陕西省汉中市某校2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

2027届高一下学期第一次月考数学试题满分：150分考试时间：120分钟一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出各个集合，再利用交集和补集的性质求解即可.【详解】令，解得，则，故，因，所以，故A正确.故选：A2.设，则的大小关系为（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法计算即可.【详解】因为，，，所以.故选：D.3.设为等差数列的前项和，已知，则（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列片段和的性质求解即得.【详解】由等差数列的片段和性质知，成等差数列，由，得该数列首项为4，公差为2，所以.故选：B4.已知函数，则函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数为偶函数和时函数值为正，即可得到答案.【详解】因为定义域为，且，所以为偶函数，故排除A,D；当时，，故排除B.故选：C【点睛】本题考查根据函数的解析式选择对应的图象，考查数形结合思想的应用，求解时注意从解析式挖掘函数的性质，并注意特殊值代入法的应用.5.2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形（图1），并把每一条边三等分，再以中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线（图2），如此继续下去形成雪花曲线（图3），直到无穷，形成雪花曲线．设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意分别写出，，的通项公式，且当时用累加法可求出通项，然后对选项进行逐一判断求解.【详解】由题意知，边长，边数，周长，面积，所以得：，，所以得：，，因为：，当时，，所以得：，当时，，也适用，所以：，所以得：，故A项错误；所以得：，故B项正确；所以得：，故C项错误；所以得：，故D项错误；故选：B.6.二次函数在区间上为减函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的单调性，即可求得参数的范围.【详解】∵二次函数在上为减函数，.故选：D.【点睛】本题考查二次函数的单调性，属基础题.7.设函数的最小正周期为.若，且对任意，恒成立，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可得，由对任意，恒成立，可得，计算即可得.【详解】由，且，故，即有，解得，又，，故，即，综上，.故选：B.8.已知是数列的前n项和，，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通过变形，化成，得数列是首项为1、公差为1的等差数列，进而求出通项，然后利用错位相减法求和，代入原不等式，根据不等式求最值结合恒成立条件可得答案【详解】∵，∴，又，∴数列是首项为1、公差为1的等差数列，∴，∴，∴①∴②①－②得，∴，∴不等式，即，即，∵，当且仅当，即时等号成立，∴，故选：A．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.B.第一象限角都是锐角C.在半径为2的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为D.终边在直线上的角的集合是【答案】AC【解析】【分析】根据弧度制、象限角、终边相同的角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，A正确；角也是第一象限角，不是锐角，B错误；在半径为的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为，C正确；终边在上的角的集合是，D错误．故选：AC10.已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（）A.数列为等比数列 B.数列为等比数列C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据已知递推公式进行变形求解判断AB．求出数列前几项，验证后判断C，求出前20项和可判断D，【详解】因为，所以，又，所以是等比数列，A正确；同理，而，所以是等比数列，B正确；若，则，但，C错；由A是等比数列，且公比为2，因此数列仍然是等比数列，公比为4，所以，D正确．故选：ABD．【点睛】方法点睛：本题考查数列的递推公式，解题关键是由已知递推关系变形推导出新数列的递推关系，从而得证新数列的性质．而对称错误的结论，可以求出数列的某些项进行检验．11.已知函数，若方程有三个不同的零点，且，则（）A.实数的取值范围为 B.函数在单调递增C.的取值范围为 D.函数有个零点【答案】BCD【解析】【分析】作出函数的图像，根据图像可判断A错误，B正确；根据图像确定出，再根据对数运算求解出，即可得的范围，则C正确；采用换元法令，确定出的值，结合的图像求解出的零点个数.【详解】作出函数的图像如图所示：对于A，由图像可知，实数的取值范围是，故A错误；对于B，由图像可知，函数在上单调递增，在上单调递减，故B正确；对于C，由图像可知，，由，即，解得，所以的取值范围是，故C正确；对于D，由，令，则，解得或，由图象可知当时，方程有1个解，当时，方程有3个解，所以函数有4个零点，故D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的值域为__________．【答案】【解析】【分析】由及对数函数的性质，可得到的取值范围，进而得到的取值范围，从而得到的取值范围，即可求得函数的值域.【详解】因，所以，，所以，即的值域为．故答案为：.13.已知，则________.【答案】##-0.6【解析】【分析】先利用诱导公式将进行变形，再结合二倍角公式进行求解.【详解】因为，q，已知，将其代入可得：.因为，所以.

故答案为：.14.已知各项均为正数的等比数列，若，则的取值范围为________.【答案】.【解析】【分析】设等比数列的公比为，求得，化简，结合基本不等式，求得，进而求得的取值范围.【详解】设等比数列的公比为，因为，可得，所以，则，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，可得，则，所以，即的取值范围为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知，求下列各式的值.（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据诱导公式，结合同角三角函数的关系求解即可；（2）根据，结合同角三角函数的关系求解即可.【小问1详解】.【小问2详解】.16.已知数列是单调递增等比数列，数列是等差数列，且.（1）求数列与数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，根据等差数列以及等比数列定义结合数列的单调性求得和，即可求数列与数列的通项公式；（2）利用等差、等比前项和公式并分组求和即可得.【小问1详解】设等比数列的公比为，等差数列的公差为，由得即即，解得或.当时，，不满足单调递增，当时，，满足单调递增，故，所以.又，所以，所以，即数列与数列的通项公式为.【小问2详解】利用等比数列前项和公式可得，数列的前项和为，数列的前项和为，所以数列的前项和即.17.已知函数.（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）将的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，求在区间上的最值及取得最值时的值.【答案】（1）最小正周期；单调递增区间：，（2）在区间上的最大值是，此时；最小值是，此时.【解析】【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为标准形式，再根据三角函数的周期公式和单调性来求解；（2）根据三角函数图象的平移和伸缩变换规则得到的表达式，然后结合给定区间求其最值.【小问1详解】已知，根据二倍角公式，可得：

所以的最小正周期.

令，，解这个不等式可得,.即得到，.所以的单调递增区间是，.

的最小正周期是，单调递增区间是，；【小问2详解】先根据图象变换规则求的表达式：将的图象向左平移个单位，根据“左加右减”的原则，得到的图象.再将所有点的横坐标缩短为原来的倍，根据“横坐标伸缩”的原则，得到的图象.因为，所以，.当，即时，取得最大值，此时取得最大值.当，即时，取得最小值，此时取得最小值.综上所得，在区间上的最大值是，此时；最小值是，此时.18.已知函数，不等式解集，（1）设函数在上存在零点，求实数的取值范围；（2）当时，函数的最小值为，求实数的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解指数不等式得到集合，再判断的单调性，即可得到，解得即可；（2）首先得到，令，，，依题意可得在内的最小值为，即可得到方程（不等式）组，解得即可.【小问1详解】因为，则，解得，即,又因为，且，在内单调递增，则在内单调递增，若函数在上存在零点，则，解得，所以实数的取值范围．【小问2详解】因为，令，由可知，则，令，，则在内的最小值为，由的图象开口向上，对称轴为，可得，解得，即实数的值为1．19.已知数列的前项和满足.（1）求数列的通项公式；（2）记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围；（3）记，是否存在互不相等正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，，；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）不存在.【解析】【分析】（1）当时，，与题目中所给等式相减得：，即，又时，，解得：，所以.（2）化简得，由裂项相消得，，再根据不等式都成立，化简得：，求出的最大值即可.（3）假设存在互不相等的正整数，，满足条件，则有.证明其成立的条件与，，互不相等矛盾即可.【详解】（1）因为数列的前项和满足，所以当时，，两式相减得：，即，又时，，解得：，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，从而.（2）由（1）知：，所以，，对任意的，不等式都成立