湛江市年模拟数学试题（一）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精湛江市2017年高考模拟测试题数学试卷分值：150分时间：120分钟一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1。已知集合,则等于()A．（—3，-2)B.(—3,2）C．(2,4)D．（-2,4)2.若复数z满足z+zi=3+2i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3。如果等差数列{an｝中，a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．354.有四个游戏盒，将它们水平放稳后,在上面仍一粒玻璃珠，若玻璃珠落在阴影部分，则可中奖,则中奖机会大的游戏盘是（)A．B．C．D．5.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率(）A，B.，C.，D。。6。一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m),则该几何体的体积为（）A． B． C． D．7。若函数f（x)=（k﹣1）ax﹣a﹣x(a＞0,a≠1）在R上既是奇函数,又是减函数，则g（x)=loga(x+k）的图象是（)A．B．C．D．8.设a,b，c,d∈R，且a＞b,c＜d，则下列结论中正确的是(）A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．＞9。程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．1410.设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点,与圆(x﹣5）2+y2=r2(r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是（)A．（2,4) B．(1，3) C．（1，4） D．（2，3）11。如图，ABCD﹣A1B1C1D1A．异面直线AC1与CB所成的角为45°B．BD∥平面CB1D1C．平面A1BD∥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为45°12。在△ABC中，①若B=60°,a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（)A．0 B．1 C．2 D．3第II卷（非选择题）二、填空题:本题共4个小题．每小题5分,共20分．13.已知=（x+1，2），=(4,﹣7)，且与的夹角为锐角，则x的取值范围为．14.在的展开式中，的系数为(用数字作答)15。已知数列{an｝是各项正数首项1等差数列，Sn为其前n项和,若数列{｝也为等差数列，则的最小值是．16.某生产旅游纪念品的工厂，拟在2017年度进行系列促销活动．经市场调查和测算,该纪念品的年销售量x（单位：万件)与年促销费用t(单位：万元）之间满足3﹣x与t+1成反比例（若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件）；已知工厂2017年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的1.5倍”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时，则当年的产量和销量相等．（利润=收入﹣生产成本﹣促销费用）；当2017的促销费投入万元时，该工厂的年利润最大三、解答题:本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题12分）如图，某旅游区拟建一主题游乐园，该游乐区为五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为主题游乐区，四边形区域为BCDE为休闲游乐区,AB、BC,CD,DE，EA,BE为游乐园的主要道路（不考虑宽度）．∠BCD=∠CDE=120°,∠BAE=60°，DE=3BC=3CD=3km．（I）求道路BE的长度；（Ⅱ）求道路AB，AE长度之和的最大值．18。(本小题12分）如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB,且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．(Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；(Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在,试确定点N的位置;若不存在，请说明理由．19.(本小题12分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷，现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：（1）试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；（2)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答以下问题：①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75％?②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐,你会选择哪款?并说明理由．20。（本小题12分)已知椭圆的离心率为，且过点．若点M(x0，y0）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”．（I）求椭圆C的标准方程；(Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A,B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值?若为定值,求出定值；若不为定值，说明理由．21.(本小题12分）已知函数f（x）=x﹣+alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在［1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）已知g(x)=x2+（m﹣1）x+,m≤﹣，h（x）=f（x)+g（x)，当时a=1，h（x)有两个极值点x1，x2,且x1＜x2，求h（x1）﹣h（x2）的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.［选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数)，在以原点为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=（1）求C的普通方程和l的倾斜角；(2）若l和C交于A，B两点，且Q（2，3）,求|QA|+｜QB｜．23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分)已知∃x0∈R使得关于x的不等式｜x﹣1|﹣|x﹣2｜≥t成立． （Ⅰ)求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ)若m＞1，n＞1,且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立,试求m+n

湛江市2017高考模拟测试题数学试卷答案选择题题号123456789101112答案CDCDDCABBAAC填空题13、（，+∞）;14、7；15、;16、7；12.解:在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，由正弦定理可知,，所以sinA=＞1,故错误;②若三角形的三边的比是3：5：7，根据题意设三角形三边长为3x,5x，7x，最大角为α，由余弦定理得：cosα==﹣，则最大角为120°，故正确；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x,设所对角分别为A,B，C，则最大角为B或C所对的角，∴cosB=＞0，得是＜x，cosC=＞0,得x＜．则x的取值范围是，故正确；故选：C．16.设反比例系数为k（k≠0），有，因为当t=0时x=1,代入得k=2，所以；易得：,化简得:；，当且仅当t=7时取等号；所以,当2017年的促销费投入7万元时,工厂的年利润最大为42万元．三．解答题17.解：（I）如图，连接BD，在△BCD中，由余弦定理可得：BD2=BD2+CD2﹣2BC•CDcos∠BCD=1+1﹣2×1×1×（﹣）=3，∴BD=，∵BC=CD，∴∠CDB=∠CBD==30°,又∵∠CDE=120°，∴∠BDE=90°，∴在Rt△BDE中，BE===2．…5分(Ⅱ）设∠ABE=α，∵∠BAE=60°，∴∠AEB=120°﹣α，在△ABE中，由正弦定理,可得：，∵=4，∴AB=4sin(120°﹣α），AE=4sinα，∴AB+AE=4sin（120°﹣α)+4sinα=4（)+4sinα=2cosα+6sinα=4sin（α+30°）,∵0°＜α＜120°，∴30°＜α+30°＜150°，∴当α+30°=90°,即α=60°时，AB+AE取得最大值4km，即道路AB,AE长度之和的最大值为4km．…12分18.【解答】证明：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEP=AB,BP⊥AB，∴BP⊥平面ABCD，又AB⊥BC，∴直线BA，BP，BC两两垂直，以B为原点，分别以BA，BP,BC为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则P(0，2，0），B(0,0，0），D（2，0，1），E（2，1,0)，C(0，0，1），∴M（1，1，)，∴=（﹣1，0，）,=（0，2，0）．∵BP⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的一个法向量，∵=﹣1×0+0×2+=0，∴⊥．又EM⊄平面ABCD，∴EM∥平面ABCD．(Ⅱ）解：当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为．理由如下：∵=（2,﹣2,1），=（2，0，0），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则．∴．令y=1，得=（0，1，2）．假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于．设=λ=（2λ,﹣2λ,λ)（0≤λ≤1），∴==（2λ，2﹣2λ，λ）．∴cos＜＞===．∴9λ2﹣8λ﹣1=0，解得λ=1或（舍去)．∴当N点与D点重合时,直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于．19。解、(1)众数为55．平均数为40．（2)①使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75％．②选B款订餐软件．⑴依题意可得,使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间"的众数为55(分钟)．使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.06＋25×0.34＋35×0。12＋45×0。04＋55×0。4＋65×0。04＝40(分)．……5分⑵①使用B款订餐软件“平均送达时间"不超过40分钟的商家的比例估计值为故可认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75％．…8分②使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为，所以选B款订餐软件．……………12分(注:本小题答案开放，只要能够按照统计知识合理作答，即给满分，如以下回答也符合要求．根据样本估计总体的思想可知,使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间"在30分钟内的概率为0．4，使用B款订餐软件的商家的“平均送达时间”在30分钟内的概率为0．24，所以可选A款订餐软件．）20.解：（I)由题意知e==，a2﹣b2=c2，即又,可得a2=4,b2=3,即有椭圆的方程为+=1；(II）设A(x1，y1），B（x2,y2)，则，由于以PQ为直径的圆经过坐标原点,所以，即，由得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0,化为3+4k2﹣m2＞0x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m)（kx2+m）=k2x1x2+km(x1+x2）+m2=k2x1x2+km(x1+x2）+m2=k2•+km（﹣）+m2=，代入，即，得：,2m2﹣4k2=3,，O到直线l的距离为,△ABO的面积为，把2m2﹣4k2=3代入上式得．21。解：（1）∵f（x)=x﹣+alnx，∴f′(x）=1++，∵f（x）在[1,+∞）上单调递增，∴f′（x）=1++≥0在［1，+∞)上恒成立,∴a≥﹣(x+）在[1，+∞)上恒成立，∵y=﹣x﹣在［1，+∞)上单调递减,∴y≤﹣2,∴a≥﹣2；（2)h（x）=f（x)+g（x)=lnx+x2+mx，其定义域为（0,+∞）,求导得,h′(x）=，若h′（x）=0两根分别为x1，x2,则有x1•x2=1,x1+x2=﹣m，∴x2=,从而有m=﹣x1﹣，∵m≤﹣，x1＜x2，∴x1∈（﹣∞，）∪（，+∞）则h（x1)﹣h（x2）=h（x1）﹣h（)=2lnx1+（﹣）+(﹣x1﹣)（x1﹣)，令φ（x)=2lnx﹣（x2﹣)，x∈[，1]．则[h（x1）﹣h（x2）］min=φ（x）min，φ′（x）=﹣，当x∈（，1］时,φ′（x）＜0，∴φ（x）在［，1］上单调递减,φ（x）min=φ(1）=0，∴h（x1）﹣h（x2）的最小值为0．22。［选修4—4：坐标系与参数方程］解：（1）曲线C的参数方程为(α为参数）,普通方程是=1由ρsin（θ﹣）=，得ρsinθ﹣ρcosθ=1