七年级数学下册试题 4.1.1三角形中的高线、中线、角平分线-北师大版（含答案）

4.1.1三角形中的高线、中线、角平分线一、单选题1．下列四个图形中，线段是∆ABC的高的是（

）A． B．C． D．2．下列说法中，正确的是（）A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线3．如图，已知∆ABC中，分别是三角形的高线，角平分线和中线，下列结论错误的是（）

A． B． C． D．4．如图，∆ABC的角平分线、中线相交于点O，①是的角平分线；②是的中线；③是的中线；④是的角平分线．以上结论正确的是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．②③5．大约在公元年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2，∆ABC为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若∆ABC的面积为，则的面积是（

）A． B． C． D．二、填空题6．如图，是∆ABC的中线，已知的周长为，比长，则的周长为．7．在直角∆ABC中，已知，，，，在∆ABC的内部找一点P，使得P到∆ABC的三边距离相等，则这个距离是．8．如图，都是∆ABC的中线，连接的面积是，则∆BDE的面积是．9．（1）在∆ABC中，是的平分线，是边上的中线．若，则；若，则．（2）在∆ABC中，，是边上的中线，∆ABC的周长为，的周长为，则．10．如图，对∆ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…；按此规律继续下去，可得到，若，则．（结果用含a的代数式表示）三、解答题11．如图，是∆ABC的中线，，的周长是18，求的长．12．在∆ABC中，，．(1)若是偶数，求的长；(2)已知是∆ABC的中线，若的周长为13，求的周长．13．如图，在∆ABC中，是边上的中线，交于点，为的中点，连接．已知，∆ABC的面积为24．(1)求的长．(2)若，求与的周长差．14．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法）(1)如图1，在∆ABC中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点；(2)如图2，在∆ABC中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线．15.∆ABC如图所示，分别是∆ABC的高，已知．(1)请画出∆ABC的高和；(2)求∆ABC的面积；(3)若，求的长．16.数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下：(1)小香：如图1，已知∆ABC的高，面积为，求的长度．(2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求．(3)小宇：如图3，已知平分，，，求．17.等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．(1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________；(2)如图2，在∆ABC中，，，则∆ABC的高与的比是____________；(3)如图3，在∆ABC中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值．18.在∆ABC中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明．【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________；答案一、单选题1．D【知识点】画三角形的高【分析】本题主要考查三角形高线的定义，熟记三角形高线的概念并灵活判断是解题的关键；首先熟悉高线的概念：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段就是三角形的高线，根据高线的概念，判断选项中线段是否为的高，即可得到答案.【详解】解：根据三角形高的定义可知，选项D中是的高，故选：D2．B【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义【分析】本题考查与三角形有关的线段，解题的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的定义，据此分析即可．【详解】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意；B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意；C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意；D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意．故选：B．3．C【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求面积、画三角形的高【分析】本题考查了三角形的高线，角平分线及中线的定义，熟练掌握三角形的高线，角平分线及中线的定义所隐含的数量关系式解答本题的关键．根据三角形的高线，角平分线及中线的定义解答即可．【详解】解：∵分别是三角形的高线，角平分线及中线，∴，，∴正确，C错误．故选：C．4．B【知识点】根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形中线的定义，根据题意得，根据这两个条件判断所给选项是否正确即可．【详解】解：∵∆ABC的角平分线、中线相交于点O，，①在中，，∴是的角平分线，故①正确；②，所以不是的中线，故②错误；③在中，是的中线，故③正确；④不一定等于，那么不一定是的角平分线，故④错误；正确的有2个选项①③．故选：B．5．C二、填空题6．【知识点】根据三角形中线求长度【分析】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：是∆ABC的中线，，的周长为，，，比长，，，，的周长，故答案为：．7．2【知识点】与三角形的高有关的计算问题【分析】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．连接，作于D，于E，于F，根据三角形的面积公式得到，然后代数计算即可．【详解】如图所示，连接，作于D，于E，于F，由题意得，，∵，∴，即，解得，，∴这个距离是2．故答案为：2．8．4【知识点】根据三角形中线求面积【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积．根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得，．【详解】解：∵是∆ABC的中线，∆ABC的面积是，∴，∵是∆ABC的中线，∴为的中线，即，故答案为：4．9．3【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度【分析】本题考查了角平分线，中线等知识．熟练掌握角平分线，中线的定义是解题的关键．（1）根据角平分线，中线的定义求解作答即可；（2）由是边上的中线，可得，由题意知，∆ABC的周长为，的周长为，计算求解即可．【详解】（1）解：∵是的平分线，，∴，∵是边上的中线，，∴，故答案为：，3；（2）解：∵是边上的中线，∴，由题意知，∆ABC的周长为，的周长为，∴，，故答案为：．10．【知识点】用代数式表示数、图形的规律、与三角形的高有关的计算问题【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是理解同高的两个三角形的面积之比等于底边之比．连接，，，找出延长各边后得到的三角形与原三角形面积的倍数规律，然后利用规律求延长第次后的面积．【详解】解：连接，，设，，∵∆ABC中边上的高，与中边上的高相同，，中边上的高，与中边上的高相同，同理可得，，所以；同理得；，，，，∵，∴，解得．故答案为：．三、解答题11．解：∵是∆ABC的中线，∴，∵的周长是，∴，∴，∴，∴．12．（1）解：由三角形的三边关系可知：，即，是偶数，；（2）解：的周长为13，，，，∵BD是∆ABC的中线，，，，的周长．13．（1）解：∵，∆ABC的面积为24．交于点，∴，解得，∵是边上的中线，∴（2）∵为的中点，∴∵的周长，的周长，∴与的周长差．14．（1）解：点即为所作；；（2）解：线段即为所作；．15.（1）解：依题意，即为所求作的高，如图所示：；（2）解：∵，是∆ABC的高，∴．（3）解：∵是∆ABC的高，且∴，∴，∴．16.（1）解：∵，又∵，，∴，∴；（2）解：∵D是中点，∴，∵，∴，∵，，∴；（3）解：∵，，∴，∵平分，∴．17.（1）解：∵在中，，，∴，∵，，，∴；故答案为：；（2）解：