湖南省涟源市部分高中2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

高一月考数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则下列表示正确是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通过列举法表示集合，逐项判断即可【详解】，所以，故A，C，D错误，B正确故选：B.2.已知扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由弧长公式，先求出半径，再由扇形面积公式求解即可.【详解】设扇形的半径为，则由弧长公式可得，解得，所以扇形的面积.故选：D.3.下列结论正确的是（）A.角度有正角和负角之分，所以角度是向量B.若，则线段与线段在同一直线上C.若，则D.若，则不一定平行【答案】D【解析】【分析】由平面向量的概念对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，角度虽有大小却无方向，故不是向量，故A错；对于B，对于平行四边形，与不在同一直线上，故B错；对于C，向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错；对于D，若为零向量，则可任取，不一定平行，故D正确.故选：D.4.已知，则等于（）A. B.4 C. D.3【答案】C【解析】【分析】根据分段函数解析式即可求解.【详解】，故选项C正确.故选：C.5.已知四边形满足条件，且，其形状是（）A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形【答案】B【解析】【分析】由，分析出四边形一组对边平行且相等，又由，分析出四边形对角线相等，即可得到结果.详解】由，可知且，则四边形为平行四边形，又由，可知四边形为矩形，故选:B.6.函数的单调递增区间为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数定义域，由复合函数的单调性法则，外函数是增函数，要求函数的递增区间，则求内函数递增区间即可.【详解】由题得由sin12x+解得，即函数定义域为，因为函数是增函数，故求函数的单调递增区间即求函数在上的单调递增区间，令，则，所以函数的递增区间为.故选：D.7.已知向量，则的最小值是（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量线性运算的坐标表示及模长公式，再结合二次函数求最值即可；【详解】由，可得：，所以，当取得最小值；故选：C8.点是所在平面内一点，，则的最小值为（）A.100 B.120 C.180 D.240【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标求出向量的模，结合已知建立函数关系求出最小值.【详解】以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，则，则，当且仅时取等号，所以的最小值为120.故选：B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，且，则下列说法正确的有（）A.是第四象限角 B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的基本关系式、三角函数比较大小对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】因为，所以，又，所以点在第四象限，所以是第四象限角，故A正确；因为，所以，故B错误；因为，所以，解得（正值舍去），故C正确；由C的分析知，，故D正确.故选：ACD.10.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，点在直线上，且，则点的坐标可能为（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】由点在直线上，且，可推出点在线段上或延长线上，转化成向量相等，再利用坐标求解【详解】设，由题意得，且点在直线上，故可得以下两种情况：①，此时有，可得，解得.②，此时有，可得，解得.综上所述，点的坐标为或.故选：AB11.如图，已知正六边形的边长为2，点为正六边形上的动点，下列说法错误的是（）A. B.C.的最小值为 D.的最大值为12【答案】AD【解析】【分析】结合图形即可判断A，由向量的平行四边形法则即可判断B，由向量数量积的几何意义即可判断C，由向量数量积的运算律代入计算，即可判断D.【详解】对于A，，由题图可得与为相反向量，故A错误；对于B，由题图易得平分，且正三角形，设交于，根据平行四边形法则有与共线且同方向，易知，则，而，故，故，故B正确；对于C，根据向量数量积的几何意义可知，的最小值为，故C正确；对于D，取的中点为，连接，则，则，故D错误.故选：AD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，且，则__________.【答案】##【解析】【分析】由共线向量的坐标表示，求得正切值，根据同角三角函数的商式关系，可得答案.【详解】，由，可得，所以，所以.故答案为：.13.已知为等腰三角形，且，则__________.【答案】【解析】【分析】由及正弦定理，得，然后判断底边，利用余弦定理即可求解.【详解】在中，令内角所对的边分别为，由及正弦定理，得，若为底边，则，，不能构成三角形，所以为底边，故，由余弦定理得，故答案为:.14.定义是中的较小者.已知函数，若，且方程有3个不同的解，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】在同一坐标系中画出函数和的大致图象，结合图象分析可知当方程有3个不同的解时，方程有2个小于1的正数解，再构建不等式组求解可得答案.【详解】由题意，函数和在同一坐标系中的大致图象如图：函数的定义域为.因为方程有3个不同的解，所以方程有1个解且为1，方程有2个小于1的正数解.所以m解得，故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数的最小正周期是.（1）求函数在上的单调减区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）（2）最大值为2，最小值为【解析】【分析】（1）利用最小正周期求得，进而利用整体法可求得单调递减区间；（2）由，可得，可求得函数的最大值与最小值.【小问1详解】函数的最小正周期.由，解得.函数在上的单调减区间为.【小问2详解】由（1）得..函数在区间上的最大值为2，最小值为.16.已知向量，且与的夹角为.（1）求；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用向量坐标运算，结合夹角公式求出，进而求出及模.（2）由（1）的信息，利用向量线性运算的坐标表示，结合夹角公式及共线向量列式求解.【小问1详解】由向量，得，且，由与的夹角为，得，解得，则，于是，所以.【小问2详解】由（1）知向量，则，由与的夹角为锐角，得且与不共线，由3(2−λ)−λ>01⋅(2−λ)≠−λ⋅3，解得且，所以实数的取值范围为.17.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）判断的单调性（无需证明），并解关于的不等式.【答案】（1）（2）在上单调递减，.【解析】【分析】（1）设，得到.由即可求解；（2）由二次函数单调性即可判断，利用函数的单调性奇偶性即可求解；【小问1详解】设，则.是奇函数，且当时，，.所以；【小问2详解】时，，对称轴为，开口向上，易知在为减函数，由函数为奇函数，可知在上单调递减；是奇函数，，即.的定义域是是减函数，,即，解得：即不等式的解集是.18.数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如：如图甲，在△ABC中，D为BC的中点，则，，两式相加得，.因为D为BC的中点，所以，于是.请用“算两次”的方法解决下列问题：（1）如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，证明：.（2）如图丙，在四边形中，E，F分别在边AD，BC上，且，，，，与的夹角为，求向量与向量夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用图形关系的向量运算法则结合已知求解即可；（2）由图形关系的向量运算得到，求出其模长；再利用定义式求解，最后再利用向量夹角的余弦公式求解即可.小问1详解】证明：在四边形ABFE中，，①在四边形CDEF中，，②由①②，得，因为E，F分别为AD，BC的中点，所以，，于是.【小问2详解】在四边形ABFE中，①，在四边形CDEF中，②，由，，得，.由，得，所以，所以，，所以.19.我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，我们可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.（1）若函数满足为偶函数，求的值.（2）若函数，判断函数的图象是否是轴对称图形？如果是，求出其对称轴；如果不是，请说明理由.（3）在（2）的条件下关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）是，.（3）.【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义求解；（2）假设函数的图象是轴对称图形，根据定义可得，运算得解；（3）分离可得恒成立，结合对