中考数学一轮复习专题检测 专题 多边形与平行四边形（含解析）

专题多边形与平行四边形一．选择题1．（2025•济南模拟）已知一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形2．（2024•锦江区校级模拟）在▱ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D的度数是（）A．80° B．40° C．70° D．140°3．（2024•贵州）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（）A．AB＝BC B．AD＝BC C．OA＝OB D．AC⊥BD4．（2024•乐山）如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BCB．AB＝DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DOD．AB∥DC，AD＝BC5．（2025•长治一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝135°，∠ACD＝80°，∠CBD＝20°，则∠COD的度数为（）A．75° B．53° C．85° D．90°6．（2024•武汉）小美同学按如下步骤作四边形ABCD；（1）画∠MAN；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（）A．64° B．66° C．68° D．70°7．（2025•浑南区模拟）如图，▱ABCD中，顶点A落在y轴上，顶点B，C落在x轴上，其中点C的坐标是（3，0），AB边的中点E的坐标是，则点D的坐标是（）A． B．（5，3） C．（4，3） D．8．（2024•山西模拟）如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径作弧；②以点D为圆心，AB长为半径作弧；③两弧在BD上方交于点C，连结BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的依据是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形9．（2024•兰陵县二模）如图1，在平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案为（）A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙10．（2024•凉州区校级三模）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝a，S△BQC＝b，S▱ABCD＝c，则阴影部分的面积为（）A．a+b B． C．c﹣2a﹣b D．2a+b二．填空题11．（2024•绥江县模拟）一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是．12．（2024•辽宁模拟）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，若∠C＝140°，则∠BAE＝°．13．（2024•大连三模）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点K为AB中点．若▱ABCD的周长为20，AC＝8，则△AOK的周长为．14．（2024•黄埔区校级二模）如图，在▱ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝3，AF＝5，且▱ABCD的周长为32，则BC的长为．15．（2025•陕西模拟）如图，直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，则α+β的大小为．16．（2024•定安县二模）如图，在平行四边ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，BE平分∠ABC，交边AD于点E，连接CE，若AE＝2ED，则CE的长为．17．（2024•宜宾）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E、F分别是边CD、AD上的动点，且CE＝DF．当AE+CF的值最小时，则CE＝．三．解答题18．（2024•湖北）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，求证：BE＝DF．19．（2024•十堰三模）平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别为线段BO、DO的两点，BE＝DF；求证：AF∥CE．20．（2024•徐州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．21．（2024•浙江）尺规作图问题：如图1，点E是▱ABCD边AD上一点（不包含A，D），连接CE．用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点．小明：如图2．以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．小明：小丽，你的作法有问题．小丽：哦…我明白了！（1）证明AF∥CE；（2）指出小丽作法中存在的问题．22．（2024•西宁）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AC上，过点D作DE∥BC交AB于点E，延长BC到点F，使CF＝AD，连接CE，DF．（1）求证：四边形DFCE是平行四边形．（2）若∠DCE＝30°，AC＝2，求FC的长．23．（2024•北京）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；（2）若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．24．（2024•东城区二模）如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，AE∥CD，∠ACB＝∠DAC，EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，EF＝EG．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若CD＝4，∠B＝45°，∠CEG＝15°，求AB的长．

答案与解析一．选择题1．（2025•济南模拟）已知一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【点拨】设多边形的边数为n，则根据多边形的内角和公式与多边形的外角和为360°，列方程解答．【解析】解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，（n﹣2）•180°＝360°，n﹣2＝2，n＝4．故选：B．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是利用多边形的内角和公式并熟悉多边形的外角和为360°．2．（2024•锦江区校级模拟）在▱ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D的度数是（）A．80° B．40° C．70° D．140°【点拨】由平行四边形的性质可得∠A＝∠C，AB∥CD，结合∠A+∠C＝80°得出∠A＝∠C＝40°，再由平行线的性质计算即可得出答案．【解析】解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∵∠A+∠C＝80°，∴∠A＝∠C＝40°，∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣∠A＝140°，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是平行四边形性质的应用．3．（2024•贵州）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（）A．AB＝BC B．AD＝BC C．OA＝OB D．AC⊥BD【点拨】利用平行四边形的性质一一判断即可解决问题．【解析】解：A、平行四边形的邻边不相等，无法得到AB＝BC，故此选项不合题意；B、因为平行四边形的对边相等，故AD＝BC，故此选项符合题意；C、平行四边形的对角线不相等，无法得出AO＝BO，故此选项不合题意；D、平行四边形的对角线不垂直，无法得到AC⊥BD，故此选项不合题意．故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．4．（2024•乐山）如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BCB．AB＝DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DOD．AB∥DC，AD＝BC【点拨】根据平行四边形的判断定理分别作出判断得出即可．【解析】解：A、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；B、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；C、根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；D、一组对边平行，另一组对边相等，可能是等腰梯形，故不能判断这个四边形是平行四边形，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．5．（2025•长治一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝135°，∠ACD＝80°，∠CBD＝20°，则∠COD的度数为（）A．75° B．53° C．85° D．90°【点拨】根据平行线的性质求出∠OCB＝55°，再根据三角形外角的性质可得结论．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC＝∠ACD＝80°，∵∠BAD＝135°，∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝135°﹣80°＝55°，∵AD∥BC，∴∠BCA＝∠CAD＝55°，∵∠CBD＝20°，∴∠COD＝∠CBD+∠BCA＝20°+55°＝75°，故选：A．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握其性质是解题的关键．6．（2024•武汉）小美同学按如下步骤作四边形ABCD；（1）画∠MAN；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（）A．64° B．66° C．68° D．70°【点拨】由（1）（2）（3）可知四边形ABCD是菱形，然后根据菱形的性质和三角形内角和定理求出答案即可．【解析】解：由（1）（2）（3）可知四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，BC∥AD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，∵∠A＝44°，∴∠ABD+∠ADB＝180°﹣∠A＝180°﹣44°＝136°，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝68°，故选：C．【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角和菱形的判定与性质，解题关键是根据已知条件中的作图判定四边形ABCD的形状．7．（2025•浑南区模拟）如图，▱ABCD中，顶点A落在y轴上，顶点B，C落在x轴上，其中点C的坐标是（3，0），AB边的中点E的坐标是，则点D的坐标是（）A． B．（5，3） C．（4，3） D．【点拨】根据点E的坐标，可以得到点A和点B的坐标，然后根据平行四边形的性质，可以得到点D的坐标．【解析】解：∵AB边的中点E的坐标是，∴点B的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（0，3），∵点C的坐标是（3，0），∴BC＝3﹣（﹣2）＝5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5，∴点D的坐标为（5，3），故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．（2024•山西模拟）如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径作弧；②以点D为圆心，AB长为半径作弧；③两弧在BD上方交于点C，连结BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的依据是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【点拨】由题意可知，BC＝AD，DC＝AB，再由平行四边形的判定即可得出结论．【解析】解：由题意可知，BC＝AD，DC＝AB，∴四边形ABCD为平行四边形，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．9．（2024•兰陵县二模）如图1，在平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案为（）A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙【点拨】方案甲：连接AC，由平行四边形的性质得OB＝OD，OA＝OC，则NO＝OM，得四边形ANCM为平行四边形；方案乙：证△ABN≌△CDM（AAS），得AN＝CM，再由AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形；方案丙：证△ABN≌△CDM（ASA），得AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，则∠ANM＝∠CMN，证出AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形．【解析】解：方案甲：如图，连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BN＝NO，OM＝MD，∴NO＝OM，∴四边形ANCM为平行四边形，故方案甲正确；方案乙：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN⊥BD，CM⊥BD，∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD＝90°，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（AAS），∴AN＝CM，又∵AN∥CM，∴四边形ANCM为平行四边形，故方案乙正确；方案丙：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，∴∠BAN＝∠DCM，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（ASA），∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，∵∠ANB+∠ANM＝180°，∠CMD+∠CMN＝180°，∴∠ANM＝∠CMN，∴AN∥CM，∴四边形ANCM为平行四边形，故方案丙正确；故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．10．（2024•凉州区校级三模）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝a，S△BQC＝b，S▱ABCD＝c，则阴影部分的面积为（）A．a+b B． C．c﹣2a﹣b D．2a+b【点拨】根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形EDC的面积，连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFQ＝S△BCQ，S△EFD＝S△ADF，所以S△EFG＝S△BCQ，S△EFP＝S△ADP，因此可以推出四边形EPFQ的面积就是S△APD+S△BQC．再根据面积差可得答案．【解析】解：连接E、F两点，过点E作EM⊥DC于点M，∵S△DEC＝，S▱ABCD＝DC•EM＝c，∴S△DEC＝c，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，∴S△EFC＝S△BCF，∴S△EFQ＝S△BCQ，同理：S△EFD＝S△ADF，∴S△EFP＝S△ADP，∵S△APD＝a，S△BQC＝b，∴S四边形EPFQ＝a+b，故阴影部分的面积为＝S△DEC﹣S四边形EPFQ＝c﹣a﹣b．故选：B．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系．二．填空题11．（2024•绥江县模拟）一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是9．【点拨】由多边形内角和定理：（n﹣2）⋅180°，可求多边形的边数．【解析】解：设这个多边形的边数是n，由题意得：（n﹣2）•180°＝1260°，∴n＝9，故答案为：9．【点睛】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形的内角和定理．12．（2024•辽宁模拟）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，若∠C＝140°，则∠BAE＝50°．【点拨】由平行四边形的性质推出AB∥CD，由平行线的性质推出∠B+∠C＝180°，求出∠B＝40°，由垂直的定义得到∠AEB＝90°，即可求出∠BAE＝90°﹣40°＝50°．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠C＝140°，∴∠B＝40°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＝90°﹣40°＝50°．故答案为：50°．【点睛】本题考查平行四边形的性质，关键是由平行四边形的性质求出∠B＝40°．13．（2024•大连三模）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点K为AB中点．若▱ABCD的周长为20，AC＝8，则△AOK的周长为9．【点拨】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OA＝OC，DO＝BO，点K为AB中点，可得OK是△ABC的中位线，可得OK＝BC．从而得到△AOK的周长．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，其周长为20，∴OA＝OC，OB＝OD，AB+BC＝10，又∵点K为AB中点，∴OK是△ABC的中位线，AK＝AB，∴OK＝BC，∴△AOK的周长＝×（AB+BC+AC）＝×（10+8）＝9，故答案为：9．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及三角形中位线的性质的应用．解题时注意：平行四边形的对角线互相平分．14．（2024•黄埔区校级二模）如图，在▱ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝3，AF＝5，且▱ABCD的周长为32，则BC的长为10．【点拨】由平行四边形的性质得出S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF，又由AE＝3，AF＝5，可得3BC＝5CD，又由▱ABCD的周长为32，可得BC+CD＝16，继而求得答案．【解析】解：∵▱ABCD的周长为32，∴BC+CD＝16，∵▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，∴S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF∵AE＝3，AF＝5，∴3BC＝5CD，∴BC＝10，CD＝6，故答案为：10．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的面积公式运用，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．15．（2025•陕西模拟）如图，直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，则α+β的大小为120°．【点拨】先根据正六边形的内角和可得∠A＝∠F＝120°，再根据四边形的内角和可得∠AMN+∠FNM＝120°，然后根据对顶角相等可得∠AMN＝α，∠FNM＝β，由此即可得．【解析】解：，∵在四边形AMNF中，∠AMN+∠FNM+∠A+∠F＝360°，∴∠AMN+∠FNM＝360°﹣（∠A+∠F）＝120°，由对顶角相等得：∠AMN＝α，∠FNM＝β，∴α+β＝∠AMN+∠FNM＝120°，故答案为：120°．【点睛】本题考查了正多边形的内角和、四边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和是解题关键．16．（2024•定安县二模）如图，在平行四边ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，BE平分∠ABC，交边AD于点E，连接CE，若AE＝2ED，则CE的长为3．【点拨】由平行四边形的性质推出AD∥BC，AB∥CD，CD＝AB＝6，得到∠AEB＝∠EBC，由角平分线定义得到∠ABE＝∠EBC，因此∠AEB＝∠ABE，推出AE＝AB＝6，求出DE＝3，由平行线的性质求出∠D＝60°，由含30度角的直角三角形的性质得到DH＝DE＝，求出EH＝DH＝，得到CH＝CD﹣DH＝，由勾股定理求出CE＝＝3．【解析】解：过E作EH⊥CD于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，CD＝AB＝6，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB＝6，∵AE＝2DE，∴DE＝3，∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝120°，∴∠D＝60°，∴∠DEH＝90°﹣60°＝30°，∴DH＝DE＝，∴EH＝DH＝，∵CH＝CD﹣DH＝，∴CE＝＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，关键是由平行线的性质，角平分线定义得到AE＝AB，由含30度角的直角三角形的性质求出DH，EH的长，由勾股定理即可求出CE的长．17．（2024•宜宾）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E、F分别是边CD、AD上的动点，且CE＝DF．当AE+CF的值最小时，则CE＝．【点拨】由“SAS”可证△CDF≌△HCE，可得CF＝EH，则AE+CF＝AE+EH，即当点A，点E，点H三点共线时，AE+CF有最小值，通过证明△CEH∽△BAH，可得△CEH∽△BAH，即可求解．【解析】解：如图，延长BC至H，使CH＝CD，连接EH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝2，AD∥BC，∴∠D＝∠DCH，又∵CD＝CH，DF＝CE，∴△CDF≌△HCE（SAS），∴CF＝EH，∴AE+CF＝AE+EH，∴当点A，点E，点H三点共线时，AE+CF有最小值，此时：∵CD∥AB，∴△CEH∽△BAH，∴，∴＝，∴CE＝，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．三．解答题18．（2024•湖北）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，求证：BE＝DF．【点拨】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD即∠BAE＝∠DCF，根据SAS可得△ABE≌△CDF，最后根据全等三角形的性质即可解答．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证的△ABE≌△CDF是解答本题的关键．19．（2024•十堰三模）平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别为线段BO、DO的两点，BE＝DF；求证：AF∥CE．【点拨】由平行四边形的性质得OD＝OB，OA＝OC，而BE＝DF，可推导出OF＝OE，即可根据“SAS”证明△AOF≌△COE，得∠AFO＝∠CEO，则AF∥CE．【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，∴OD＝OB，OA＝OC，∵BE＝DF，∴OD﹣DF＝OB﹣BE，∴OF＝OE，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（SAS），∴∠AFO＝∠CEO，∴AF∥CE．【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，证明△AOF≌△COE是解题的关键．20．（2024•徐州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．【点拨】（1）根据平行四边形的性质证明△ABE≌△CDF即可；（2）证明△ADF≌△CBE得出AF＝CE，即可作出判断．【解析】（1）证明：如图，∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，在ABE和CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：四边形AECF是平行四边形，理由：∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，又AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，又∵BE＝DF，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的性质和判定，解答该题的关键是熟练掌握平行四边形的性质与判定．21．（2024•浙江）尺规作图问题：如图1，点E是▱ABCD边AD上一点（不包含A，D），连接CE．用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点．小明：如图2．以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．小明：小丽，你的作法有问题．小丽：哦…我明白了！（1）证明AF∥CE；（2）指出小丽作法中存在的问题．【点拨】（1）根据小明的作法知，CF＝AE，根据平行四边形的性质求出AD∥BC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”求出四边形AFCE是平行四边形，根据“平行四边形的对边互相平行”即可得证；（2）以A为圆心，EC为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意．【解析】（1）证明：根据小明的作法知，CF＝AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵CF＝AE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF∥CE；（2）解：以A为圆心，EC为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意．故小丽的作法有问题．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键．22．（2024•西宁）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AC上，过点D作DE∥BC交AB于点E，延长BC到点F，使CF＝AD，连接CE，DF．（1）求证：四边形DFCE是平行四边形．（2）若∠DCE＝30°，AC＝2，求FC的长．【点拨】（1）由等腰直角三角形的性质得∠A＝∠B＝45°，进而证明∠A＝∠AED，得AD＝DE，再证明DE＝CF，然后由平行四边形的判定即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得FC＝DE，设AD＝DE＝FC＝x，则DC＝AC﹣AD＝2﹣x，再由含30°角的直角三角形的性质得CE＝2DE＝2x，然后由勾股定理得出方程，解方程即可．【解析】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠AED＝∠B＝45°，∴∠A＝∠AED，∴AD＝DE，∵CF＝AD，∴DE＝CF，又∵DE∥FC，∴四边形DFCE是平行四边形；（2）解：由（1）可知，四边形DFCE是平行四边形，∴FC＝DE，设AD＝DE＝FC＝x，则DC＝AC﹣AD＝2﹣x，由（1）可知，∠ADE＝90°，∴∠CDE＝90°，在Rt△DEC中，∠DCE＝30°，∴CE＝2DE＝2x，由勾股定理得：DE2+CD2＝CE2，即x2+（2﹣x）2＝（2x）2，解得：x＝﹣1，x2＝﹣﹣1（不符合题意，舍去），∴FC＝﹣1．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．23．（2024•北京）如图，在四边形ABCD中，E是AB