江苏省无锡市天一中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

2024级高一数学阶段性练习（二）一、单选题1.下列关于空间几何体的论述，正确的是（）A.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱B.有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台C.连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线D.存在三棱锥，其四个面都是直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用两个底面全等的斜棱柱拼接可判断A；利用两个上底面全等，下底面相似的棱台拼接可判断B；考虑连线是否平行于旋转轴可判断C；在正方体中，取三棱锥即可判断D.【详解】对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，A错误；对于B，如图2，利用两个上底面全等，下底面相似的棱台拼接而成的几何体满足B中条件，但该几何体不是棱台，B错误；对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，C错误；对于D，如图3，在正方体中，连接，因为平面，平面，所以，所以为直角三角形.又平面，平面，所以，所以为直角三角形.所以三棱锥的四个面都是直角三角形，D正确.故选：D2.已知复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数乘法求出的实部和虚部，即可得出其对应的点.【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以，所以，则在复平面内对应的点为.故选：.3.已知平面向量和满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影向量为（

）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据在方向上的投影向量可求得，再利用投影向量的定义求解即可.【详解】向量和满足，由在方向上的投影向量为，可得，解得，所以在方向上的投影向量为.故选：D.4.充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：由已知可得选项C绕对称轴旋转才能形成充满气的车轮内胎，故选C.考点：空间几何体.5.已知O是△ABC的外心，，，则△ABC的外接圆半径（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】首先结合圆的性质可得，则，再利用正弦定理求解可得答案.【详解】O是△ABC的外心，则在上的投影向量为，所以，解得，由正弦定理，∴，故选：B.6.已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′（如图2所示），其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则直角梯形DC边的长度是A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由图形可知．故选B．7.如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（）A. B.16 C. D.12【答案】C【解析】【分析】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内，再利用两点间距离最短求出结果.【详解】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内得扇形，连接，如图，令扇形圆心角大小为，则，解得，在中，，则，所以一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为.故选：C8.圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A.30m B.20m C. D.【答案】C【解析】【分析】在中由正弦得出AM，再结合中由正弦定理得到CM，进而能求CD．【详解】由题意知：，则，在中，，在中，由正弦定理得，所以，且在中，(m)．故选：C．二、多选题9.已知复数，下列说法正确的是（）A.若，则 B.C.若，则 D.【答案】BD【解析】【分析】举出反例即可判断A；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断B；根据两个虚数无大小关系判断C；根据复数加减法的几何意义及坐标表示即可判断D.【详解】对于A，设，显然，但，故A错误；对于B，设，，则，所以，，所以，故B正确；对于C，因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误；对于D，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量，复数对应向量，为和为邻边构成平行四边形的对角线的长度，所以，故D正确.故选：BD.10.已知，，则正确的有（）A. B.与方向相反的单位向量是C.与的夹角为 D.在上的投影向量是【答案】AC【解析】【分析】由坐标表示向量的数量积可得A正确；先求出与方向同向的单位向量再求其相反向量可得B错误；由向量夹角的余弦计算可得C正确；由投影向量的计算可得D错误.详解】对于A，，故A正确；对于B，与方向同向的单位向量是，所以相反的单位向量为，故B错误；对于C，，又，所以与的夹角为，故C正确；对于D，在上的投影向量是，故D错误.故选：AC11.已知锐角三个内角的对应边分别为，且，，则下列结论正确的是（）A.的取值范围为B.的最小值为C.的面积最大值为D.的值可能为3【答案】AD【解析】【分析】先根据为锐角三角形，求出的范围，再根据正弦定理结合三角函数的性质求出的范围，则利用的取值范围判断A，利用平面向量数量积的定义结合余弦定理将数量积表示为一元函数，再利用二次函数的性质求解最值判断B，利用三角形面积公式判断C，利用余弦定理求出的范围，再判断D即可.【详解】对于A，因为为锐角三角形，且，所以，解得，同理可得，则的取值范围为，故A正确，对于B，由余弦定理得，即，则，而，，令，由正弦定理得，则，因为，所以，得到，则，而，得到，由二次函数性质得在上单调递增，则，即的最小值不为，故B错误，对于C，由三角形面积公式得，则的面积最大值不为，故C错误，对于D，因为，所以，因为，而，所以的值可能为3，故D正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：解题关键是结合题意求出的取值范围，然后利用平面向量数量积的定义结合余弦定理得到，再利用二次函数的性质得到所要求的最值即可．三、填空题12.如图所示，三棱台的体积为，，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分几何体的体积为____.

【答案】【解析】【分析】设的面积为，三棱台的高为，可知，利用台体的体积公式可求得的值，再利用台体和锥体的体积公式可求得结果.【详解】设的面积为，三棱台的高为，易知，且，则，则，可得，，所以，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分几何体的体积为.故答案为：.13.已知的三个内角分别为、、，，求的值___________．【答案】##【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理，即可得到结果.【详解】由余弦定理得：，由正弦定理（r为外接圆的半径），得，则，故答案为：14.在中，是边的中点，是线段的中点．设，，若，的面积为，则当______．时，取得最小值．【答案】2【解析】【分析】根据向量加减法的线性运算求解，由的面积求得的值，利用平面向量的线性运算与数量积运算求出，利用基本不等式求出它取最小值时、的值，再利用余弦定理求出的值．【详解】是边的中点，是线段的中点，则，，所以，如图所示，中，，所以的面积为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以最小值为6，所以此时，，，所以，所以．故答案为：2．四、解答题15.已知复数（1）若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值；（2）若复数满足，求．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据复数的乘法运算，结合复数相等的充要条件，即可列方程求解，（2）由复数的除法运算可得，即可由模长公式求解.【小问1详解】，所以，【小问2详解】由可得故16.已知分别为三个内角的对边，向量，.（1）求；（2）若.求的面积.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据数量积的坐标表示可得，利用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和定理、和差公式及辅助角公式即可求解；（2）利用向量的线性运算可得，结合题意由、向量数量积及面积公式即可求解.【小问1详解】因为，所以，所以，所以，所以，，即，又，故，即.【小问2详解】，所以，，,又,即,,或（舍）,故.17.在直角梯形中，，，，点是边上的中点.（1）若点满足，且，求的值；（2）若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用向量的加减运算法则，以为基底表示出得出的取值可得结论；（2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出的取值范围；法2：利用极化恒等式得出，即可得出结果.【小问1详解】如下图所示：由可得，所以，又，可得所以；【小问2详解】法1：以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系，则，则，由点是线段上的动点（含端点），可令，所以，则，所以，由二次函数性质可得当时取得最小值；当时取得最大值；可得法2：取中点，作垂足为，如下图所示：则显然当点位于点时，取到最大值3，当点位于点时，取到最小值，可得18.养殖户承包一片靠岸水域，如图为直岸线，，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知.（1）求岸线上点与点之间的直线距离；（2）如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益.记，设两段网箱获得的经济总收益为万元，求的取值范围.【答案】（1）千米（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理，结合题意，可得答案；（2）由正弦定理，表示出边，整理利润的三角函数表达式，可得答案.【小问1详解】在中，由余弦定理，得即岸线上点A与点之间直线距离为千米.【小问2详解】在中，设，，故有，，设两段网箱获得的经济总收益为万元，则，故的取值范围为.19.定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．（1）若向量为函数的伴随向量，求；（2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值；（3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用和角公式与诱导公式化简，依题即得，求其模长即可；（2）利用伴随函数定义和题设条件求得，再由和角公式求得，借助于正弦定理和余弦定理即可求得；（3）利用降幂公式根据将方程化成，根据和余弦值的符号分段化简函