江苏省苏州市姑苏区苏州大学附属中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

苏大附中2024—2025学年第二学期检测高一年级数学试卷（考试时间：120分钟总分150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根据余弦的和角公式即可求解.【详解】，故选：A2.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，则C.长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量D.单位向量都相等【答案】C【解析】【分析】根据向量的相关性质逐项分析.【详解】对于A，若，只能说明两个向量的模长相等，但是方向不确定，所以A错误；对于B，如果，结论B不正确；对于C，根据平行向量的定义，C正确；对于D，单位向量长度相等，但是方向不确定，所以D错误；故选：C.3.已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【详解】AB选项中，CD选项中，排除选项CD，对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，故选：B.4.若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意求解即可.【详解】将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得，再将图象向右平移个长度单位，得.故选：A5.已知，则有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】将化到同一个单调区间上的同名函数比大小，再将与比大小.【详解】，，因为在为增函数，所以，又，所以，故选：C6.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】借助图象可得，求得周期，进而求出，再由定点结合范围求出，即可得出解析式．【详解】由题中图象可得，，故，则，又图象过点，所以，即，解得，又，即，故.故选：B.7.已知，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题运用两角和的正切公式转化，再结合同角三角函数的基本关系化简式子，结合已知条件判断式子特征以简化等式，最后通过对常见三角恒等式的变形运用，建立与的联系从而得出结果即可.【详解】由两角和的正切公式得，由同角三角函数的基本关系得，，故，因为，所以，因为，所以，故，则得到，解得，故，而，则，解得，故C正确故选：C8.已知函数(，)，若函数的最小正周期且在处取得最大值2，则的最小值为（）A.5 B.7 C.11 D.13【答案】D【解析】【分析】由函数式最大值2结合函数的特点求出a值，再把函数式化成，由取最大值的条件结合周期范围得解.【详解】，所以的最大值为，即，又，所以，所以.又在处取得最大值2，所以，即，即，又函数的最小正周期，所以，又，所以，所以的最小值为13.故选：D【点睛】涉及解决类型函数的问题，运用辅助角公共化成是关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.计算下列各式，结果为的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】由两角和与差的正弦，正切公式，二倍角的余弦公式对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，，故A正确；对于B，因为，可得，所以，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：AC.10.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t分钟后点P距离水面的高度为h米，下列结论正确的有（）A.h关于t的函数解析式为B.点P第一次到达最高点需用时5秒C.P再次接触水面需用时10秒D.当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米【答案】ABC【解析】【分析】根据函数模型的定义与性质，求出A、B和T、ω、φ，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确．【详解】函数中，所以，时，，解得，因为，所以，所以，A正确；令得，则，解得，所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确；由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确；当时，，点P距水面的高度为2米，D错误．故选：ABC11.已知函数，则（）A.是一个最小正周期为的周期函数B.是一个偶函数C.在区间上单调递增D.的最小值为，最大值为【答案】BC【解析】【分析】利用函数周期性的定义可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；求得，利用二次函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值，可判断D选项.【详解】对于A选项，，所以，函数为周期函数，且该函数的最小正周期不是，A错；对于B选项，对任意的，。所以，函数为偶函数，B对；对于C选项，当时，，，令，则，因为函数在上单调递减，函数在上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，C对；对于D选项，，因为，令，，则二次函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，又因为，，所以，，因此，的最小值为，最大值为，D错.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知奇函数的一个周期为2，当时，，则___________.【答案】【解析】【分析】依题意根据函数奇偶性与周期性计算可得；【详解】解：根据题意得，故答案为：13.已知满足，则值为________．【答案】##【解析】【分析】由结合可得，再根据代入求解即可.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.14.已知函数的最小正周期为在上的图象与直线交于点A，B，与直线交于点C，D，且，则______，______.【答案】①.1②.【解析】【分析】先确定函数的解析式，再数形结合，利用函数图象的性质列式求值即可.【详解】因为.又函数最小正周期为，且，所以.所以.当时，，所以.做函数，的草图如下：函数图象关于直线对称.设，则，.，所以，，解得或（舍去）.所以.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．求最小正周期、定义域；若，求x的取值范围．【答案】（1）最小正周期为，定义域为（2），【解析】【分析】利用正切函数的周期性、定义域，得出结论．不等式即，再利用正切函数的图象性质，求得x的取值范围．【详解】解：对于函数，它的最小正周期为，由，求得，可得它的定义域为．，即，故，求得，故x的取值范围为，．【点睛】本题主要考查正切函数的周期性、定义域，正切函数的图象性质，属于中档题．16.已知函数的最大值为1.（1）求常数m的值；（2）若，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据辅助角公式化简可得，然后根据正弦函数的性质，即可得出答案；（2）根据已知可得出，，然后根据二倍角公式得出的值，根据两角差的余弦公式，即可得出答案.【小问1详解】，当，即时，，所以.【小问2详解】由（1）知，.由得，，所以.又，所以，所以，所以，，所以.17.函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根据三角函数的图象与性质计算即可；（2）先根据三角函数的图像变换得，结合正弦函数的单调性、对称性可判定的取值范围与的值.【小问1详解】由图可知，，∵，∴，∴，又，∴，，∴，由可得，∴；【小问2详解】将向右平移个单位得到，再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，令，则，易知函数在上单调递增，在上单调递减，又，，，∴；由对称性可知，∴，∴，∴．18.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）当时，求的最大值和最小值，并求出对应的x的取值；（3）当时，关于x的不等式有解，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2），的最小值，，的最大值2，（3）【解析】【分析】（1）根据积化和差以及二倍角，辅助角公式化简，即可利用整体法求解，（2）利用整体法即可求解，（3）代入化简可得有解，利用函数的单调性求解最值即可求解.【小问1详解】令,解得，故单调递增区间为【小问2详解】当时，，当时，此时，取最小值，当时，此时，取最大值，【小问3详解】由可得，故，由于，所以，故，令，则在单调递减，所以当时，，故，故，19.已知函数，给定，定义的“－关联跟踪函数”为．（1）求的取值范围；（2）已知当时，恒成立．若对于任意的都有，求的取值集合；（3）若，证明：轴为函数图象的对称轴．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用辅助角公式对变形，再利用正弦函数的性质可求出其范围；（2）由，化简得，再由当时，恒成立，可得，从而可求出的取值集合；（3）由，得或，然后分别化简，再判断的奇偶性可得结论.小问1详解】，其中，故的取值范围为．【小问2详解】由题意可得，