河南省天一大联考2024-2025学年高三阶段性测试（六）数学试卷

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河南省天一大联考2024-2025学年高三阶段性测试（六）数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．椭圆C:x2A．1 B．2 C．4 D．62．若a,3,b,A．4 B．6 C．9 D．123．函数fx=sinA．3π B．2π C．3π4．已知集合A=x|3ax−A．13<a<23 B．a5．已知a=log0.30.07，b=A．a>b>c B．b>c6．已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名（排名无并列），若甲、乙、丙中的两人占据前两名，且丙不是最后两名，则这7名同学获奖的名次情况共有（

）A．524种 B．564种 C．624种 D．664种7．已知某正四棱台的上、下底面面积分别为1，16，侧棱与下底面所成角的正弦值为23417，则该正四棱台的体积为（A．12 B．14 C．15 D．168．已知∠AOB=π6，OB=2A．25 B．23 C．3 二、多选题9．已知z1,zA．若z12B．若z12C．若z1=D．z10．已知正方体ABCD−A1B1C1DA．点M的轨迹的长度为πB．直线BM与平面CDC．平面AB1D．若动点N在线段BD1上，P为B1D11．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线C:x26−y2λ=1λ>0的离心率为233附：双曲线x2a2−yA．FB．yC．作F1H⊥AB于点HD．若AF2的延长线交C于点G，则三、填空题12．统计学中通常认为服从正态分布Nμ,σ2的随机变量X只取μ−3σ,μ+3σ中的值，简称为13．已知函数f(x)=x(x14．已知某种长方体花岗岩的规格为30cm×20cm×10cm（其中第1,2,3个数分别为长、宽、高，且长≥宽≥高），若从长方体某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取一次共可得到四、解答题15．某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价x（单位：元）与销量y（单位：百件）的对应数据，如下表所示：x1212.51313.514y14131198(1)求该纪念品定价的平均值x和销量的平均值y；(2)计算x与y的相关系数；(3)由（2）的计算结果，判断能否用线性回归模型拟合y与x的关系，并说明理由.参考数据：i=参考公式：相关系数r=16．已知数列an的前n项和为Sn，且(1)若S3=2(2)若a2=2a117．已知函数f(1)求曲线y=f((2)当x∈0,18．已知抛物线C:x2(1)证明：以点Q为圆心且过点0,p2(2)若动直线l:y=kx+2与C相交于M,N两点，点P（i）求C的方程；（ii）过点Q作C的切线l′，若l′∥l，求19．如图，在空间直角坐标系Oxyz中，点A,B,C分别在x(1)当S△OAB+S△(2)若OA=12,OB=1,OC=32(3)记平面ABC与平面BCO、平面ACO、平面答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《河南省天一大联考2024-2025学年高三阶段性测试（六）数学试卷》参考答案题号12345678910答案BCCAACBDADACD题号11答案BCD1．B【分析】根据a2【详解】由题意得，a2=5∴椭圆的焦距为2.故选：B.2．C【分析】根据等比中项的概念可得结果.【详解】根据等比中项的概念可得，a⋅故选：C.3．C【分析】根据y=sin2【详解】因为fx=sin2x3的图象是由y=所以fx=sin因为y=sin2所以f(x)故选：C4．A【分析】当1∈A且2∉【详解】由题可知1∈A且2∉所以使得“1∈A且2∉因为只有选项A中的a13<故选：A5．A【分析】先根据指数运算的性质比较b,c的大小，再根据对数函数和指数函数的性质比较【详解】由题可知b10=2所以b10因为b>0，c>因为y=log0.3x在所以log0.30.07>因为y=2x在R所以20.7<2故a>故选：A6．C【分析】分两种情况：甲、乙占据前两名和丙在前两名求解，然后再根据分类加法原理可求得结果.【详解】若甲、乙占据前两名，则所有的情况有A2若丙在前两名，则从甲、乙中选1人和丙排在前2名，故所有的情况有C2故共有144+故选：C7．B【分析】设该正四棱台的侧棱长为aa>0【详解】设该正四棱台的侧棱长为aa因为正四棱台的上、下底面面积分别为1，16，所以正四棱台的上、下底面边长分别为1，4，所以正四棱台上、下底面的对角线长分别为2，42所以该正四棱台的高h=因为侧棱与下底面所成角的正弦值为234所以a2−9所以h=故所求体积V=故选：B8．D【分析】由向量关系得到几何中的垂直关系，再把向量问题转化为将军饮马问题即可求解.【详解】如图，设OC=−λO从而有AB故OA设OD=xOB作点E关于直线OB的对称点F，连接OF，AF，D则AD当且仅当F，故选：D.9．AD【分析】根据复数的概念及运算可得.【详解】对于A，设z1=a+b得a2−b2=对于B，令z1=i对于C，令z1可知z1对于D，z1故选：AD10．ACD【分析】由正方体性质可得点M的轨迹是四分之一圆，可判断A正确；易知直线BM相对于平面CDD1C【详解】对于A，根据正方体性质可得MD12故点M的轨迹是以D为圆心，1为半径的四分之一圆，如下图所示：则其轨迹的长度为2π对于B，易知当点M位于棱CD上时，直线BM与平面此时BCCM=22−对于C，易知内切球的半径为22，球心O位于正方体的中心，其到平面AB1易知BD1=6，BO=6可得球心O到平面AB1C故截面圆的半径r满足r2=2对于D，如下图：先固定点N，当点M在BD上时，M再让点N移动，当P,N,此时MN故选：ACD11．BCD【分析】设点A在第一象限，根据离心率求出c=22，可得选项A错误；根据kAB=kBD得−x02t【详解】设双曲线C的半焦距为cc>0对于A，由题意得，a=6，e=故F1F2对于B，由题可知双曲线右顶点坐标为6,0，故x0∴直线AB∵点D0,t在直线A∴y0−0∵x026−y02对于C，由题意得，点Ax0,y0∵kAB=y0−0由双曲线的光学性质可知，双曲线上任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角，则AD平分∠F1AF2，延长F1则△AF1∵O为F1F2的中点，H∴OH对于D，记△AF1G的内心为I，则AI是∠由选项C可得，直线AI,GI是双曲线的切线，切点分别为点则直线AI的方程为x0x6−联立两式，解得x=由c=22得，F则*式可化为x=6y1−故选：BCD.12．2【分析】利用正态分布概率计算判断可得10+【详解】解析由题可知10+3σ≤16故答案为：213．−【分析】作出分段函数的图象，利用数形结合思想即可求解．【详解】作出f(

由gx=观察可知−1当x≤1时，令x(x−2)=1，可得x=1故答案为：−414．838【分析】根据题意按照截取规则可将第3次截取后得到的不同规格的长方体通过列举得到其种类数，再由古典概型计算可得所求概率.【详解】列表如下，重复的去掉.原始状态30第1次截取20第2次截取20cm30第3次截取20cm15cm30cm×由表可知，第3次截取后得到的不同规格的长方体的种数m=在上述8种不可规格的长方体中任取1种，该种长方体的长与宽之差小于10cm的有10cm故所求概率为38故答案为：8，3【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据长方体的原始规格枚举出第3次截取后得到的不同规格的长方体的种数，结合古典概型计算可得概率.15．(1)13；11(2)-(3)可以用线性回归模型拟合y与x之间的关系，理由见解析【分析】（1）根据已知数据直接求平均值即可；（2）分别求出i=15（3）根据相关系数的绝对值大于0.75且非常接近1判断即可.【详解】（1）由题可知x=15（2）计算得i=故r=（3）由（2）可知，y与x的相关系数的绝对值近似为0.992，大于0.75且非常接近1，说明y与x的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合y与x之间的关系.16．(1)a(2)S【分析】（1）令n=1可求得S2=a（2）利用累乘法结合已知条件可得a2Sn=anan+1，则当n≥2时，【详解】（1）令n=1，可得S2又S3=a（2）由Sn+1Sn=a两边分别相乘得SnS1当n≥2时，a2即a2Sn由题可知an≠0所以an的奇数项、偶数项均成公差为a所以a2n−所以an所以S==n故Sn17．(1)y(2)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）将问题化为证lnxelnx≤x−1ex−1在【详解】（1）由题可知f′(x又f(1)（2）当x∈(0,2即证lnxeln令p(x)故当x<1时，p′(x所以p(x)在(令t(x)故当0<x<1时，t′所以t(x)在(则t(x)当x∈(0,2即lnxeln故当x∈(018．(1)证明见解析(2)（i）x2=4【分析】（1）利用抛物线的定义可证明结论.（2）（i）设Mx1,y1,Nx2,y（ii）设MN的中点为E，通过计算可说明P,Q,E三点共线，且Q【详解】（1）由题可知点0,p2为C的焦点，设为点F，抛物线C∵Q为C上一点，∴由抛物线的定义得QF等于点Q到C∴以Q为圆心且过点0,p2（2）设Mx（i）当k=0时，点M,N关于直线PM,PN关于当k≠0时，由OP⊥l得k将点P的坐标t,−2代入，可得t联立直线l与C的方程，可得x2∴x1∵kP∴y1化简可得2k2+由k2+2≠0得，2故C的方程为x2（ii）设直线l′与C的方程联立，可得x2由Δ=16k由x2−4kx+4设MN的中点为E∵x1∴x1+x∵P2k,−2,−∴△MPQ的面积为△由E为MN的中点得，△MEP的面积为∴△MPQ的面积为△∵x1∴MN∵点P2k,−2∴S△当且仅当k=0时等号成立，故△M19．(1)33(2)存在，AM(3)cosα【分析】（1）利用基本不等式可求得S△OA（2）利用空间向量坐标运算，结合参数表示线面角的正弦值，解方程即可得出参数值，进而得出结论；（3）利用空间向量坐标运算求出平面的法向量，再求出面面角的余弦值，利用基本不等式可得到结论并得证.【详解】（1）不妨设OA=a,O故S△OA当且仅当a=b=c=记点O