高中数学选修2-1同步练习全集(有答案)(高二)

‘课时作业

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［基础达标］

1.命题“若则2">22的否命题为（）

A.若a>b,则2"<2〃B.若aWb,则2"W2”

C.若aWb,则2">2"D.若a>b,则2"<2"

解析：选B.把条件和结论分别加以否定.

2.“若x>l,则p”为真命题，那么p不能是（）

A.x>—B.x>0

C.x>lD.x>2

解析：选D.x>l=/x>2,故选D.

3.给出下列命题：①例=/>/；②4>人="3>/；③同其中正确的个数是（）

解析：选B.由不等式的性质可知①②正确.当|a|W团时，③不正确.

4.已知a,。为两条不同的直线，。，灯为两个不同的平面，且a_La,Z?_LF,下列命题中的假命题是（）

A.若a//b,贝！］a〃4

B.若a_L£,则a_Lb

C.若a,Z?相交，则a,8相交

D.若a,£相交，则“，b相交

解析：选D.举反例如图，已知a,8为两个不同的平面，且aCl£=c,于点

A,bL8于点、B,a与〃异面.故“若a,£相交，则a,〃相交”是假命/»题.

5.命题“如果“，b都是奇数，则必必为奇数"的逆否命题是（）x2/

A.如果就是奇数，则a,b都是奇数,

B.如果a〃不是奇数，则a,〃不都是奇数

C.如果“，方都是奇数，则仍不是奇数

D.如果a,匕不都是奇数，则而不是奇数

解析：选B.先写原命题的否命题为“如果a,b不都是奇数，则ab不是奇数，”再把否命题的条件和结

论交换，得“如果而不是奇数，则a、b不都是奇数”.

6.下列语句中是命题的有,其中是真命题的有（写序号）.

①北京是中国的首都；

②x=2是方程X2—4x+4=0的根；

③3"不是个大数；

④sinx>—x2；

⑤0是自然数吗？

⑥我希望明年考上北京大学.

解析：①是命题，且是真命题.

②是命题，且是真命题.

③不是命题，因为无法判断其真假.

④不是命题，因为随着x取值的不同，式子有的成立，有的不成立，即无法判断其真假.

⑤不是命题，因为它是疑问句.

⑥不是命题，因为它是祈使句.

答案：①②①②

7.命题“已知4、X为实数，如果关于X的不等式，+（2“+l）x+a2+2W0的解集非空，则aNl”的逆

否命题为.

解析：先写出逆命题，再把逆命题条件和结论交换即可.

答案：已知a、x为实数，如果则关于x的不等式，+（2〃+1）田+/+2・0的解集为0

8.有下列四个命题：

①命题“若孙=1,则x,y互为倒数”的逆命题；

②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；

③命题“若,后1,则*2—2x+,〃=0有实数根”的逆否命题；

④命题“若AA8=8,则AUB”的逆否命题.

其中是真命题的是（填上正确命题的序号）.

解析：④中由应该得出BUA,原命题为假命题，所以逆否命题为假命题.

答案：①②③

9.判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假.

（1）若a>b,则ac1>hc2；

（2）若在二次函数）=以2+公+以4不0）中，则该二次函数图像与x轴有公共点.

解：（1）该命题为假.因为当c=0时，ac2=b（T.

逆命题：若则〃>/?,为真.

否命题：若aWb,则acaWbc2,为真.

逆否命题：若ac/Wbc?,则为假.

（2）该命题为假.：当/一4m<0时，二次方程以2+云+。=。没有实数根，因此二次函数丫=欠2+旅

+c的图像与x轴无公共点.

逆命题：若二次函数+的图像与x轴有公共点，则//—4〃cV0,为假.

否命题：若在二次函数y=av2+〃x+c中，/-4ac20,则该二次函数图像与x轴没有公共点，为假.

逆否命题：若二次函数），="2+桁+。的图像与x轴没有公共点，则属一4ac，o,为假.

10.（1）如图，证明命题是平面力内的一条直线，6是平面化外的一条直线（匕不垂直于兀），c是直线人

在力上的投影，若则为真.

（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）.

解：（1）证明：如图，设cC/?=A,P为直线匕上异于点A的任意一点，作「O_L?r,垂足为O,则OGc,

VPO±n,a77,：.PO-La,

又q_Lb,b平面%O,POHb=P,

平面以O,又c平面附O,

al-c.

(2)逆命题为：”是平面乃内的一条直线，6是平面不外的一条直线(b不垂直于乃)，c是直线匕在平面乃

上的投影，若则逆命题为真命题.

[能力提升]

1.下列命题正确的个数为()

①已知一IWx+yWl,lWx—)W3,则3x—y的范围是[1,7]；

②若不等式版一1>〃©2—1)对满足|〃?|W2的所有，"都成立，则x的范围是(夸二，誓’)；

③如果正数小Z?满足必=。+〃+3,则必的取值范围是[8,+°°)；

④〃=k)gR,Qlog.c=(g)°s的大小关系是

32

A.1B.2

C.3D.4

A+//=3

解析：选B.对①，令3x—y=2(x+y)+〃(x—y)=(2+4)x+(2—4)y,得彳，

,A-/z=-1

・'fJA=.1,

•••(3x—y)min=lX(—1)+2X1=1,

(3X—Y)M=1X1+2X3=7,

：.3x-y^[\,7],①正确：

f—2(x2—])—2x+10

对②，令加n)=(f—I),“一2x+l,由题意式m<0在[-2,2]上恒成立，即，2、，

[2(k—1)—2x+1<0

解得巾2②正确；

对③，'.'a,/>6(0,+°°),.,.a+h^2-\[ab,由+人+3,得此22-\[^+3.

^(^[ab)1—2-\[ab—3^O,解得或—1(舍)，.,.而》9,③不正确；

对④，Va<0,b<0,c>0,④不正确.

2.设p：平面向量a,"c互不共线，q表示下列不同的结论：

①|a+例<|a|+跳②a乃=|a|」b|.

@(a-b)c—(a-c)b与a垂直.④(a协)c=a(b,c).

其中，使命题“若p,则令"为真命题的所有序号是.

解析：由于p：平面向量a,b,c互不共线，

则必有|a+切<|a|+网,①正确；

由于a6=|a||b|cos9<|a||6|,②不正确；

由于[(a协)c—(a・c)b]-a=(a山)(c,a)—(ap)(b・a)=O,所以(a4)c-(“•<:)%与a垂直，③正确；

由于平面向量的数量积不满足结合律，且a,b,c互不共线，故(a协)c#a("c),④不正确.

综上可知真命题的序号是①③.

答案：①③

3.求证：若p2+/=2,则p+qW2.

证明：该命题的逆否命题为：若p+q>2,则p2+q2芋2.

p2+q2=^[(p+q)2+(p—q)2]^^p+q')2.

•：p+q>2,：.（p+q）2>4,：.p2+q2>2.

即p+q>2时，〃2+才手2成立.

.•.若p2+/=2,则p+qW2.

2

4.已知命题p：lg（f—2x—2）20；命题q：1—x+〃Vl,若命题〃是真命题，命题q是假命题，求实

数x的取值范围.

解：由lg（f一版一2）20,得/一2^—221,

即f—2%—320,解得xW—1或423.

2

X

由1—x+^Vl,

得$一4元<0,解得0VxV4.

因为命题〃为真命题，命题q为假命题，

（xW—1或尢23

所以彳v、，解得xW—1或x24.

[xWO或x24

所以，满足条件的实数x的取值范围为（一8,-1]U[4,+oo）.

训练案一知能提升

活学巧练跟踪验证

[A.基础达标J

1.“若x>l,则p”为真命题，那么p不能是（）

A.x>~lB.x>0

C.x>lD.x>2

解析：选D.x>l=/x>2,故选D.

2.命题“若x>/+b2,则x>2心”的逆命题是（）

A."若+/，则x<2ab"

B."若x>"2+/,贝ijx22"”

C.“若%》/+层，贝ijx22"”

D.“若x>2ab,贝！]x>a2+tr”

解析：选D.把命题“若x>/+/,x>2ah>>的条件和结论互换得其逆命题为“若x>2ab,则XX/2+/”.

3.如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是（）

A.真命题B.假命题

C.与所给的命题有关D.无法判断

解析：选A.因为一个命题的逆命题、否命题是互为逆否命题，它们的真假性相同.由于逆命题是真命

题，所以否命题也是真命题.

4.已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数

为（）

①M中的元素都不是产的元素；

②M中有不属于P的元素；

③M中有属于P的元素；

④M中的元素不都是尸的元素.

A.1B.2

C.3D.4

解析：选C.因为''非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，所以在M中存在不属于集

合尸的元素，故②③④正确，①不正确，故选C.

5.若命题p的等价命题是q,令的逆命题是r,则p与「是（）

A.互逆命题B.互否命题

C.互逆否命题D.不确定

解析：选B.因为p与q互为逆否命题，又因为g的逆命题是'，则P与r为互否命题.

6.命题“对顶角相等”的等价命题是.

解析：因为原命题和逆否命题是等价命题，所以该原命题的等价命题为“若两个角不相等，则这两个

角不是对顶角”.

答案：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角

7.命题“若xGR,则f+（a—l）x+l》。恒成立"是真命题，则实数〃的取值范围为.

解析：由题意得：/W0,即：（a-l）2-4XlXlW0,

解得：31.

答案:[―1,3]

8.命题“若NC=90°,则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为.

解析：该命题的否命题为“若NCW90°,则△ABC不是直角三南形”.因为NA、NB可能等于90°,

所以该命题的否命题为假命题.

答案：假

9.己知命题“若则f+x-a=0有实根”.写出命题的逆否命题并判断其真假.

解：逆否命题为“若f+x—“=0无实根，则a<0”.因为420,所以4a》0,所以方程f+x-a=o

的判别式/=4a+l>0,所以方程y+x-anO有实根.故原命题“若则有实根”为真

命题.

又因原命题与其逆否命题等价，所以“若420,则f+x—a=。有实根”的逆否命题为真.

10.（1）如图，证明命题”"是平面乃内的一条直线，6是平面z外的一条直线3不垂直于力），c是直线

b在平面71■上的投影，若a_Lb,则a_Lc"为真.

（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）.

解：（1）证明：如图，设cCb=4,P为直线人上异于点4的任意一点，作PO_L乃，垂足为0,则OGc,

因为POJLz,〃，所以尸O_La,

又“J_b,b基平面以。，£Onb=P,

所以“J_平面以O,又c旦平面以O,

所以aJLc.

（2）逆命题为：a是平面7t内的一条直线，6是平面乃外的一条直线S不垂直于

乃），c是直线6在平面乃上的投影，若。_1。，则4逆命题为真命题.

[B.能力提升]

1.有下列四个命题：

①“若『+臣=0,则小。全为0”的逆否命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若咨1,则？+级+4=0有实根”的逆否命题；

④“矩形的对角线相等”的逆命题.

其中真命题为（）

A.①②B.①③

C.②③D.③④

解析：选B.对于①：原命题为真命题，故逆否命题也为真命题.对于②：该命题的否命题为“不全等

的三角形的面积不相等”，显然为假命题.对于③:该命题的逆否命题为“若¥+"+4=0无实根，则q>l”，

即/=4-4犷0=>夕>1,故③为真命题.对于④：该命题的逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”.反例：

等腰梯形，故为假命题.

2.原命题为“若包苧!〈四，“GN+,则｛〃,,｝为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假

性的判断依次如下，正确的是（）

A.真，真，真B.假，假，真

C.真，真，假D.假，假，假

a+

解析：选A"^"-<a„<^an+1<a„O｛a„]为递减数列.

原命题与其逆命题都是真命题，其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.

2

3.已知命题p：lg(?-2x-2)^0；命题/I-尤+/1,若命题p是真命题，命题4是假命题，则实

数x的取值范围是.

解析：由1g”一2)N0,得2K—221,

即f—2%—320,解得xW—1或x23.

2

由1—

得f-4x<0,解得0<x<4.

因为命题p为真命题，命题q为假命题,

—1或尤23

所以，解得x<一1或x24.

.xWO或x24'

所以，满足条件的实数x的取值范围为(一8,—1]U[4,+°°).

答案：(-8,-1]U[4,+8)

4.设p：平面向量a,b,c互不共线，q表示下列不同的结论：

①|a+Z>|<|a|+|夙②a4=|a|・|b|.

③(a6)c—(a・c)b与a垂直.④(a・b)c=aS・c).

其中，使命题''若p,则/'为真命题的所有序号是.

解析：由于p:平面向量a,b,c互不共线，

则必有|a+b|V间+步|,①正确;

由于a仍=|a||b|cos9<|a||ft|,②不正确；

由于[(a山)c—(Q・C)句•“=(“协)(c・a)—(a・c)S・a)=O,所以(a・5)c—(irc)b与a垂直，③正确：

由于平面向量的数量积不满足结合律，且a,b,c互不共线，故(a协)cKa("c),④不正确.

综上可知真命题的序号是①③.

答案：①③

5.求证：若p?+q2=2,则p+qW2.

证明：该命题的逆否命题为：若p+q>2,则p2+/中2.

//+/+4+(p一4]+"广

因为p+q>2,所以⑦+">4,所以/+/>2.

即p+q>2时，p?+/中2成立.

所以若p2+q2=2,则p+qW2.

6.(选做题)在公比为4的等比数列｛%｝中，前〃项的和为S”若S“，S,“+2,Sm+l成等差数列，则小，

am+2,%,+|成等差数列.

(1)写出这个命题的逆命题；

(2)判断公比q为何值时，逆命题为真？公比q为何值时，逆命题为假？

解：⑴逆命题:在公比为q的等比数列｛“”｝中，前“项和为S”，若a,”，am+2,。小+|成等差数列，则S”,

S"+2,S,”+i成等差数列.

(2)因为｛斯｝为等比数列,所以火产0,q丰0.

由a,,”a,”+2,成等"差数列.

仔2aM+2一4"+a»>+i,

所以2am。q--a,”+a,”,q,

所以2/_g_[=0.

解得q=-J或<7=1.

当q=l时，a”=ai(〃=l,2,—),

所以S5+2(/M+2)〃],Snitnci\fS〃?+](zw+1)6fif

因为2(m+2)a\^ma\+(m+1)a\,

即2s非+2力Sm+Sm+1,

所以s〃，S〃+2,S,〃+]不成等差数列.

即4=1时，原命题的逆命题为假命题.

当4=一/时,

m(1—产)

2s“+2=Z—=一,

/(1-<”“)’(L"")

»+Li-q'品―i-q’

=

所以2S,n+2Sin+1+Sm,

所以S,〃，Sm+2,S“H成等差数列.

即q=-g时，原命题的逆命题为真命题.

训练案一知能提升

活学巧练跟踪验证

［A.基础达标］

1.使不等式方>'成立的充分条件是（）

A.a<hB.a>b

C.ab<0D.a>Ofb<0

解析：选D.40,*<0=>^>1,其他条件均推不出［寸，故选D.

2.使不等式成立的必要条件是（）

A.a<bB.a>b

C.\a\>\b\D.ab>0

解析：选C.因为下下反合同〉］〃，而推不出A、B、D,故选C.

3.下列说法不正确的是（）

A.a〃》是a=b的必要条件

B.a〃b不是。=力的充分条件

C.。>0是sin6>0的充分条件

D.>0不是sin«>0的必要条件

解析：选C.由于。>0=/sin8>0,例如6=ri,sin0=0,所以C的说法不正确，其余均正确.

4.若“x>1”是“x>a”的充分条件，则实数a的取值范围是（）

A.a>1B.

C.a<1D.aWl

解析：选D.由题意，需x>l=>x>4,所以“W1,选D.

5.如果不等式仅一“|<1成立的充分条件但不是必要条件是21<x<去3则实数“的取值范围是（）

1313

A，2<a<2

C.或D.a沾或

解析：选B.|x-a|<1O"一1VxVa+1,由题意可得j即“C5,

［a+W，/

6.a为素数a为奇数的充分条件（填是或不是）.

解析：由于。=2时不成立，所以。为素数不是a为奇数的充分条件.

答案：不是

7.若“f+办+2=0”是“x=l”的必要条件，则〃=.

解析：由题意x=l是方程的根，所以12+。+2=0,所以a=-3.

答案：一3

8.命题“已知〃GZ,若a=4",则。是偶数”中，“a是偶数”是“a=4,/'的条件，““=4〃”

是“a是偶数”的条件（用“充分”、“必要”填空）.

解析：命题“已知”GZ,若4=4%则〃是偶数”是真命题，所以是偶数”是“a=4〃”的必要条

件，“a=4〃”是““是偶数”的充分条件.

答案：必要充分

□4

9.已知集合4={比，=/一/+1,2]}，8={Hx+序>1}.若“xGA”是“xGB”的充分条件,

求实数〃?的取值范围.

解：y=x2—1r+1=(A—1)2+^,

37

因为[不2],所以

7

所以A={M%《)W2}.

由工+苏21,得—m,

所以B={x\x^\~m],

33

7--

因为“xGA”是“xWB”的充分条件，所以A=B,所以而，44

故实数机的取值范围是(一8,—1]u[1,+8).

10.分别判断下列“若p,则q”的命题中，p是否为g的充分条件或必要条件，并说明理由.

⑴若ar£,则sina#sin£；

(2)若%>2,则方程，+〃a+1=0有实数根.

解：(1)由于a=£=>sina=sin£,

sina=sin。台a=p,

由逆否命题的真假性相同，得

sina片sinB=>a丰£,

。手£力sin。中sinB,

所以aW夕不是sinaWsin£的充分条件，。手£是$访a;#sin£的必要条件.

(2)由方程》2+如+1=。有实数根，得

A=〃?2—2或m^2.

由于机>23/>00方程f+〃a+l=0有实数根，而反推不成立，

所以m>2是方程/+3+1=。有实数根的充分条件，m>2不是方程/+如+1=0有实数根的必要

条件.

IB.能力提升]

1,已知等比数列{斯}的公比为q,则下列不是{对}为递增数列的充分条件的是()

①勾〈。2；②勾>0，q>l;③勿>0,0<^<1；④句<0,0cqe1.

A.①②B.①③

C.③④D.①③④

解析：选B.由等比数列一1,1,一1,…知①不是等比数列{%}递增的充分条件，排除C;显然②是等

比数列{%}递增的充分条件，排除A;当〈“CO,0<q<l时，等比数列{斯}递增，排除D.故选B.

2.设集合U={(x,y)|xdR,ydR},A={(x,)，)|"一丫+%>0},8={(x,y)\x+y~n^0],那么点P(2,

3)eAr)(CM)的既是充分条件，又是必要条件的是()

A.〃？>—1，7?<5B.m<.—1,z?<5

C.zn>—1,n>5D.m<-l,n>5

解析：选A.由P(2,3)WA得2X2—3+机>0,即〃7>—1;由P(2,3)Wh右得2+3-即”<5.

4

3.函数_/(x)=a—#j■为奇函数的必要条件是.

解析：因为xCR,火x)为奇函数.

所以贝0)=0,即。-2=0,所以“=2.

答案：〃=2

4.如果命题“若A,贝UB”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是8的条件.(填

“充分”、“必要”)

解析：因为该命题的否命题为真命题，所以BOA.又因为原命题和逆否命题有相同的真假性，因为它的

逆否命题是假命题，所以原命题也为假命题，故A0/B,即A是B的必要条件.

答案：必要

5.已知集合尸={xM—8X—20W0},集合S={x||x—l|W"?}.

(1)是否存在实数m,使xGP是xGS的充分条件？若存在，求出机的取值范围；若不存在，说明理由.

(2)是否存在实数〃3使XWP是XWS的必要条件？若存在，求出机的取值范围；若不存在，说明理由.

解：(1)由题意，是xes的充分条件，则PCS.

由8x—20W0,解得一2WxW10,

所以尸=[-2,10].

由|x-得1一机WxWl+m,

所以S=[l—m，1+/?/].

1-加W—2,

要使PG5,则

1+加210.

所以J所以机29,

〔m29.

所以实数m的取值范围是｛/川〃?29).

(2)由题意是九£S的必要条件，则SCP.

由|x-可得1一机这了《根+1,

[1—机2—2,

要使SUP,则,,所以mW3.

〔1+Z10,

所以实数m的取值范围是｛相依W3).

6.(选做题)设函数儿1)=/—2x+3,g(x)=f—x.

⑴解不等式|/W-g(x)|22015；

(2)若l/(x)-a|<2恒成立的充分条件是1WxW2,求实数a的取值范围.

解：(1)由|/(x)-g(x)|N2015得|一犬+3]22015,即仅一3|22015,所以X一3220心或x-3W—2015,

解得x22018或xW-2012.

故不等式的解集为｛小W—2012或x22018｝.

(2)依题意知：当1<XW2时，恒成立，所以当1WXW2时，-2<«r)一。<2恒成立，即应r)

一2V“〈火x)+2恒成立.

由于当l〈xW2时，>U)=X2—2X+3=(X—1)2+2的最大值为3,最小值为2,因此3—2<。<2+2,即

]<a<4,所以实数a的取值范围是(1,4).

量课时作业

»)在学生用书中，此内容单独成册@

[基础达标]

1.使不等式成立的充分条件是()

A.a<bB.a>b

C.ab<0D.40,b<0

解析：选D.a>0,b<0="其它条件均推不出1%,故选D.

2.使不等式^>b2成立的必要条件是()

A.a<bB.a>b

C.\a\>\h\D.ah>0

解析：选C.；/>b2=|a|>|例，而推不出A、B、D,故选C.

3.下列说法不正确的是()

A.a〃方是a=b的必要条件

B.a〃8是a=b的不充分条件

C.。>0是sin。>0的充分条件

D.。>0是sin。>0的不必要条件

解析：选C.由于。>0fsin6»>0,例如6»=n,sin9=0,，C中命题不正确，其余均正确.

4.若是“x>a”的充分条件，则实数a的取值范围是()

A.a>1B.

C.a<\D.aWl

解析：选D.由题意，需x>l=x>a,选D.

5.对任意实数〃，b,c,在下列命题中，真命题是（）

A.uac>bcn是ud>bn的必要条件

B.aac=bcn是“a=b”的必要条件

C.uac>bc"是“a>b”的充分条件

D.uac=bcn是ua=bn的充分条件

解析：选B.

AX当c<0时，a>b+ac>bc

BV根据等式的性质，有"a=b=ac=bc”

CX当cVO时，ac>bc+a>b

DX当c=0时，ac=bc^f>a=b

6a为素数a为奇数的充分条件（填是或不是）.

解析：由于a=2时不成立，为素数不是a为奇数的充分条件.

答案：不是

7.若“，+仆+2=0”是“》=1”的必要条件，贝ija=.

解析：由题意x=l是方程的根，；.12+a+2=0,...a=-3.

答案：一3

8.命题“已知〃GZ,若a=4〃，则4是偶数”中，“。是偶数”是“a=4〃”的条件，7=4〃”

是“。是偶数”的条件（用充分、必要填空）.

解析：命题“已知"CZ,若a=4〃，则a是偶数”是真命题，所以““是偶数”是“a=4〃”的必要条

件，“a=4〃”是“a是偶数”的充分条件.

答案：必要充分

9。）是否存在实数〃7，使2X+/M<0是X2-2X-3>0的充分条件？

（2）是否存在实数m,使2x+m<0是f-2%—3>0的必要条件？

解：⑴欲使2x+〃?<0是f-2x-3>0的充分条件，则只要{小<一半}={小<-1或x>3},则只要一

々W-1,即.故存在实数使2x+m<0是f—2xT>0的充分条件.

（2）欲使2%+机V0是f-2x-3>0的必要条件，则只要hUV-'m{x\x<-\或x>3},这是不可能的，

故不存在实数加，使2x+mV0是f-21一3>0的必要条件.

10.分别判断下列“若P，则/'的命题中，p是否为“的充分条件或必要条件，并说明理由.

（1）若aW夕,则sinoWsinP.

（2）若加>2,则方程？+〃优+1=0有实数根.

解：（1）由于a=/?=sina=sin£,

sina=sin£4a=0,

由逆否命题的真假性相同，得

sina#=sin£=aW£,

Q*B+sina#:sinB、

所以a#/?是sina#=sin£的不充分条件，。于3是sina#=sin£的必要条件.

(2)由方程f+〃7x+1=0有实数根，得

A=〃，-4200/nW—2或机22.

由于〃?>20△>()=方程/+〃a+1=0有实数根，而反推不成立，

所以m>2是方程/+,顼+1=0有实数根的充分条件，m>2是方程工2+〃a+1=0有实数根的不必要

条件.

［能力提升］

1.已知等比数列｛斯｝的公比为q,则下列不是｛4.｝为递增数列的充分条件的是()

①②0>0,<7>1；③卬>0,0<^<1；④勾<0,0<^<1.

A.①②B.①③

C.③④D.①③④

解析：选B.由等比数列一1,1,一1,…知①不是等比数列｛“,｝递增的充分条件，排除C:显然②是等

比数列｛小｝递增的充分条件，排除A;当m<0,0<q<l时，等比数列｛斯｝递增，排除D.故选B.

4

2.函数,/(x)=a—为奇函数的必要条件是.

解析：YxeR,大处为奇函数.

.,./0)=0,即〃-2=0,：.a=2.

答案：67=2

3.已知集合P=｛x|?一8X—20W0｝,集合S=｛刈X-1|W〃?｝.

(1)是否存在实数机，使xGP是xdS的充分条件？若存在，求出他的取值范围；若不存在，说明理由.

(2)是否存在实数〃?，使xep是xWS的必要条件？若存在，求出，”的取值范围；若不存在，说明理由.

解：(1)由题意，xGP是x®S的充分条件，则尸US

由¥—8a—20W0,解得一2WxW10,

；.P=[-2,10].

由|x-得1—+m,

.♦.S=[l—nz,I+zn].

f1-2,

要使PUS,则

1+m^10.

m^3,

m^9.

实数m的取值范围是｛词机29｝.

(2)由题意xCP是xGS的必要条件，则SUP.

由|x—可得1—ntWxW"?+1,

1一〃?》一2,

要使SUP,则

l+mW10,

实数m的取值范围是｛，划mW3｝.

4.设函数段)=*—2X+3,g(x)=x2—x.

(1)解不等式贝x)—g(x)|22014；

(2)若贝箝-4|<2恒成立的充分条件是1WXW2,求实数〃的取值范围.

解：(1)由贝乃一g(x)|22014得|一4+3|》2014,即忧一3|22014,所以工一322014或x-3W—2014,

解得x22017或xW-2011.

(2)依题意知：当1WXW2时，施0—a|V2恒成立，所以当1WXW2时，一2V./U)—a<2恒成立，即人工)

-2<a<«r)+2恒成立.

由于当1WXW2时，Xx)=f—2x+3=(x-l/+2的最大值为3,最小值为2,因此3—2<〃<2+2,即

l<a<4,所以实数。的取值范围是(1,4).

■课时作业

»>在学生用书中，此内容单独成册@

[基础达标]

1.设xWR,则x>e的一个必要不充分条件是()

A.x>lB.x<\

C.x>3D.x<3

解析：选A.,；x>ln/x>e,而x>e=x>l

2.设a,万分别为两个不同的平面，直线/。，则"L夕'是"a_L£”成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A.根据两个平面垂直的判定定理知“1邛”是“a,夕’的充分条件，但由两个平面垂直的性

质知a,4时，平面a内只有和它们的交线垂直的直线才能垂直于平面£,故本题中由“a_L£”不能得到

因此选A.

3.设a,》都是非零向量，贝ij"a%=±|aW|"，是“a,5共线”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：选C.设〈a,b)=仇a-b=\a^b\cos6,当|a|网・cos8=±⑷网时,cos9=±1,9=0或r,

则a与6共线，若a、6共线，则〈a,b〉=0或n,则<r/=±|a||b|.

4.若a,Z?GR,贝ij是"43+/>°26+"2"的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分且必要条件D.既非充分也非必要条件

解析：选D.a'+"—岫2=3+6)5一力2,a3+by>a2b+ab2,故选D.

5.设｛小｝是等比数列，则是“数列｛6｝是递增数列”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：选C.设公比为生由4|<。2<43得41V

«1>0ai<0

或充分性成立;

k>i0<<7<1

[a\>0[«|<0

当｛“"｝递增时，则|或|,二4|<42V的，必要性成立.

(<7>110<^<1

6.在△ABC中，“sinA=sin是“a=b”的条件.

解析：在AABC中，由正弦定理及sinA=sin8可得2RsinA=2RsinB,即4=6;反之也成立.

答案：充要

7.设A是8的充分不必要条件，C是8的必要不充分条件，。是C的充要条件，则。是4的

条件.

解析：由题意知：A=8=CQO,

答案：必要不充分

8.已知条件p：|x-1|>〃和条件g：2f—3x+1>0,则使〃是0的充分不必要条件的最小整数。=.

解析：由题意知a>0,设A={x||x—=〃或X>1+Q},B={X|2X2—3无+1>0}={可工〈3或

x>l},

由题意，4竿8,

r1ri

1-〃令"1-

・,・由数轴可得J2或J2.

\+a>\〔1+心1

.•.q'T，故〃的最小整数为I.

1-a111+a

2

答案：1

9.已知p,q都是，的必要条件，s是〃的充分条件，q是s的充分条件，那么:

(l)s是4的什么条件？

(2)r是夕的什么条件？

(3)p是q的什么条件？

解：如图所示，可知：

(1)因为q=s,s=r=>q,所以s是g的充要条件.

(2)因为/=q,q=s=r,所以r是q的充要条件.

(3)因为q=s=r=>p,而p=/q,所以p是q的必要不充分条件.

10.求证：关于x的方程f+〃a+1=0有两个负实根的充要条件是用22.

证明：(1)充分性：因为m22,所以/=，/—4,0,所以方程，+m