吉林省吉林市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

24级高一下学期3月考试（数学）试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1.若复数，则（）A. B. C. D.5【答案】D【解析】【分析】直接将代入计算即可.【详解】因为，所以，故选：D2.已知向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求参数，结合充分、必要性定义即可得.【详解】若，且，则，解得或，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B3.在中，，则下列结论一定正确的是A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：直接利用正弦定理即可得结果.详解：设对应边为，，由正弦定理得，，，故选A.点睛：本题主要考查三角形的性质以及正弦定理的应用，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.4.在中，点D在线段BC上，且，E是线段AB的中点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先得到向量，再利用向量减法的三角形法则表示出即可求解.【详解】因为，所以，则.故选：A5.在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形【答案】D【解析】【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状.【详解】，，，化简得，，，即，或，，或，即或，是直角三角形或等腰三角形.故选：D.6.复数满足，则最小值为（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的几何意义，作图，利用点到直线距离公式，可得答案.【详解】设复数在复平面上的对应点为，则可表示为复平面上点到的距离，可表示为复平面上点到的距离，由题意可知：点在线段的中垂线上，如下图：线段的中点为，直线的斜率，则的轨迹方程为，整理可得，由可表示为点到的距离，.故选：A.7.某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】B【解析】【分析】设，由，结合余弦定理可得，求解即可.【详解】设，则可得，由，可得B是AC的中点，所以，而，则，，中，由余弦定理可得：，解得：，所以该建筑的高度米.故选：B.8.如图，在中，，，，边上的两条中线于点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】观察图象知与的夹角的大小相等，结合向量夹角余弦公式可得结论.【详解】因为，所以为直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则有，，，又D，E分别为BC，AB中点，所以，，故，，所以，故选：D．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数z满足，则（）A.为纯虚数 B.对应的点在第四象限C. D.和是方程的两个根【答案】BC【解析】【分析】先化简，然后结合选项可得答案.【详解】因为，所以，对于A，显然不是纯虚数，A不正确；对于B，，对应的点在第四象限，B正确；对于C，，C正确；对于D，，所以和不是方程的根,D不正确.故选：BC10.在中，，，，若满足条件三角形有两个，则的取值可能为（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】BC【解析】【分析】利用正弦定理求得，再根据三角形有两解的条件可得，且，由此求出的范围即可得解.【详解】在中，由正弦定理得，，因满足条件的三角形有两个，则必有，且，即，于是得，解得，因为，所以的取值可能为8，9.故选：BC.11.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（）A.B.在向量上的投影向量为C.若P为ED的中点，则D.若P在线段BC上，且，则的取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】以为轴，为轴建立平面直角坐标系，计算各点坐标，计算，可判断A；求得在向量上的投影向量判断B；由P为的中点，求出点P、向量、的坐标，结合，计算可判断C；计算，计算可判断D.【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，设，根据余弦定理可得，，整理得到，设，，设，对选项A：，所以，故A错误；对选项B：，，即在向量上的投影向量为，故B正确；对选项C：因为P为的中点，所以，所以，，，故C正确；对选项D：，，所以，所以，整理得到，由题意可知，所以在上单调递增，当时，，当时，，故，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则复数z的虚部为______.【答案】【解析】【分析】先化简复数，再求解虚部.【详解】因为，所以，所以虚部为.故答案为：13.已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】易知点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，取的中点可得，易得，即可求得的最小值为.【详解】因为动点满足，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如下图所示：

设为的中点，则；所以当取最小值时，取得最小值；，所以.故答案为：.14.在中，角所对的边分别为，且，则的取值范围是___________.【答案】（1，3）【解析】【分析】由三角形的内角范围可得0＜A，cosA＜1，运用正弦定理和三角函数的二倍角的正弦公式和余弦公式，结合余弦函数的单调性，可得所求范围．【详解】由B＝3A，可得C＝π﹣A﹣B＝π﹣4A，由0＜B＜π，0＜C＜π，可得0＜A，则cosA＜1，==2cos2A+cos2A＝4cos2A﹣1，由cosA＜1，可得cos2A＜1，即有1＜4cos2A﹣1＜3，则的取值范围为（1，3），故答案为：（1，3）【点睛】关键点点睛：关键是将利用正弦定理转化为角A的函数，注意角的范围四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知平面内两个不共线的向量，.（1）求；（2）求与夹角.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据条件对的两边平方即可得出关于的方程，然后根据题意知，从而解出；（2）进行数量积的运算可求出和的值，然后即可求出的值，从而可求出和的夹角.【详解】解：（1），，，，且，解得；（2），，，且，.16.如图，在中，内角，的对边分别为，，，，过点作，交线段于点，且，．（1）求的大小；（2）求的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件进行边角互化，化简可求出的大小.（2）由第（1）问的结论，可求出，由边相等可求出，正弦定理可求出结果.【小问1详解】因，所以由正弦定理得：，因为，所以，所以，即，又因为，所以．小问2详解】因为，所以，由（1）知，，所以，又，所以，在中，由正弦定理，得，又因为，所以，即.17.在中，角的对边分别为，且．（1）求角；（2）若为边上一点，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理和倍角公式化简，结合同角三角函数的商数关系或辅助角公式，求得或，可求角；（2）由已知可得为等边三角形，则，中由余弦定理求得的值．【小问1详解】依题意，，由正弦定理可得，因为，所以，所以，法一：即，因为，所以，所以，所以：，所以，即．法二：即，所以，即，因为，所以，所以，即．【小问2详解】因为，又因为，所以为等边三角形，则，由余弦定理得，所以，解得或（舍去），故．18.某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处A点处固定一旗帜，然后从A点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到B点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从B点逆时针走至C点处，此时测得∠ABC=120°，且测得BC=20米，AB=10米．（1）求该人工圆形湖泊的直径；（2）若D为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于A，C两点），求四边形ABCD面积的取值范围．【答案】（1）该人工圆形湖泊的直径为米（2）四边形ABCD面积的取值范围为（平方米）【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理求得，利用正弦定理求得直径；（2）利用三角形面积公式求得，利用四点共圆性质及余弦定理，结合基本不等式求得的最大值(，)，进而得到的最大值，从而得到四边形ABCD面积的取值范围.【详解】（1）在中，由余弦定理可得，即，故米．设该人工圆形湖泊的半径为R，故，所以该人工圆形湖泊的直径为米．（2）易得，因为A，B，C，D四点共圆，所以，设，，由余弦定理可得，所以，当且仅当时取等号，故四边形ABCD面积的取值范围为（平方米）．19.锐角的内角的对边分别为.已知.（1）求；（2）若，求面积的最大值；（3）若，求周长的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由两角和的正切公式结合题目条件求出，即可