贵州省黔东南苗族侗族自治州部分学校2025届高三下学期联考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1贵州省黔东南苗族侗族自治州部分学校2025届高三下学期联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，全集，故.故选：C.2.抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，且，则焦点F到坐标原点O的距离是（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】由题意可得，解得，则焦点F到坐标原点O的距离是2.故选：B3.产品质量指数是衡量产品质量水平的综合指标.某厂质检员从一批产品中随机抽取10件，测量它们的产品质量指数，得到的数据分别为76，90，80，82，72，87，83，85，89，92，则这组数据的第70百分位数是（）A.83 B.84 C.87 D.88【答案】D【解析】将这组数据从小到大排列为72，76，80，82，83，85，87，89，90，92，而，所以这组数据的第70百分位数是.故选：D4.已知直线与圆，则“”是“圆上恰有3个点到直线的距离为1”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由圆上恰有3个点到直线的距离为1得到圆心到直线的距离为1，则，解得，则“”是“圆上恰有3个点到直线的距离为1”的充分不必要条件.故选：A.5若函数，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的单调递减区间为D.的图象与x轴的两个交点A，B之间的最小距离是【答案】C【解析】因为，则最小正周期，故A错误；因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误；令，解得，则的单调递减区间为，故C正确；令，得，设，，则或，解得或，所以，故D错误.故选：C.6.在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（）A.36 B.40 C.52 D.56【答案】D【解析】过点作，垂足为H，则.因为侧棱与底面所成角的余弦值为，所以，所以，则梯形的高，故该正四棱台的表面积是.故选：D.7.设的内角的对边分别为，且，为的平分线且与BC交于点D，，则面积的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，即，，，，为的平分线且与BC交于点，，，即，又，解得，当且仅当时等号成立，的面积，的面积的最小值为.故选：B.8.已知直线与双曲线（，）的左，右两支分别交于A，B两点，F是双曲线C的左焦点，且，则双曲线C的离心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，因为直线的斜率为，所以.因为，所以，所以为等边三角形，，所以，，.设双曲线的右焦点为，连接.由对称性可知.由双曲线的定义可得，即，则.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数z满足，则（）A. B.z的实部是C. D.复数z在复平面内对应的点位于第四象限【答案】AC【解析】由题意可得，则的实部是，复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故A，C正确，B，D错误.故选：AC.10.若m，n分别是函数，的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则a的取值可能是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】易证是上的增函数，且，则.因为与互为“零点相邻函数”，所以，即，解得.因，所以，所以在上有解，即在上有解.设，则.由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增.因为当时，，且，如下图，所以，即，解得.故选：ABC11.如图，圆锥SO底面圆的圆心为O，AB是圆O的一条直径，SA与底面所成角的正弦值为，，P是母线SA的中点，C是母线SB上一动点，则下列说法正确的是（）A.圆锥SO的母线长为12B.圆锥SO的表面积为C.一只蚂蚁沿圆锥SO的侧面上的曲线从点A爬到点P处，在蚂蚁所爬的最短路径中，这只蚂蚁离圆锥SO的顶点S的最短距离是D.在圆锥SO内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是【答案】BCD【解析】如图1，圆锥的轴截面为等腰三角形，则.因为与底面所成角的正弦值为，所以，所以，解得，故错误；如图2，在圆锥的侧面展开图中，，则圆锥的侧面积为，所以圆锥的表面积为，故B正确；如图2，过点作，垂足为.在中，，由余弦定理可得，则，即，解得，故C正确；如图1，设圆锥内切球的球心为，过点作，垂足分别为，由题意可知，则，所以因为，所以，所以，解得.设该正方体棱长的最大值为，则，解得，所以该正方体的体积的最大值是，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，则___________.【答案】【解析】因为，，所以，又，所以，解得.故答案为：13.现有6根小棒，其长度分别为1，2，3，4，5，6，从这6根小棒中随机抽出3根首尾相接（不能折断小棒），则能构成三角形的概率是___________.【答案】【解析】从这6根小棒中随机抽出3根，共有种不同的情况，其中能构成三角形的情况有共7种，故所求概率为.故答案为：14.已知函数的最小值是，则___________.【答案】【解析】由题意可得.设，则，所以是偶函数.当时，.设，则恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增.因为是偶函数，所以在上单调递减，所以，由.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在数列中，，.（1）证明：数列是等差数列.（2）求的通项公式.（3）若，求数列的前项和.（1）证明：因为，所以，所以.因为，所以，所以数列是首项和公差均为1的等差数列.（2）解：由（1）可得，则，故.（3）解：由（2）可得，则16.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性.解：（1）当时，，则，从而，，故所求切线方程为，即（或）.（2）由题意可得.当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减；当，即时，恒成立，则在上单调递增；当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.17.如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是直角梯形，，，，.（1）证明：平面平面.（2）线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：取棱的中点O，连接，设，则，，因为是等边三角形，且O是的中点，所以.因为，所以，所以，则.因为平面，平面，且，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）解：取棱CD的中点F，连接OF，则两两垂直，以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，，则，，设，则，又，所以.设平面的法向量为，则令，得.设直线与平面所成的角为，则解得或，故当或时，直线与平面所成角的正弦值为.18.某商场推出了购物抽奖活动，活动规则如下：如图，在点A，B，C，D，E处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起.初始状态是点A处的灯亮起，程序运行次数的上限为（，），然后按下开始按扭，程序开始运行，第1次是与A相邻点处的其中一盏灯随机亮起，第n次是与第次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起.若在运行过程中，点A处的灯再次亮起，则游戏结束，否则运行n次后游戏自动结束.在程序运行过程中，若点A处的灯再次亮起，则顾客获奖.已知顾客小明参与了该购物抽奖活动.（1）求程序运行2次小明获奖的概率；（2）若，求小明获奖的概率；（3）若，记游戏结束时程序运行的次数为X，求X的分布列与期望.解：（1）程序运行2次小明获奖的情况有，这两种，其概率.（2（1））当时，小明获奖的情况如下：程序运行2次，小明获奖；程序运行4次，小明获奖.程序运行4次，小明获奖的情况有，，，，这五种，其概率，故当时，小明获奖的概率.（3）当时，的所有可能取值为2，4，5，6.由（1）可知，由（2）可知，当时，包含，，，这四种情况，其概率，.故X的分布列为X2456P故.19.已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别是是椭圆上一点，且.（1）求椭圆的标准方程.（2）过点的直线与椭圆交于两点（异于顶点），直线分别交椭圆于两点（异于）.①当直线的斜率不存在时，求的面积；②证明：直线过定点.解：（1）由题意可得，解得.故椭圆