高中数学全一册学案（含解析）新人教A版必修3

1.1.1算法的概念

层析教材，新知无师自通

知识点一算法的概念

［提出问题］

2014年8月“青奥会”在南京开幕，某人想观看“青奥会”的开幕式，通过网络订票成

功，然后按时验票入场，观看完开幕式后退场返回.

问题1：观看开幕式的过程是明确的吗？

提示：是明确的.

问题2：观众订票的方式是唯一的吗？

提示：不唯一.

问题3：若你想去观看“青奥会”开幕式，如何设计你的行程？

提示：首先订票，然后选择合适的交通工具按时到场，验票入场，观看开幕式.

［导入新知］

［化解疑难］

1.对算法概念的理解

(1)算法没有一个精确化的定义，可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整

的解题步骤，或看成按要求设计好的有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够

解决一类问题.

(2)算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.

事实上，算法的概念很广泛，为解决一类问题而采取的方法和步骤都称为“算法”.但

我们这里讲的是计算机能实现的算法，即一类问题的机械的、统一的求解方法，如解方程(组)

的算法、函数求值的算法等.

2.算法的特征

特征具体内容

算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应

确定性

当是模棱两可的

正确性和算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，上一步是下一步的前提，只有执

顺序性行完上一步，才能执行下一步

有限性一个算法必须在执行完有限步之后结束，而不能是无限的

不唯一性求解某个问题的算法不一定是唯一的，一个问题可以有不同的算法

很多具体的问题都可以设计合理的算法去解决，写出的算法必须能解决一类问

普遍性

题

知识点二

［提出问题］

问题1:在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具，听音乐、

看电影、玩游戏、办公、处理数据、收发邮件，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域.那

么你知道算法与计算机的关系吗？

提示：算法是计算机科学的基础，计算机处理任何问题都要依赖于算法.

问题2：如何设计一个利用计算机求当x取任何值时函数Ax)=/-x+2的值的算法？

试写出算法步骤.

提示：第一步，输入X.

第二步，计算f(x)=f—x+2.

第三步，输出/'(x).

［导入新知］

算法与计算机的关系

计算机解决任何问题都耍依赖于篁法，只有将解决问题的过程分解为若干个蝇的茏骤,

即算法,并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来,计算机才能够解决问题.

［化解疑难］

1.算法设计的要求

(1)设计的算法要适用于一类问题，并且遇到类似问题能够重复使用；

(2)算法过程要做到能一步一步地执行，每一步执行的操作，必须是明确有效的，不能含

糊不清;

(3)所设计的算法必须在有限步后得到问题的结果，不能无限进行下去；

(4)设计的算法的步骤应当是最简练的，即最优算法.

2.算法与数学中的解法的联系和区别

(1)联系：算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系，算法的获取要借助

一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般方法解决.

(2)区别：算法是解决某些问题所需要的程序和步骤的统称，也可以理解为数学中的“通

法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程.

锁定考向，考题千变不离其宗

算法的概念

［例1］(1)下列关于算法的描述正确的是()

A.算法与求解一个问题的方法相同

B.算法只能解决一个问题，不能重复使用

C.算法过程要一步一步执行

D.有的算法执行完以后，可能没有结果

(2)下列叙述不能称为算法的是()

A.从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海

B.解方程4x+l=0的过程是先移项再把x的系数化成1

C.利用公式5=加/计算半径为2的圆的面积得“X2。

D.解方程2x+l=0

［解析］(1)算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A不对；算法能够重复使

用，故B不对；每一个算法执行完以后，必须有结果，故D不对.

(2)选项A,B给出了解决问题的方法和步骤，是算法；选项C是利用公式计算也属于算

法；选项D只提出问题没有给出解决的方法，不是算法.

［答案］(DC(2)D

［类题通法］

理解算法的关键点

(1)算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，用算法解

决问题，体现了从特殊到一般的数学思想.

(2)判断一个问题是否有算法，关键看是否有解决某一类问题的程序或步骤，这些程序或

步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.

［活学活用］

计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是()

①S=2+4+6+…+1000；

②S=2+4+6+…+1000+…；

③S=2+4+6+…+2〃(〃21,ZJGN).

A.①②B.①③

D.①②③

解析：选B由算法的有限性知②不正确，而①③都可通过有限的步骤操作，输出确定结

果.

氏强I算法的设计

［例2］(1)早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡

面(3min)、吃饭(lOmin)、听广播(8min)几个步骤.从下列选项中选出最好的一种算法()

A.第一步洗脸刷牙、第二步刷水壶、第三步烧水、第四步泡面、第五步吃饭、第六步听

广播

B.第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭、第五步听广播

C.第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭同时听广播

D.第一步吃饭同时听广播、第二步泡面、第三步烧水同时洗脸刷牙、第四步刷水壶

(2)写出求1+2+3+4+5+6的一个算法.

［解析］⑴选C

AX所用时间为36分钟

BX所用时间为31分钟

CV所用时间为23分钟

DX不符合日常生活规律

(2)算法一：

第一步，计算1+2,得到3.

第二步，将第一步中的运算结果3与3相加，得到6.

第三步，将第二步中的运算结果6与4相加，得到10.

第四步，将第三步中的运算结果10与5相加，得到15.

第五步，将第四步中的运算结果15与6相加，得到21.

算法二：

第一步,将原式变形为式+6)+(2+5)+(3+4)=7X3.

第二步，计算7X3.

第三步，得到运算结果.

算法三：

第一步，取〃=6.

第二步，计算〃.

第三步，得到运算结果.

［类题通法］

设计具体问题的算法的步骤

设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：

(1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法；

(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；

(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；

(4)用简练的语言将这个步骤表示出来.

［活学活用］

1.一个算法的步骤如下，如果输入x的值为一3,则输出z的值为()

第一步，输入x的值.

第二步，计算x的绝对值-

第三步，计算z=2'-y.

第四步，输出z的值.

A.4B.5

C.6D.8

解析：选B分析算法中各变量、各语句的作用，再根据算法的步骤可知：

该算法的作用是计算并输出z=2”—|削的函数值.

第一步，输入x的值-3.

第二步，计算x的绝对值y=3.

第三步，计算z=2'—y=2,'—3=5.

第四步，输出z的值为5.

2.给定一个一元二次方程a/+6x+c=0,设计一个算法来判定方程根的情况.

解：第一步，计算4=炉一4ac；

第二步，如果/>0,那么方程有两个不相等的实数根；

第三步，如果4=0,那么方程有两个相等的实数根；

第四步，如果4〈0,那么方程没有实数根.

幅算法的应用

［例3］(1)结合下面的算法：

第一步，输入工

第二步，判断x是否小于0.若是，则输出x+2,否则执行第三步.

第三步，输出x—1.

当输入的x的值为一1,0,1时.，输出的结果分别为()

A.—1,0,1B.—1,1,0

C.1,—1,0D.0,—1,1

(2)设计一个判断直线Ax+By+C^O与圆(x—xM+J—%产=/的位置关系的算法.

［解析］(1)选C根据“值与0的关系，选择执行不同的步骤.当x=-l时，输出x+

2,即输出1；当x=0时，输出x—l,即输出一1；当x=l时，输出x-l,即输出0.

(2)算法如下:

第一步，输入圆心坐标(加，外),直线方程的系数4B,C和半径二

第二步，计算zi=/xo+歙)+£

第三步，计算Z2=3#+皮

第四步，计算公心.

Z1

第五步，若d>r,则输出“相离"；若d=r,则输出“相切"；若d<r,则输出“相交”.

［类题通法］

数学中两种算法应用的处理方法

(1)数值性计算问题，如解方程(组)、解不等式(组)或套用公式判断性问题，一般通过数

学模型借助数学计算方法分解成清晰的步骤，并条理化.

(2)非数值性问题，如查找、变量代换、文字处理等非数值性计算问题，设计算法时，首

先建立过程模型，然后根据过程设计步骤，完成算法.

［活学活用］

(x+y+z=12,①

设计一个算法，求解方程组(3x-3y-z=16,②

［x—y—z=—2.(3)

解：用消元法解方程组，其算法步骤是：

第一步，①+③得X=5.④

第二步，①+②得2x-y=14.⑤

第三步，将④代入⑤得尸一4.⑥

第四步：将④⑥代入③得z=11.

卜=5,

第五步：得到方程组的解为(y=-4,

修补短板，拉分题一分不丢

簪■系列

1.函数求值问题的算法设计

—X—\W-1

［典例］己知函数/=，试设计一个算法输入X的值，求对应的

x>-1

函数值.

［解题流程］

审结论.明解题方向I-------审条件.挖解题信息I--------------建联系.找解题突破口

设计一个求值题的题目中的函数为分段函数.求函揄入工的值-►判断上与一1的关系

数值时.应对：1■进行分类讨论.代入相应关系式一求函数值.

［规范解答］

［名师批注］

算法如下：

厂:计算函数值，必须先对自变量赋值，此步是解决求值问

第一步•输入」的值.一

题不可跳少的一步.

第二步，当：《一1时，计算y=-a2—1;

由于该函数为分段函数，且自变量与一1的大小关系不同

否则执行第三步.

时满足的关系式也不同，因此应根据上的取值选择不同

第三步，计算5=上\的步骤.

第四步，输出A一任何算法必须有一个明确的结果,即要回归题目的结论.

［类题通法］

分段函数求值问题的算法设计

(1)在生活中，经常遇到条件的判断.如现在在二楼，需要决定是上楼还是下楼；在买袋

装大米的时候，你需要决定买10千克装的，还是20千克装的，还是30千克装的；等等.同

样，设计含有判断条件的算法时，往往是先判断条件，根据条件是否成立，有不同的步骤.

(2)分段函数求函数值的算法要运用分类讨论思想进行设计，一定要对算法中可能遇到的

情况考虑周全，满足与不满足都要有相应的步骤.

［活学活用］

—x+1x>0

0x=0写出给定自变量X的值，求函数值y的算法.

、*+1矛<0.

解：算法如下：

第一步，输入x的值.

第二步，若x>0,则y=-x+l,然后执行第四步；否则执行第三步.

第三步，若x=0,则y=0；否则y=x+l.

第四步，输出y的值.

Mi阿屈自主演练，百炼方成钢

［随堂即时演练］

1.下列可以看成算法的是（）

A.学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适

当的练习题

B.今天餐厅的饭真好吃

C.这道数学题难做

D.方程2/—x+1=0无实数根

解析：选AA是学习数学的一个步骤，所以是算法，而其他三个选项都不是.

2.已知直角三角形两直角边长为a,b,求斜边长c,的一个算法分下列三步：

①计算c=［7不了；②输入直角三角形两直角边长a,。的值；③输出斜边长c的值.

其中正确的顺序是（）

A.①②③B.②③①

C.①③②D.②①③

解析：选D明确各步骤间的关系即可知D选项正确.

3.输入一个x值，利用y=|x+l1求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整：

第一步，输入X.

第二步，.

第三步，计算-1.

第四步，输出二

解析：含绝对值的函数的函数值的算法要注意分类讨论思想的应用.本题中当x与一1时

y=x+l；当x<—1时y=-x—1,由此可完善算法.

答案：当了》一1时，计算y=x+l；否则，执行第三步

4.求过。（团，加，0（加&）两点的直线的斜率有如下算法，请在横线上填上适当的步骤:

第一步，取xi=a"％=力，xi=ai,yi=bi.

第二步，判断“汨=及”是否成立.若是，则输出“斜率不存在"，结束算法；否则，执

行第三步.

第三步，.

第四步，输出上

解析：根据题意，当“小工用”时执行第三步，即计算斜率k,此时只需用两点间的斜率

公式即可求解.

答案：计算4=二口

X2—X\

5.设计一个算法，求表面积为16"的球的体积.

解：算法一：

第一步，取S=16n.

第二步，计算不=\^（由于S=4n〃）.

4。

第三步，计算

O

第四步，输出运算结果.

算法二：

第一步，取S=16n.

第二步，计算Y”（保、

第三步，输出运算结果.

［课时达标检测］

一、选择题

i.下列叙述中，能称为算法的个数为（）

①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤：

②按顺序进行下列运算：1+1=2,2+1=3,3+1=4,…，99+1=100；

③从青岛乘火车到济南，再从济南乘飞机到广州观看广州恒大的亚冠比赛；

④3x>x+1；

⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12,….

A.2B.3

C.4D.5

答案：B

2.关于一元二次方程步一5了+6=0的求根问题，下列说法正确的是（）

A.只能设计一种算法

B.可以设计多种算法

C.不能设计算法

D.不能根据解题过程设计算法

答案：B

3.一个厂家生产商品的数量按照每年比前一年都增加18%的比率递增，若第一年的产量

为a,“计算第〃年的产量”的算法中用到的一个函数解析式是（）

A.尸a#

B.y=a（l+18%）n

C.尸a（l+18%）i

D.y=〃（i+i8%）”

答案：c

4.对于解方程f-2x—3=0的下列步骤：

①设t\x）=*—2x—3；

②计算判别式/=（一2尸一4X1X（-3）=16>0；

③作/V）的图象；

④将a=l,b=—2,c=-3代入求根公式x=—甘得小=3,用=-1.

其中可作为解方程的算法的有效步骤为（）

A.①②B.②③

C.②④D.③④

答案：C

5.如下算法：

第一步，输入x的值.

第二步，若x20,则_/=矛；否则，y—x.

第三步，输出y的值.

若输出的y值为9,则x的值是（）

A.3B.-3

C.3或一3D.-3或9

答案：D

二、填空题

\2x—y+6—0,①

6.以下是解二元一次方程组的一个算法，请将该算法补充完整.

[x+y+3=0②

第一步，①②两式相加得3x+9=0.③

第二步，由③式可得一.④

第三步，将④式代入①式得y=0.

第四步，输出方程组的解.

解析：由3x+9=0,得了=-3,即④处应填x=-3；

把x=-3代入2x—y+6=0,得尸0,

x——3,

即方程组的解为

go.

*=-3,

答案：x=-3

J=0

7.己知一个学生的语文成绩为89,数学成绩为96,外语成绩为99,求他的总分和平均

成绩的一个算法为：

第一步，取4=89,6=96,C=99.

第二步，.

第三步，.

第四步，输出计算的结果.

解析：应先计算总分然后再计算平均成绩

O

答案：计算总分。=4+8+C计算平均成绩4J

8.已知/(—1,0),6(3,2),下面是求直线46的方程的一个算法，请将其补充完整：

第一步，.

第二步，用点斜式写出直线^的方程y-0=g[x—(-l)].

第三步，将第二步的方程化简，得到方程x—2y+l=0.

解析：该算法功能为用点斜式方程求直线方程，第一步应为求直线的斜率，应补充为“计

算直线4?的斜率％=3”.

答案：计算直线4?的斜率

三、解答题

9.已知一个等边三角形的周长为a,求这个三角形的面积.设计一个算法解决这个问题.

解：算法步骤如下：

第一步，输入a的值.

第二步，计算/=]的值.

第三步，计算S=^X7的值.

第四步，输出S的值.

[能涮槛协:现

10.有分别装有醋和酱油的/、8两个瓶子，现要将6瓶中的酱油装入4瓶，4瓶中的醋

装入8瓶，写出解决这个问题的一种算法.

解：算法步骤如下：

第一步，引入第三个空瓶C瓶.

第二步，将力瓶中的醋装入。瓶中.

第三步，将6瓶中的酱油装入4瓶中.

第四步，将。瓶中的醋装入8瓶中.

第五步，交换结束.

(2X~1后一1,

11.已知函数y=(log3x+1-1<X2,试设计一个算法，输入x的值，求

对应的函数值.

解：算法如下：

第一步，输入x；

第二步，当启一1时，计算/=2,—1,否则执行第三步；

第三步，当K2时，计算尸log3(x+l),否则执行第四步；

第四步，计算尸上

第五步，输出y.

第二课时条件结构

［提出问题］

已知一个算法的步骤如下：

第一步，输入X

第二步，若x<2,执行第三步；否则，执行第四步.

第三步，计算2一+1的值，输出结果，结束算法.

第四步，计算log3(f—1)的值，输出结果，结束算法.

问题1：该算法的算法功能是什么？

⑵LI+Ix<2

提示：计算函数/'(x)=,,'o的函数值.

［iog：ty-i42

问题2：若画出该算法的程序框图，只用顺序结构能完成吗？

提示：不能.

问题3：上述算法中除含有顺序结构外，还含有什么逻辑结构?

提示：条件结构.

［导入新知］

1.条件结构

在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流

向，处理上述过程的结构就是条件结构.

2.条件结构程序框图两种形式及特征

形式一形式二

结构

形式I步骤A||步骤B|1步骤A|

1--------1!,

特征两个步骤/、8根据条件选择一个执行根据条件是否成立选择是否执行步骤j

［化解疑难］

对条件结构形式的理解

(1)如形式一所示的条件结构中，算法执行到此判断框给定的条件时，根据条件是否成立,

选择不同的执行框(步骤4、步骤卤，无论条件是否成立，都要执行步骤4和步骤6之一，但

不可能既执行步骤A又执行步骤B,也不可能步骤A和步骤6都不执行.

(2)步骤A和步骤8可以有一个是空的(如形式二)，即不执行任何操作.

锁定考向，考题千变不离其宗

反号|简单条件结构的算法与框图

.2x+lx20,

［例1］画出求分段函数尸Lc八的函数值的程序框图.

3x—2*<0

［解］算法如下：

第一步，输入x的值.

第二步，判断X的大小.

若x20,则尸2x+l；

若x<0,则y=3x—2.

第三步，输出y的值.

程序框图如下:

［类题通法］

1.条件结构与顺序结构的不同点

条件结构不同于顺序结构的地方：它不是依次执行操作指令进行运算，而是依据条件作

出逻辑判断，选择执行不同指令中的一个.一般地，这里的判断主要是判断“是”或“否”，

即判断是否符合条件的要求，因而它有一个入口和两个出口，但最后还是只有一个终结口.

2.含有条件结构的程序框图的设计

设计程序框图时，首先设计算法步骤（自然语言），再将算法步骤转化为程序框图（图形语

言）.如果已经非常熟练地掌握了画程序框图的方法，那么可以省略设计算法步骤而直接画出

程序框图.对于算法中含有分类讨论的步骤，在设计程序框图时，通常用条件结构来解决.

［活学活用］

设计一个程序框图，使之能判断任意输入的数“是奇数还是偶数.

解：程序框图如下：

眼照Ml与条件结构有关的读图问题

［例2］（1）如图所示的程序框图，其功能是（）

A.输入a,6的值，按从小到大的顺序输出它们的值

B.输入a,A的值，按从大到小的顺序输出它们的值

C.求a,6的最大值

D.求a,。的最小值

(2)执行下面的程序框图，如果输入的re［—l,3］,则输出的s属于()

/MXT7

|S="I|s=4.,一，2I

/输出S/

A.[—3,4]B.[-5,2]

C.[-4,3]D.[-2,5]

［解析］(1)取a=l,6=2知，该程序框图输出6=2,因此是求a,6的最大值.

［31—1t<1，

(2)由题中框图可知5=2——即求分段函数的值域.

［41~t1WW3,

当一1<£<1时，一3WsV3；当1W/W3时，s=4t-t2=-(t-2)2+4,3^5^4.

综上，sG［—3,4］.

［答案］(DC(2)A

［类题通法］

条件结构读图注意的两点

(1)理清所要实现的算法的结构特点和流程规则，分析其功能.

(2)结合框图判断所要填入的内容或计算所要输出或输入的值.

［活学活用］

1.根据图中的流程图操作，使得当成绩不低于60分时，输出“及格”，当成绩低于60

分时，输出“不及格”，则()

/输入，绩■/

/输出.及格"//输出"［及格"/

A.①框中填“是“，②框中填“否"

B.①框中填“否”，②框中填“是”

C.①框中填“是"，②框中可填可不填

D.①框中填“否”，②框中可填可不填

解析：选A当x260时，应输出“及格”：当x<60时，应输出“不及格”，故①中应

填“是”，②中应填“否”.

2.如图，函数/Xx)=2',g(禽=孔若输入的x值为3,则输出的Mx)的值为.

/输去./

|咐九)|届)宜)|

I-'

/输出JG)/

解析：由框图可知，当x=3时，f(3)=23—8,g(3)=3?=9,f(3)<g(3),；"(3)=

g⑶=9,输出值为9.

答案：9

条件结构的实际应用

[例3](1)某市出租车的起步价为8元(含3千米)，超过3千米的里程每千米收2.6元,

另外每车次超过3千米收燃油附加费1元(不考虑其他因素).相应的收费系统的程序框图如

图所示，则①处应填，②处应填.

/输，“/

勾囱

丁~

/输用〃

(2)某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费，计费方法如下：3人和3人以下的住户，

每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元.设计一个算法，根据输入的人数,

计算应收取的卫生费，并画出程序框图.

［解］(1)当x>3时，y=8+2.6(x-3)+1=9+2.6(x-3)=2.6x+1.2；

当xW3时，y=8.

5启3

(2)设应收取的卫生费用y(元)表示，人数用x表示，则尸

5+1.2x—3x>3

算法如下：第一步，输入X.

第二步，若右3,则y=5；否则执行第三步.

第三步,尸5+1.2U—3).

第四步，输出y.

程序框图如图所示.

［答案］(1)尸2.6x+1.2y=8

［类题通法］

设计程序框图解决实际问题的步骤

(1)读懂题意，分析已知与未知的关系；

(2)概括题意写出表达式；

(3)设计算法步骤；

(4)根据算法步骤画出程序框图.

［活学活用］

为了加强居民的节水意识，某市制定了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过12

立方米时，每立方米收费2.8元，并加收1.4元的城市污水处理费；超过12立方米的部分，

每立方米收费4.2元，并加收1.4元的城市污水处理费.设某户每月用水量为x立方米，应

缴纳水费y元，请你设计一个输入用水量、输出应缴水费额的算法，画出程序框图.

解：y与x之间的函数解析式为

4.2x0W后12,

5.6x—16.8x>12.

算法设计如下：

第一步，输入每月用水量*(x20).

第二步，判断输入的x是否超过12,若x>12,则应缴纳水费y=5.6x—16.8；否则应缴

纳水费y=4.2x.

第三步，输出应缴水费%

程序框图如图所示:

(开始)

/输入工/

|||y=5.6“T6.8|

/输出y/

同踪1,修补短板，拉分题一分不丢

1.条件结构的嵌套问题

［典例］设计程序框图,求方程ax+6=0（a,6为常数）的解.

［解题流程］

审结论,明解题方向I审条件,挖解题信息I建联系.找解题突破口

①给出的方程心一1=0（".必为常数）是输入a.b的值一分a#0:

画出求方程0-

一般式♦应考虑解一元一次方程的步骤：a=0：a=0.〃=0

%=0的解的程序

移项一系数化“1”-►解得方程：三种情况讨论解的情况一

框图.

②由于公7,均为参数.需讨论其是否为0.输出方程解的情况.

［规范解答」

［名师批注］

算法步骤如下：

第二步,5念

'第一步.输入a.〃的值.视对a0的讨

第二步.判断a=O是否成立.广论.而直接得出

若成立，则执行第三步；若不成立.b

工=----.

则令工="）,，输出工，结束算法.a

虽然注意到对

第三步，判断/,=0是否成立.

a0的讨论，

若成立，则输出“方程的解为.结

R”—但在第三步中

束算法；若不成立，则输出“无解”.易忽视对。=0

结束算法.的讨论.

程序框图为:

（开始）

/输入a,b/

［多维探究］

［角度一］

在解决此类问题时要注意相关题目的求解，如将本例中的等式改为不等式，问题就变为:

设计一个程序框图，求不等式ax+6>0（a,。为常数）的解集，如何求解？

解：算法如下：

第一步，输入a,b.

第二步，判断a是否大于0.若a>0,则输出'”>一2',结束算法；否则，执行第三步.

a

第三步，判断a是否等于0.若a=0,6>0.则输出“x是任意实数”，结束算法；若a=

。，后。，则输出“此不等式无解”，结束算法；若a<。，则输出"一”结束算法.

程序框图如下：

/输入a,b]

［角度二］

若将“角度一”中的不等式改为“af+灰+cY0（a>0）”，试写出算法，并画出程序框

图.

解：算法步骤如下：

第一步，输入三个系数a,b,c（其中a>0）；

第二步，计算4ac.

第三步，判断/W0是否成立.若是，则输出“不等式的解集为。”；否则，计算为=

一。皿,毕,输出“不等式解集为（击，*），，.结束算法.

LaZa

程序框图如图所示：

[开始）

/输入Q,6,C/

\

lA=b2-Aacl

（结束）

［类题通法］

1.条件结构的嵌套

所谓嵌套，是指条件结构内又套有小的分支，对条件进行二次或更多次的判断.常用于

一些分段函数的求值问题.

一般地，如果是分三段的函数，则需要引入两个判断框；如果是分四段的函数，则需要

引入三个判断框；以此类推.

2.条件结构的应用

凡必须先根据条件作出判断再决定进行哪一个步骤的问题，如分段函数问题，在画程序

框图时，必须引入一个判断框，应用条件结构.

101回屈自主演练，百炼方成钢

［随堂即时演练］

1.如图是算法流程图的一部分，其算法的逻辑结构是（）

A.顺序结构B.条件结构

C.判断结构D.以上都不对

解析：选B此逻辑结构是条件结构.

2.给出以下四个问题：

①输入一个数x,输出它的相反数；

②求面积为6的正方形的周长；

③求三个数a,b,c中的最大数；

［x—\x20,

④求函数/'（x）={,cc的函数值.

lx+2x<0

其中不需要用条件结构来描述其算法的有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析：选B语句①不需要对x进行判断，所以不需要用条件结构来描述算法；语句②不

需要进行判断，不需要使用条件语句；语句③要比较两个数的大小，需要用到条件结构；语

句④为分段函数，需要判断x的范围，所以需要用到条件结构来描述算法.

3.如图所示的程序框图，输入x=2,则输出的结果是.

的函数值，根据%=2

可知y=yj2+2=2.

答案：2

logzxx22

4.已知函数夕=如图所示的是给定x的值，求其对应的函数值y的

2—x水2

程序框图.

/输入4/

①处应填写

②处应填写

解析：由框图可知只要满足①中的条件则对应的函数解析式为y=2-x,故此处应填写

K2,则②处应填写y=log2*

答案：K2?y=log2X

5.如下图，给出了一个算法的流程图，根据该流程图，回答下列问题:

/输出m/

(D若输入的四个数为3,4,7,18,则最后输出结果是—

(2)该算法流程图是为什么问题而设计的？

解：⑴18

(2)为求a,b,c,d四个数中的最大数并进行输出而设计的.

［课时达标检测］

一、选择题

1.下列关于条件结构的说法正确的是()

A.条件结构的程序框图中有两个入口和一个出口

B.无论条件结构中的条件是否满足，都只能执行两条路径之一

C.条件结构中的两条路径可以同时执行

D.对于一个算法来说，判断框中的条件是唯一的

答案：B

2.如图所示框图，当小=6,生=9,0=8.5时，照等于()

/输加/

A.7B.8

C.10D.11

答案：B

3.下面的程序框图，若输入a,b,c分别是21,32,75,则输出的值是()

入a,6,c/

|m=a+6||m=6+c|

1—1

/输？m]

金)

A.96B.53

C.107D.128

答案：B

4.程序框图如图所示，若输出的尸0,那么输入x的值为()

/输个X/

——

否是否

[7^11A1

/输Fy/

A.-3,0B.-3,-5

C.0,-5D.-3,0,-5

答案：A

5.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数，则可以输出的函数是()

/输入函:数/(»/

<^W+/X-^)=0?>5

/输出函:数/G)/

A.f{x)=x

B.f{x)=~

X

C.f{x}=lnx+2x—6

D.f{x}=x+x

答案：D

二、填空题

6.如图是求实数x的绝对值的算法程序框图，则判断框①中可填.

(开始】

/输个z/

/输ki.〃输

~I

解析：因为满足条件直接输出X,否则输出一X,

条件应该是x'O?或*>0?

答案：X》0?或A>0?

7.如图是某种算法的程序框图，当输出的y的值大于2时，则输入的x的取值范围为

解析：由题知，此算法的程序框图是求分段函数/■(4)=<r的值.

[y/xx>0

若f(x)>2,

①当W0时，令3一/一1>2,

即3r>3,

所以一x>1,得x<—1；

②当x>0时，令,>2,得x>4.

综上所述，x的取值范围为(—8,—1)U(4,+°°).

答案：(-8,—1)U(4,+°°)

8.如图所示的程序框图，如果输入三个实数a,8,。，要求输出这三个数中最大的数,

那么在空白的判断框中，应该填入.

/输入；,b,c/

解析：由框图知将a,b,c中较大的用x表示，先令*=a,再比较x与6的大小.若。

>x,则令x=6,否则判断x与c的大小；若x>c,则令x=c,输出x,否则直接输出X.

答案：c>x?

三、解答题

9.如图所示的程序框图，其作用是：输入x的值，输出相应的y值.若要使