江苏省苏州市工业园区星海实验中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

2024级高一年级3月学情调研测试高一数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，，与的夹角是，则（）A.12 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的数量积的计算公式，准确运算，即可求解.【详解】由题意，向量，，与的夹角是，所以.故选：C.2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用诱导公式化简，再利用两角和差正弦公式.【详解】因，则故选：C3.在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的定义及诱导公式，结合二倍角的余弦公式即可求解.【详解】因为角的终边与单位圆交于点，所以.所以.故选：B.4.设向量，为互相垂直的单位向量，若向量与垂直，则（）A. B.1 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】由向量垂直，得数量积为0，计算可得．【详解】向量，为互相垂直的单位向量，则，向量与垂直，则，．故选：C．5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知等式求出，利用差角的正切公式，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以，即故选：C6.在中，为边上的中线，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案.【详解】因为，所以由已知可得，，所以，，所以，.故选：A.7.已知函数是定义在上的增函数，，是其图象上的两点，那么的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，，所要解的不等式等价于，再利用单调性脱掉，可得，再结合正弦函数的图象即可求解.【详解】由可得，因为，是函数图象上的两点，所以，，所以，因为是定义在上增函数，可得，解得：，由正弦函数的性质可得，所以原不等式的解集为，故选：D【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是将要解得不等式转化为利用单调性可得.8.已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】若在区间上单调递增，满足两条件：①区间的长度超过；②的整体范围在余弦函数的增区间内，取合适的整数k求出ω的取值范围.【详解】，∵函数在区间内单调递增，∴，∴，∵，∴，若在区间上单调递增，则，解得，当时，，又因为，∴.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题中，正确的命题有（）A.是共线的充要条件 B.若，则存在唯一的实数，使得C.若，则或 D.若与反向，则【答案】CD【解析】【分析】A选项，根据向量的共线及模长关系进行判断；B选项，根据向量的共线性质判断；C选项，根据平面向量数乘运算判断；D选项，根据向量的数量积运算律，结合夹角计算判断.【详解】若，同向共线时，，则不相等，所以不是共线的充要条件，故A不正确；若向量为零向量，为非零向量，则，共线时，不存在实数，使得成立，故B不正确；若，则或，故C正确；因为是的夹角，若与反向，则，所以，故D正确．​​​​​​​故选：CD.10.下列化简正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】A选项，由正切的和角公式化简得到答案；B选项，由余弦二倍角公式求出答案；C选项，由正切二倍角公式进行求解；D选项，通分后，利用辅助角公式，倍角公式和诱导公式求出答案.【详解】A选项，，即，化简得：，A正确；B选项，，B错误；C选项，，C正确；D选项，，D错误.故选：AC11已知函数，则（）A. B.的最小正周期为C.的图象关于直线对称 D.的最大值为【答案】BC【解析】【分析】将函数写成分段函数形式，结合函数的图象以及该函数奇偶性、对称性和单调性依次判断选项即可.【详解】由于，所以，即，如图所示：对于选项A，，，不满足，选项A不正确；对于选项B，，结合图象，的最小正周期为，选项B正确；对于选项C，，的图象关于直线对称，选项C正确；对于选项D，函数在区间和上单调递减，在区间和上单调递增，由于，，的最大值为，选项D不正确；故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知平面向量，不共线，且，，，若，，三点共线，则______.【答案】1【解析】【分析】先根据向量的减法法则表示出，然后根据向量的共线定理进行计算.【详解】依题意得，，由三点共线可知，存在，使得，即，由于，是两个不共线的向量，则，解得.故答案为：1.13.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值（记为m）也可以表示为．若，则________．【答案】【解析】【分析】先得到，故利用辅助角公式化简得到.【详解】，，故，故.故答案为：14.如图，正方形ABCD边长为1，P、Q分别为边AB、AD延长线上的点，，且，则PQ的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，用分别表示，再利用和角的正切及均值不等式求解作答.【详解】依题意，，显然，由得：，即，整理得，在中，，当且仅当，即时取等号，所以PQ的最小值为2.故答案为：2四、解答题：本共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）已知且，求的值；（2）已知，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由，求出，再通过构造角，利用和角的正弦公式求出即可；（2）先由诱导公式求出，再求出，再由二倍角公式求出，再由诱导公式及和角的余弦公式求即可.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，所以.（2）因为，所以，又因为，所以，所以，，所以.16.如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆分别交，两点．（1）求的值；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题得得，，，，再利用和角的余弦公式求解；（2）先求出，再利用差角的正弦公式计算求解.【详解】（1）由，，得，，，，则．（2）由已知得，．∵，，∴，∵，∴，则，∴．【点睛】本题主要考查和角的余弦公式和差角的正弦公式，考查同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17.如图，在菱形中，分别是边的中点，与交于点，设．（1）用表示；（2）求的余弦值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据条件，利用向量加法的三角形法则，即可求出结果；（2）利用，分别求出，，再利用数量积的定义，即可求出结果.【小问1详解】，【小问2详解】根据题意，由（1）可得，在平行四边形中，，即为等边三角形，所以，则，即，则，因为，，所以.18.已知函数．（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）将的图象向左平移个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的，得到的图象，若，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据两角差的正弦及余弦公式化简得出，再根据正弦函数的单调增区间化简求解；（2）先根据平移得出，再应用有解得出，最后应用正弦函数值域结合二次函数值域即可求解；【小问1详解】，所以的周期为，由得，所以的单调递增区间为．【小问2详解】图象上的所有点向左平移个单位后，得到再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的，得到因为，所以当时，令，则，所以当时，取得最小值，最小值为所以，解得或，故的取值范围为．19.设次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式．例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式．（1）若切比雪夫多项式，结合，求实数，，，的值；（2）利用，结合（1）的结论，求的值；（3）已知函数在区间上有个不同的零点，分别记为，求的值．【答案】（1）（2）（3）0【解析】【分析】（1）结合定义可得，利用两角和余弦公式和二倍角余弦公式，平方关系将右侧化为的表达式，对比可求结论；（2）由（1），再结合二倍角正弦公式，平方关系化简方程可求结论；（3）令​，由条件结合（1）可得，由此可求，再结合诱导公式两角和余弦公式求结论.【小问1详解】依题意，​​，因此​，即​，则​．【小问2详解】因为​，因为​，​，即​，因为​，解得​（​舍）．【小问3详解】函数​在区间​上有个不同的零点​，即方程​在区间​上有个不同