二重积分的计算课件2

机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法二重积分的计算设是有界闭区域上的有界函数，直角坐标系下若在有界闭区域上连续，则在D上的二重积分存在。极坐标系下两次定积分机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束关于x,y的两次定积分x,y的范围怎样确定？区域D的表示问题一、利用直角坐标系计算二重积分机动目录上页下页返回结束1、积分区域为：其中函数、在区间上连续.－型区域出口曲线入口曲线假设D是上述x型区域，计算的值穿过区域D内部且平行于y轴的直线与D的边界不多于两个交点.应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.的值等于以D为底,以曲面z=f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积。机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束于是上式右端的积分称为先对y后对x

的二次积分.即注:上式对于在区域D上的一般可积函数f(x,y)仍成立.先把x

看作常数,把f(x,y)看作y

的函数,并对y计算从的定积分;然后把计算的结果再对x到计算在区间[a,b]上的定积分.机动目录上页下页返回结束2、积分区域为：－型区域穿过区域D内部且平行于x轴的直线与D的边界不多于两个交点.当被积函数均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于机动目录上页下页返回结束说明:

二重积分化为二次积分的关键是确定积分限和积分顺序.

(积分域作图)说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则机动目录上页下页返回结束例1.

计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x

所围的闭区域.解法1.

将D看作X–型区域,则解法2.

将D看作Y–型区域,

则机动目录上页下页返回结束例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则机动目录上页下页返回结束例3.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:

由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x

积分不行,说明:

有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动目录上页下页返回结束例4.交换下列积分顺序解:

积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则机动目录上页下页返回结束解积分区域如图例5

改变积分的次序.原式

机动目录上页下页返回结束例6.

计算其中D由所围成.解:

令(如图所示)显然,机动目录上页下页返回结束解原式例7.

改变积分的次序.机动目录上页下页返回结束对应有二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线

=常数,分划区域D为机动目录上页下页返回结束即机动目录上页下页返回结束极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式(１)区域D

特征如图机动目录上页下页返回结束二重积分化为二次积分的公式(２)区域D

特征如图机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束二重积分化为二次积分的公式(３)区域D

特征如图若f≡1则可求得D的面积思考:

下列各图中域D

分别与x,y轴相切于原点,试答:问

的变化范围是什么?(1)(2)机动目录上页下页返回结束当积分区域的边界曲线含有表达式被积函数又呈或时，注：或者常用极坐标.例1.计算其中解:

在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.机动目录上页下页返回结束注:利用例1可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用例1的结果,得①故①式成立.机动目录上页下页返回结束例2.

求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:

设由对称性可知机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例3.

计算解.

令则其中机动目录上页下页返回结束例4.

计算解.

令这里D为圆域的扇形部在第一象限中极角由0到分(极点在(1,0)).则D用极坐标表示为:解:例5.

计算其D为由圆及直线

所围成的平面闭区域.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束练习在一形状为旋转抛物面的容器内,已盛有的溶液,现又倒进,问液面较之原来升高多少？定积分换元法*三、二重积分换元法

满足一阶导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理:变换:是一一对应的,机动目录上页下页返回结束证:根据定理条件可知变换T可逆.

用平行于坐标轴的直线分割区域任取其中一个小矩形,其顶点为通过变换T,在xoy

面上得到一个四边形,其对应顶点为则机动目录上页下页返回结束同理得当h,k

充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四边形,故其面积近似为机动目录上页下页返回结束因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:例如,

直角坐标转化为极坐标时,机动目录上页下页返回结束例8.

计算其中D是x

轴y

轴和直线所围成的闭域.解:令则机动目录上页下页返回结束例9.计算由所围成的闭区域D

的面积S.解:令则机动目录上页下页返回结束例10.

试计算椭球体解:由对称性令则D的原象为的体积V.机动目录上页下页返回结束内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则机动目录上页下页返回结束则(2)一般换元公式且则极坐标系情形:若积分区域为在变换下机动目录上页下页返回结束(3)计算步骤及注意事项•

画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为