向量法解决线面角综合问题讲义-高二上学期数学人教A版选择性

TOC\o"13"\h\u立体几何3 68向量法解决线面角大题 68文档检索使用方法：WPS打开本文档后，点击右上角“章节导航”，再点击左上角“目录”。即可开启强大的知识点分类检索功能。本文档笔者十年持续更新，每一知识点题作者都亲自做过。覆盖所有新高考内容所需，可在WPS打开文档后点击查询“向量法解决线面角大题”等字样快速检索到高考所需题型。是高中数学教师教学必备神器，是高中学生实现快速进步的高中数学统计题型宝典。本专辑每年更新一次，持续更新。如需高考数学教师备课学生备考分类试题库（2025年版）专辑中的其它文档，欢迎进入专辑。立体几何3向量法解决线面角大题例1（天上的点易求）：如图，在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD。将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD。若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值。KEY：练习1.1：如图，平面平面，其中四边形是正方形，四边形为直角梯形，，，，为线段上一点，平面。求直线与平面所成角的正弦值。解：以为轴，为轴，为轴。过作交于点。∴①，又∵平面，∴②。∴四边形是平行四边形。∴。∴是线段的中点。，，，平面的法向量。KEY：练习1.2：在四面体中，棱，，两两垂直，且，，分别为线段，的中点，求直线与平面所成角的正弦值。解：以为轴，为轴，为轴建系，，。法向量显然为（不用计算，显然为补全后正方体的对角线）。KEY：练习1.3：如图，在侧棱垂直底面的四棱柱中，，，是的中点。，，，求与平面所成的角的正弦值。解：以为轴，为轴，为轴建系。，，，。平面的法向量。KEY：练习1.4：如图，四棱台中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，。求直线与平面所成角的正弦值。解：以为轴，为轴，为轴建系。则，，，。平面的法向量。KEY：练习1.5：如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，。求直线与平面所成角的正切值。解：方法一（等体积法）：方法二（找墙法）：过作交于点。容易证明平面，故为所求角。方法三（向量法）：KEY：练习1.6：如图，直角梯形所在的平面与矩形所在的平面垂直，，，求与平面所成角的余弦值。解：以为轴，为轴，竖起来为轴建系。，，，。平面的法向量。，。KEY：练习2：如图，在四棱锥中，平面平面；，，，。求直线与平面所成的角的正切值。解：先证明平面。KEY：练习3：如图，DC平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，ACB=120°。求AD与平面ABE所成角的正弦值。解：取中点，为轴，为轴，竖起来为轴建系。，。平面的法向量。。KEY：练习4：如图所示，在三棱柱中与四棱锥的组合体中，平面，四边形是菱形，，，。求直线与平面所成角的正弦值。解：如图建系，，，，。平面的法向量，。KEY：练习5：如图，已知三棱锥中，平面，，，点为线段的三等分点，且。求直线与平面所成角的正弦值。解：如图建系。设，则，，，。，平面的法向量。则。KEY：练习6.1（等腰建系）：如图是一个正三棱柱和三棱锥的组合体，其中平面，，。求直线与平面所成角的正弦值。解：取中点，以为轴，为轴，为轴建系。，，，。平面的法向量，。KEY：练习6.2：如图，在几何体中，平面底面，四边形是正方形，，且，。求直线与平面所成角的正弦值。解：取中点，中点。为轴，为轴，为轴建系。则。KEY：练习6.3：如图，四棱锥中，△为等边三角形，平面，，且，求直线与平面所成角的正弦值。解：取中点，以为轴，为轴，竖起来为轴。则，，，，。，。平面的法向量，。。KEY：练习6.4：如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2。求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值。解：取中点，为轴，为轴，竖起来为轴。，，，。平面的法向量。KEY：练习7.1（坐标平面的法向量）：已知多面体中，，，，M为PB中点。求直线BC与平面CDM所成角的正弦。解：取中点，为轴，为轴，为轴建系。，，，。，平面的法向量为。KEY：练习7.2：如图，在三棱台中，已知平面平面，，，，，求直线与平面所成角的余弦值。解：方法一（云朵的运动）：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，竖起来为z轴。由三棱台的相似比得，∴，。平面的法向量。。∴。方法二（坐标平面的法向量）：以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建系。，。。平面的法向量。KEY：（方法二简单）练习8：如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点。(1)证明：MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值。解：（1）取PB中点E，易证MN∥AE。（2）方法一（向量法）：取BC的中点F，连接AF，作为x轴，AD作为y轴，AP作为z轴。，P(0,0,4)，M(0,2,0)，N（由CP中点可得）。面PMN的法向量为n＝(0,2,1)。方法二（几何法）：过A点作AH⊥PM交PM于H，∠ANH即所求线面角（由矩形AFCM知CM⊥AD，易证CM⊥面PAD，故CM⊥AH。故AH⊥面PMC。）。KEY：（1）见解析；(2)练习9：如图，在四棱锥中，平面，，。，，求直线与平面所成角的正弦值。解：易求得：。以为轴，为轴，为轴建系。，，，。平面的法向量。KEY：练习10：如图，在三棱柱中，平面，为的中点，，，，。求直线与平面所成角的正弦值。解：易证：。以为轴，为轴，为轴建立直角坐标系。则，，。面的法向量。∴。KEY：练习11：如图，在多面体EF－ABCD中，四边形ABCD，ABEF均为直角梯形，∠ABE＝∠ABC＝90°，四边形DCEF为平行四边形，平面DCEF⊥平面ABCD。若BC＝CD＝CE＝eq\f(1,2)AB，求直线BF与平面ADF所成角的正弦值。解：易证面BCE，∴。故易证C点为墙角。故可在C点建系。KEY：练习12：在正三棱柱中，，，点是的中点，点在棱上（不含端点），且⊥。求直线与平面所成角的正弦值。（方法一简单）解：方法一（E点建系）：，面，故为线段靠近的四等分点。以为原点，为轴，为轴，竖起来为轴建系。，，。。方法二（D点建系）：为轴，为轴，竖起来为轴建系。则，，。平面的法向量，。KEY：练习13：如图，在三棱锥中，。平面⊥平面。点是线段的中点，求直线与平面所成角的余弦值。解：只需在中点建系，为轴，为轴，为轴。KEY：练习14：如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2AD＝2，∠DAB＝60°，四边形CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面ABCD。求直线AE与平面BDF所成角的正弦值。解：因为四边形CDEF为正方形，所以ED⊥DC。因为平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝DC，所以ED⊥平面ABCD。在△ABD中，因为∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，∴BD＝eq\r(3)，AD⊥BD。在等腰梯形ABCD中，可得DC＝CB＝1。如图建系，，平面BDF的法向量为。∴。KEY：练习15：如图，已知平面，平面，△为等边三角形，，为线段的中点。求直线与平面所成角的正弦值。解：以为原点，为轴，为轴，方向为轴。容易求得平面的法向量。。KEY：练习16：如图，平面平面，且，。求直线与平面所成角的余弦值。解：如图，过作交于点，连，由△≌△得。如图见系，，，，。平面的法向量为。。KEY：【本题可视为“几何法解决线面角大题中的练习2.1（二面角画出的平面角所在平面必垂直二面，难）”的简单版】练习17：如图，平面平面，四边形为梯形，，∥∥，△为等边三角形，，，，。求直线与平面所成角的正切值。解：取中点，中点。以为轴，为轴，为轴建系。，，，。平面的法向量，。。KEY：练习18：在四棱锥中，平面，，∥，，为棱的中点。求直线与平面所成角的正弦值。解：以为原点，为轴，为轴，为轴建系。，，，，，平面的法向量为。KEY：例2（面面垂直时射影必在交线上，改编）：如图，平行四边形垂直于梯形所在的平面，，，，，求直线与平面所成角的余弦值。解：D点建系，，面ADE的法向量，故。KEY：练习1：如图，已知四棱锥，，∥，且，。（1）求证：平面⊥平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值。解：（1）证明见“有等腰三角形必用三线合一”（2）在A点建系，P在底面的投影在线段DA的延长线上。KEY：（2）练习2：如图，在三棱锥中，，。求与平面所成角的正弦值。解：取CD中点E，连接AE，BE，则AE⊥CD，，，由勾股定理逆定理得AE⊥BE。故由①②得AE⊥面BCD。以E点为原点，EB为x轴，EC为y轴，EA为z轴建系。求得面ABD的法向量为。KEY：练习3.1（初中射影定理）：如图，已知四棱锥中，底面是矩形，，，。求直线与平面所成角的正弦值。解：如图，记，的中点为，。连接，，。容易求得，。由勾股定理的逆定理得：，。∴平面。∴①。又②。由①②得平面。∴平面平面。∴在平面上的射影在线段上。∵，∴由初中射影定理求得：，，。如图建系，，，，。，。∴平面的法向量。∴。KEY：练习3.2（略难）：如图，在四棱锥中，，，，，点在棱上，且，平面。求直线与平面所成角的正弦值。解：连，由初中知识求得，∴。以为原点，为轴，为轴，竖起来为轴建系。容易证明平面，∴平面平面。∴点在底面的射影在线段上。又，，平面。∴平面。∴。容易求得，由初中射影定理求得。，，。∴，由三线合一知是线段的中点。∴。平面的法向量。。KEY：练习4.1（坐标平面的法向量）：如图，在三棱台中，平面平面，，，且四边形是等腰梯形。求直线与平面所成角的正弦值。解：连，由初中几何知识得。由面面垂直的性质定理得平面。∴①。②。由①②得平面平面平面。以为原点，为轴，为轴，竖起来为轴建系，则，∴，，。平面的法向量。KEY：练习4.2：如图，在三棱台中，，，四边形是等腰梯形，，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值。（方法二简单）解：方法一（向量法）：将三棱台补成一个三棱锥。如图建系，设，容易求得，∴，而，由勾股定理的逆定理知。又平面平面，∴平面，∴。又，∴平面。∴平面平面。在直角△中，，，∴，。在直角△中由等面积法容易求得到直线的距离为，故到直线的距离为。∴，平面的法向量。∴。方法二（找墙法）：过作交于点，连。则，由于，，故。∴平面，∴平面平面。∴即所求线面角。同方法一证得平面，∴。由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半得。在直角△中容易求得。方法三（等体积法）：。方法四（暴力计算）：同方法一证得平面，∴。在直角梯形中，过作交于点，则也是线段的中点，由三线合一知。取中点，则。由三个条件，设，可算得，平面的法向量。∴。KEY：练习4.3（21年浙江高考第2道大题第2小题）：如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，。，分别为，的中点，，。求直线与平面所成角的正弦值。解：由，，得。由①；②得平面。故平面平面。又，故底面。在△中使用余弦定理得，在△中由勾股定理得。以为轴，为轴，竖起来为轴。则，，，，，。平面的法向量，。KEY：练习5.1（云朵的运动）：如图，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，求直线和平面所成的角的正弦值。解：取中点，为轴，为轴，为轴。则在△中使用勾股定理求得。∴，，，。平面的法向量。KEY：练习5.2：如图，已知三棱柱，平面平面，，，。，分别是棱，，分别是棱，的中点。求直线与平面所成角的余弦值。证明：，又平面平面。∴平面，即在底面的射影为，记中点为，中点分别为。故在底面的射影为。以点为原点，为轴，为轴，为轴建立直角坐标系。记。则，，，。平面的法向量。KEY：练习5.3（略难，找墙建系法）：如图，在四棱锥中，四边形的边长均为，△为正三角形，，。，分别为，的中点。求直线与平面所成角的正弦值。解：连，。由菱形得①，②。由①②得平面。又，∴平面，∴，∴在△中可求得：。在△中由勾股定理的逆定理得。故可以为原点，为轴，为轴，为轴建系。点在底面投影为线段的中点，故，，，，。平面的法向量。。KEY：练习6（较难）：如图，四棱锥中，平面平面，，，，，。求直线与平面所成角的正弦值。解：分别过，作的垂线，由勾股定理求得梯形的高为，再利用一次勾股定理求得梯形的对角线为，再由八字型相似得（记对角线与相交于点）。∴（也可由高与对角线构成的等腰直角三角形得）。又∵平面平面，∴平面。如图建系，在△中使用勾股定理得，在△中容易看出（也可设点坐标暴力求解，计算量并不大）。，，。平面的法向量。。KEY：练习7.1（找墙建系1——直角，略难，有等腰三角形必用三线合一）：如图，三棱柱中，，，，，求直线与平面所成角的正弦值。解：取中点，连，。设，则，∵，∴。∵，，∴平面，∴①。∴。由勾股定理得②。由①②得平面。所以平面平面。故可如图建系，且，，。∴。平面的法向量。。KEY：练习8.1（找墙建系2——非直角）：如图，四棱锥中，，，，，侧面为等边三角形。求直线与平面所成角的正弦值。解：取中点，连，。由初中平面几何知识知，⊥平面，故面⊥面，故在底面投影在直线上。在点建系，为轴，为轴，竖起来为轴。则，，，。则面的法向量，。KEY：练习8.2（20年绍兴一模第2道大题第2小题）：如图，四棱锥中，底面是正方形，。，，。求直线与平面所成角的正弦值。解：如图建系。，，在△中使用余弦定理得。∴，平面的法向量，。。KEY：练习8.3：如图，四棱锥中，△是等边三角形。底面是直角梯形，，，，，，，分别是，的中点。求直线与平面所成角的正弦值。解：取中点，以为轴，为轴，竖起来为轴建系。容易求得，。容易证明平面平面。∴在底面的射影在线段的延长线上。，，，，。平面的法向量。。（如有需要，请联系文档作者微信号：2539542373）KEY：练习8.4：，，，。求直线与平面所成角的正弦值。解：方法一（向量法）：取中点，由三线合一得：⊥。又在等边△中⊥②，由①②得⊥平面。故可在点建系，为轴，为轴，竖起来为轴（不经过点）建系。则易得：，，。，，（在△中可求得）。∴。∴平面的法向量。方法二（等体积法）：同方法一求得到底面的距离为。∴（到平面的距离）。。KEY：练习8.5（21年嘉兴一模第2道大题，略难）：如图，四棱锥中，△为正三角形，，，，。求与平面所成角的正弦值。解：取边的中点，边的中点。容易证明四边形是平行四边形，在△中容易求得，故（解底面梯形也可作梯形的两条高用两次勾股定理，但略微麻烦点）。如图建系。，，，在△中容易求得，平面的法向量为。。KEY：练习10.1（较难，菱形）：如图，三棱柱ABC—A1B1C1所有的棱长均为2，，。求直线与平面夹角的余弦值。解：方法一：连接与，∵，，面，∴平面⊥平面。过作直线的垂线交于点。故∠为所求角，反复利用勾股定理可证明（证明方法如下：∵，故在△中使用勾股定理可求得。在菱形内使用勾股定理或中线定理可求得另一条对角线。在菱形内使用勾股定理或中线定理可求得另一条对角线。在△中使用勾股定理的逆定理得A1C1⊥B1C。）。方法二（建系法）：先证明面面。取中点，则，由，得面①。在△中使用勾股定理得。在△中使用勾股定理逆定理得②。由①②得面，故平面⊥平面。即可在点建系。KEY：练习10.2（暴力建系）：如图，三棱柱ABC­A1B1C1所有的棱长均为1，A1C1⊥B1C且A1B＝1，求直线A1C1和平面ABB1A1所成角的余弦值。解：我们先来证（第1小题）。由菱形对角线垂直得。又因为，故平面，所以①。又②，由①②得平面。所以。取中点，则，故平面。故平面平面。所以点在底面的射影在直线上。以为轴，为轴，竖起来为轴建系。设，，。由，。解得。平面的法向量。。直线A1C1和平面ABB1A1所成角的正弦值。KEY：例3（暴力计算）：如图，四边形是正方形，，，，求直线与平面所成角的正弦值。解：方法一（交轨法）：在底面等腰梯形中由初中几何知识得①，又②。由①②得面。∴平面⊥平面。∴在底面的投影在上。∵，，∴面，∴。而∠，在点以为轴，为轴，竖起来为轴建系。故，，，。面的法向量。方法二（暴力计算）：以为原点，为轴，为轴，竖起来为轴。同方法一容易得到在底面的投影在上。设。由，可计算得。KEY：练习1：如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点。求直线CE与平面PBC所成角的正弦值。解：方法一（找墙建系法）：取AD中点N，连BN，PN。设BC=CD=1，易证AD⊥PN，AD⊥BN，∴AD⊥PB，故BC⊥PB。故可求得PB，∴∠BNP=120°，即点P是向后翻的，由于PB长度固定，∴点P的位置固定。由于面PBN⊥面ABCD，故点P在面ABCD上的投影在交线BN上。以D点为原点，DA为x轴，DC为y轴，竖着为z轴建立直角坐标系。则。面PBC的法向量为，∴。方法二（暴力计算）：由于，故点在线段的中垂面上，以为轴，为轴，竖起来为轴建系。设点，，。由，得，。取。方法三（几何法）：取BC中点为M，中点。连接PN交EF于点Q，连接MQ。因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点。过点Q作PB垂线，垂足为H，连MH。MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH即所求角。KEY：（由简到难：方法二、一、三）练习2.1（含垂直的暴力计算）：如图，在四棱锥中，，分别是，的中点，，，，，，，，。求直线与平面所成角的正弦值。解：以为轴，为轴，竖起来为轴建系。，，。，，两式相减得：，，。平面的法向量。KEY：练习2.2：在三棱锥中，，，，为棱的中点，。求直线与平面所成角的正弦值。（由简到难：方法一、三、四、二）解：方法一（一眼看出坐标）：以为原点，为轴，为轴，竖起来为轴。∵，∴的横坐标为。∵，∴的纵坐标为。设，。∴（即点的坐标可以口算得到）。而，，。，。平面的法向量。方法二（找墙建系——非特殊角）：过作交于。则由相似三角形得：，。在△中使用余弦定理得，在△中对使用余弦定理计算得。∴。∴。以为原点，为轴，为轴，竖起来为轴建系。，。在△中使用余弦定理得。∴。，，。∴平面的法向量。。方法三（补形法）：将△补成矩形，在矩形的另一个顶点建系，点在底面的射影恰好在矩形的另一个顶点上（相当于补成一个四棱锥，长方体的一部分）。方法四（暴力建系）：以为原点，为轴，为轴，竖起来为轴。设，由，，，三个方程三个未知数解出。KEY：练习3（计算量较大）：在四棱锥中，∥，，，，是的中点。求直线与平面所成角的正弦值。解：方法一（找墙法）：取中点，中点，中点，过作交于点。易证平面，∴面⊥面，易证∠为所求线面角。。在△中是△高的一半。设，在底面直角梯形中可求得，∴，。求得。而在△中可求得。方法二（找墙建系法——非特殊角）：以点为原点建系，为轴，为轴，竖起来为轴。设，在底面直角梯形中可求得，∴，。在△中使用余弦定理得。∴，，，。，。面的法向量。方法三（暴力建系）：∵，∴点在线段的中垂面上。在点建系，为轴，为轴，竖起来为轴。设，由可求得，通过略大的计算量可求得，面的法向量。KEY：练习4（较难）：如图，已知三棱锥，，，平面⊥平面，求直线与平面所成的角的正弦值。解：方法一（找墙法1）：取中点，设，由等腰三角形三线合一与面面垂直性质定理知⊥面。∴⊥面。∴⊥①，又⊥②，由①②得：⊥平面。∴面ABC⊥面AMC。故面AMC是一堵墙，过M作ME⊥AC交AC于点E，。BC⊥MC，为了求MC的长度，我们作出△BCD的平面图形，作DF⊥BC的延长线交BC延长线于F。由中位线知。故。方法二（暴力计算）：在点建系，为轴，为轴，竖起来为轴。∵，∴在线段的中垂面上，故设。，，。平面的法向量，平面的法向量。①；②。由①②消去得。求得或（舍，∵即使△翻折到底，纵坐标也不到。）。方法三（找墙法2）：取中点，中点，容易证明，。则平面，∴平面平面。，。取中点，中点，连，。由平面⊥平面得平面。。在△中，由中线定理得。在直角△中求得，由勾股定理求得，∴。在△中，由中线定理得。在△中使用余弦理求得。∴到面的距离为。∴。方法四（等体积法）：类似方法三，求出与后即可求出三棱锥的体积。KEY：（方法四比方法三略简单，方法三可在点建系解决任意问题，就与17年浙江高考题类似。）练习5（较难）：如图，在四棱柱中，底面为矩形，，，，为的三等分点（靠近点），为的三等分点（靠近点），为与的交点。求直线与平面所成角的余弦值。解：，，故，由得。而故。由于在矩形顶点建系时的坐标较为复杂，故选择以为原点，为轴，为轴，竖起来为轴建系。△与△八字形相似得故，，，，设。由，，。解得：。，。平面的法向量。故。KEY：练习6（较难）：如图，在七面体中，四边形是菱形，其中，△，△，△都是等边三角形，且，求直线与平面所成角的正弦值。解：取中点，设，，由已知容易证明。故①，又，故②，由①②得平面，故平面平面。由△是等边三角形三线合一知④。由③④得平面。故。所以，，，四点共面，故，在底面的射影在直线上。以为轴，为轴，竖起来为轴建系。在△中由余弦定理得，故。设，，。两式作差得：，代入得或（舍，否则变成六面体）。所以。，，。故平面的法向量。。故。KEY：例4（找墙建系法）：在三棱锥中，，，。求直线与平面所成角的正弦值。解：方法一（找墙法）：取中点，连，，则直线，平面平面平面。故点在平面内的射影在射线上，在△中使用余弦定理求得。∴，即所求角。。方法二（找墙建系法）：在点建系即可。KEY：练习1.1（二面角）：如图，在三棱台的下底面是边长为2的正三角形，，且二面角的大小为120°，求直线与平面所成角的正弦值。解：取AC中点M，DF中点N。连接MN，MB。易证∠NMB=120°。易证AC⊥面NMBE，∴面NMBE⊥面ABC。故N在底面的投影在射线BM上，在点建系可求得，，。KEY：练习1.2：如图，四棱锥中，∥，，，△是等边三角形，分别为的中点。二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值。解：方法一（向量法）：取中点，为轴，为轴，竖起来为轴建系。则，，，，，平面的法向量，。。方法二（找墙法）：连接。由于，，则是二面角的平面角，，是边长为的正三角形，且平面。则平面平面。过点作于，则，平面，是直线与平面所成角的平面角。由于分别是的中点，则，从而。KEY：练习2（高线）：在三棱锥中，底面，,，为棱的中点，为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值。解：方法一（找墙法）：易知平面即一堵墙，过作交于点。则∠即所求角。过作交于点。容易求得，，在△中使用余弦定理求得。而平面，∴由勾股定理可求得。。方法二（向量法）：在点建系，为轴，为轴，竖起来为轴。过作交于。在直角△中，，，故。在△中，，过作交于点。则，，。故，平面的法向量。KEY：例5（与二面角几何法相结合）：如图，在四棱锥中，∥，，，为棱的中点，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值。解：由，得平面，∴，。∴∠即二面角的平面角，为。因为，，故底面。以为原点，为轴，为轴，竖起来为轴建系。设，则，，，。平面的法向量。KEY：练习1.1（一眼看出法向量）：如图，在三棱台中，，，，,二面角的大小为。求直线与平面所成角的正弦值。（方法一简单）解：方法一（一眼看出法向量）取中点，中点，∵三棱台，，∴四边形是等腰梯形，∴①，再由三线合一得②。由①②得平面（∵∥，∴四点共面），∴平面平面。以为轴，为轴，竖起来为轴。当平面垂直底面时，法向量为轴，现在二面角的大小为，∴法向量也在旋转，∴平面的法向量为。。。方法二：同方法一建系，设。利用二面角大小求出。方法三（等体积法）：本题关键是求点到平面的距离。由二面角大小求得到底面的距离为。由即可求得到平面的距离为（设）。KEY：练习2：在四棱锥中，平面，，∥，，为棱的中点。且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值。（方法二简单）解：方法一：取线段的中点，以为轴，为轴，为轴。易证，，∴平面，∴。∴即二面角的平面角。又直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，故。∴（也可设竖坐标，然后根据二面角的大小用向量法求出）。平面的法向量，。方法二：以为轴，为轴，竖起来为轴建系，，，,。，平面的法向量。KEY：练习3（云朵运动问题）：如图，在多面体中，∥，∥，，，。若二面角的平面角为，求直线与平面所成角的大小。解：。如图建系，则，，，。KEY：练习4：在三棱柱中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，BC1⊥AC。若二面角C1­AC­B的大小为60°，CC1＝2eq\r(2)，求BC1与平面AA1B1B所成角的正弦值。解：∠BAC＝90°，BC1⊥AC平面。所以平面平面。所以点C1在底面ABC上的射影H必在直线AB上。即二面角C1­AC­B的平面角，故。以为轴，为轴，竖起来为轴建系。则，，，。平面的法向量。KEY：练习5（略难）：如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，△为等腰三角形，。若二面角的余弦值为，且，求的长度，并求此时与平面所成角的正弦值。（方法二简单）解：方法一（含参向量法）：以为轴，为轴，竖起来为轴建系，设，，，，，。平面的法向量。二面角的余弦值或。∵，故取（当时，由余弦定理得。事实上时，很小，不满足）。∴。。，，平面的法向量。方法二：二面角的平面角为，在△中使用余弦定理，由求根公式得或（舍，）。在△中使用勾股定理得。在△中使用余弦定理得。∴。KEY：；练习6（21年杭州二模第2道大题第2小题，翻折问题，略难）：如图，在四棱锥中，△是正三角形，，，，，设二面角为，。求直线与平面所成角的正弦值。解：正三角形沿直线翻折过程中，某处恰好使得。取线段中点，线段靠近的三等分点。以为轴，为轴，竖起来为轴建系。因为，，所以平面。故平面，且平面平面。故在底面的射影在线段上，且。在△中使用余弦定理容易求得。故，，，。平面的法向量。KEY：例6（向量平行，略难）：如图，四棱锥中，平面平面，，为上一点，满足，。求直线与平面所成角的正弦值。解：方法一（向量法）：过作交于点，因为平面平面，所以平面。设，。故，。在△中可求得。以为轴，为轴，竖起来为轴建系。，，，，，平面的法向量。。方法二（找墙法）：容易证明，。所以平面。过作交于点，容易证明平面，与平面所成角等于与平面所成角。故即所求角。设，则。在直角三角形中由等面积法得。KEY：练习1（略难）：已知三棱台中，平面平面，，。求直线与平面所成角的正弦值。解：过作交于点，连。不妨设，，，（余弦定理或全等三角形）。由勾股定理逆定理得。由面面垂直性质定理得平面。以为轴，为轴，竖起来为轴。则，，，。平面的法向量，。直线与平面所成角的正弦值为。而。故答案为。KEY：练习2（菱形）：如图，在三棱柱中，各棱长均相等，且，求与平面所成角的大小。解：方法一（几何法）：连交于点，连。（菱形），（三线合一）。∴平面。∴为所求角。∵，使用四次勾股定理得：。∴。∴四边形是矩形，故为正方形。∴。∴。方法二（暴力计算）：如图建系，设，由暴力解得。∴，。方法三（向量平行）：∵正四面体，∴在底面的射影为正△的中心，∴。，，。，。∴平面的法向量，。∴。KEY：（方法一、三较简单）例7（射影为四心）：如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，。求与平面所成的角的正弦值。解：以为轴，为轴，竖起来为轴建系，因为，所以在底面的射影为△的外心，即线段的中点。所以，，，。平面的法向量。KEY：例8（交线未显示，改编）：如图，四棱锥，⊥平面，，，，，设平面与平面的交线为，求直线与平面所成的角的余弦值。解：方法一（几何法&向量法）：延长、交于点，连接线段，∵为、延长线的交点，故在平面内，也在平面内，由公理3知：点在平面与平面的交线上。同理，点也在平面与平面的交线上。∴直线即为平面与平面的交线。以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，易求得交线的方向向量为，平面的法向量为。故：，即所求线面角的余弦值为。方法二（纯几何法）：同方法1作出平面与平面的交线，再使用几何法。过点作交的延长线于点。易证垂直于面，又由公理2知两条相交直线在同一个平面内。故、在平面内，∴①，而②，由①②即可得平面。∴即所求的线面角。由△∽△得，由勾股定理