陕西省西安市灞桥区宇航学校2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

高一数学考试一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.是四边形构成平行四边形的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件和必要条件定义判断即可【详解】解：由，可知，所以四边形一定能构成平行四边形；当四边形构成平行四边形，则有，且与同向，所以，所以是四边形构成平行四边形的充要条件，故选：A2.下面给出的关系式中，正确的个数是（）①；②；③；④；⑤．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积的概念以及公式即可得正确的个数.【详解】所以①错；都等于，②正确；，③正确；因为数量积是一个数，所以，，，④错误；当时，⑤错误.故选：C3.对于非零向量，下列命题中正确的是A.B.在上的投影向量为是与方向相同的单位向量）C.D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的数量积判断；利用向量的投影向量判断；向量垂直的充要条件判断；向量的数量积判断；【详解】解：对于A：，所以不正确；对于B：在上的投影向量为：是与方向相同的单位向量），所以不正确．对于C：，所以正确；对于D：由，则，因为，所以，即在方向上的投影相等，故得不到，所以不正确；故选：．4.已知：，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意结合向量的坐标运算求解.【详解】因为，，且，所以.故选：D.5.在中，是角分别所对的边，，则一定是（）A.底边和腰不相等的等腰三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理可得，结合可得答案.【详解】因为，所以，由余弦定理有，整理得，即，为等腰三角形，又，所以为等边三角形.故选：D6.已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为A.1 B. C.1或 D.-1或【答案】B【解析】【分析】根据题意，得出且，化简后得出，，即可求出实数的值.【详解】解：由题可知，，不共线，且向量与的方向相反，则，即，则，即，解得：或（舍去）.即实数值为.故选：B.【点睛】本题考查平面向量共线的定理的应用，属于基础题.7.在中，是的中点，是的中点，若，则（）A1 B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据是的中点，，为的中点，得到，然后结合，求出的值.【详解】解：∵是的中点，，为的中点，∴，∵，∴，，∴，故选：D.8.若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则B的解的个数是（）A.2 B.1 C.0 D.不确定【答案】A【解析】【分析】通过正弦定理求得，分别判断在锐角和钝角时，是否存在即可.【详解】由正弦定理知，，即，解得，又，由三角函数性质知角B由两个解，当角B为锐角时，满足，即存在；当角B为钝角时，，，则满足，即存在；故有两个解.故选：A【点睛】关键点点睛：当正弦值可以取两个解时，需要讨论其存在情况.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．[2024·江西丰城高一期未]9.已知向量，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】计算以及的坐标，再利用坐标判断平行与垂直关系来判断AB选项，以及求模公式来判断CD选项.【详解】，则，故A正确，B错误；，则，又，则C错误，D正确；故选：AD10.在中，内角的对边分别为，若的面积为，且，则角A的大小可能是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据面积公式即可求解.【详解】由三角形的面积公式可得，故，故，由于为三角形的内角，所以或，故选：BD11.数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点、、分别的外心、重心、垂心，且为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用重心的几何性质可判断A选项；由可得，利用平面向量的线性运算可得出，再结合可判断B选项；利用可判断C选项；利用三角形外心的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，因为为的重心，则且，，，所以，，故，A错；对于B选项，由题意可知，，，因为，则，，，B对；对于C选项，，C对；对于D选项，因为为的外心，则，D对.故选：BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填在对应题号的位置上．）12.若向量，则与平行的单位向量是________．【答案】或【解析】【分析】根据向量的坐标，可得，计算即可得出与平行的单位向量的坐标.【详解】因为，所以，则与平行的单位向量的坐标是：或，故答案为：或.13.已知向量，，且，则的坐标是___________.【答案】或【解析】【分析】根据题意可知，设，由，根据向量的模的坐标表示得出，由，得出，再根据向量垂直的坐标表示得出，即可求出和，从而求得的坐标.【详解】解：由题可知，，可设，则，由于，且，则，即：，即：，解得：或，所以的坐标是：或.故答案为：或.【点睛】本题考查平面向量坐标运算，以及向量的模和向量垂直的坐标表示，考查计算能力.14.是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则最大边c的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，由余弦定理结合即可求解.【详解】因为是钝角三角形，最大边为，所以角为钝角，在中，由余弦定理可得：，可得，又因为，所以，所以最大边的取值范围是：，故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知向量，，其中，．（1）求，；（2）求与的夹角的余弦值．【答案】（1）10，（2）【解析】【分析】（1）根据题干中已知条件，用坐标表示与，用坐标法求解即可.（2）设与的夹角为，分别求得与，利用平面向量的数量积即可求解.【小问1详解】解：因为，，则，，，故，【小问2详解】设与的夹角为，由（1）得，，则.16.如图，已知为平面直角坐标系的原点，，．（1）求两点与的坐标；（2）求向量在向量上的投影向量．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）结合图象以及已知条件求得的坐标.（2）利用投影向量公式计算出投影向量【详解】（1）过作轴，垂足为；过作轴，垂足为；过作，垂足为，如图所示.依题意可知，，，，则，，所以.（2），所以向量在向量上的投影向量为.17.已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平行向量的坐标公式代入化简结合正弦定理即可得出答案；（2）由余弦定理求出，进而结合三角形的面积公式可得出答案.【小问1详解】因为，，且，则.，由正弦定理得，因为，所以，可得，即.且，所以.【小问2详解】在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得，或（舍），所以面积.18.在中，角所对的边分别为，已知.（1）若，求角的大小；（2）若，求边上的高.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理求得，再判断角的范围,即可求得角；（2）先由余弦定理求出角，再借助于直角三角形中三角函数的定义计算即得.【小问1详解】由正弦定理，，即，因，故,即是锐角，故；【小问2详解】如图，由余弦定理，，知角是锐角，则，作于点，在中，,即边上的高是.19.已知村庄B在村庄A的东北方向，且村庄A，B之间的距离是千米，村庄C在村庄A的北偏西方向，且村庄A，C之间的距离是，现要在村庄B的北偏东方向建立一个农贸市场D，使得农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的倍．（1）求村庄B、C之间的距离；（2）求农贸市场D到村庄B、C的距离之和．【答案】（1）干米（2）千米【解析】【分析】（1）由余弦定理求得；（2）由正弦定理求得，