作:“根号a”

知识点1算术平方根

知识点1算术平方根

求一个正数的算术平方根的方法:先找出哪一个正数的平方等于所给的数，再用数学式子表示即可.知识点1算术平方根

知识点1算术平方根观察被开方数的大小和其算术平方根的大小有什么关系？

知识点1算术平方根可以看出:被开方数越大，对应的算术平方根就越大，这个结论对所有正数都成立.

1.一个正数的算术平方根有几个？0的算术平方根有一个，是0.2.0的算术平方有几个？负数没有算术平方根.3.负数有没有算术平方根?一个正数的算术平方根有1个算术平方根的性质知识点2算术平方根的性质知识点2算术平方根的性质

a≥0，被开方数a是非负数算术平方根的双重非负性知识点2算术平方根的性质

知识点2算术平方根的性质

知识点2算术平方根的性质

若几个非负数的和为0，则每个数均为0.探究怎样用两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形?知识点3算术平方根的估算探究这个大正方形的边长是多少?知识点3

算术平方根的估算面积为2dm2

小正方形的对角线的长是多少呢?

知识点3

算术平方根的估算

被开方数越大，对应的算术平方根就越大知识点3

算术平方根的估算

知识点3

算术平方根的估算

无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数.知识点3

算术平方根的估算

对算术平方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小.知识点3

算术平方根的估算知识点3

算术平方根的估算

知识点3

算术平方根的估算

C知识点3

算术平方根的估算平方根与算术平方根的区别平方根算术平方根区别定义个数表示方法结果一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a那么这个数x叫作a的平方根或二次方根.

一个正数的平方根有两个.一个正数的算术平方根只有一个.

正数的平方根一正一负，它们互为相反数.正数的算术平方根一定是正数.平方根与算术平方根的联系平方根算术平方根联系具有包含关系存在条件相同特殊值0平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的平方根.只有非负数才有平方根和算术平方根.0的平方根和算术平方根都是0.

34

9

-1

5.排球比赛场地呈长方形，长是宽的2倍，面积为162m2，它的长与宽分别是多少？

算术平方根性质及双重非负性估算定义

利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小.第八章实数8.1平方根人教版数学（七年级下）老师：孙老师授课时间：2025（第三课时）1.会用计算器求算术平方根.2.能用计算器探求数学规律.3.能利用算术平方根解决实际问题.问题

在本章引言的问题中，已知v2=2gR，g≈9.8，R≈6.4×106.如何较为简便地求出v呢?

知识点1用计算器求算术平方根3136

2知识点1用计算器求算术平方根

现在你能解决本章引言提出的问题吗？当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v(单位:m/s)时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星.v的大小满足v2=2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g≈9.8(单位:m/s2)，R是地球半径，R≈6.4×106(单位:m).怎样求v呢?知识点1用计算器求算术平方根

知识点1用计算器求算术平方根探究(1)用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，…………你发现了什么规律?知识点2用计算器探索规律0.250.7912.57.912579.1250…………0.250.7912.57.912579.1250知识点2用计算器探索规律被开方数的小数点向右每移动

位，它的算术平方根的小数点就向右移动

位；被开方数的小数点向左每移动

位，它的算术平方根的小数点就向左移动

位.2121知识点2用计算器探索规律你能用数学知识解释发现的规律吗？被开方数的小数点向右或向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位.被开方数小数点向右或向左移动2位，相当于被开方数乘以或除以100，所以开方后算术平方根就相应的乘以或除以10，故算术平方根的小数点向右或向左移动1位.知识点2用计算器探索规律

知识点2用计算器探索规律

知识点2用计算器探索规律例3

小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长与宽的比为3:2.但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说:“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片!”你同意小明的说法吗?小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗?知识点3算术平方根的实际应用正方形的边长是否比长方形的各边都长在日常生活中，我们经常遇到估计一个数的大小的问题.

知识点3算术平方根的实际应用

知识点3算术平方根的实际应用

按键顺序：(1)7=225显示：85

按键顺序：(2)

12显示：3.464101615.

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387.30.15解题策略：被开方数的小数点向左(或向右)移动2n(n为正整数)位，它的算术平方根的小数点相应地向左