高中数学必修1～3

高中数学（必修①〜②）

第一讲集合

1、什么叫集合？

由一些元素（一般地，我们把研究对象统称为元素）组成的总体（全体）叫

集合或叫集.

2、集合的表示：

一个集合常用大写拉丁字母如A、B、C.....表示，集合中的元素常用小写拉

丁字母如T、b、c...表示.

3、元素与集合的关系：属于w或不属于定的关系.

如果。是集合A中的元素，就说a属于A,记作a£A;如果a不是集合A中的

元素，就说a不属于A,记作a史A.

常用的数集及其表示法：

实数集记作R有理数集记作Q整数集记作Z

非负整数（自然数）集记作N正整数集记作N*或N+.

4、集合的描述方法

（1）自由语言描述：如：到一个定点的距离等于定长的点的集合（圆）；不等式x-7

<3的解的集合；全体整数；金星汽车厂2012年生产的所有汽车；中国的直辖市;

1-20以内的所有素数；到一条线段两个端点距离相等的点的集合（线段的垂直平

分线）；等等.

（2）列举法：把集合中的元素一一列举出来,元素之间用逗号分开，并用

花括号“（）”括起来表示集合的方法叫列举法.

如：设小于10的所有自然数组成的集合为A,则

A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9）.

设X平方=X的所有实数根组成的集合为B,则

B={0,1}.

（3）描述法：当某个集合中的元素列举不完时,我们可以用这个集合中元素所具

有的共同特征来描述.如:x-7<3的解集是列举不完的，那么，可如下表示：

D={x€R|x<10）.

又如：所有奇数的集合，元素是列举不完的，那么，可表示为：E={x€Z|

x=2K+l,k6Z}.

描述法，也可以说成是，用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描

述法.具体方法是:在{}内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围,再

画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

再如：犬-2=0的所有实数根组成的集合.

用自由语言表示：方程/-2-2=0的所有实数根组成的集合.

用描述法表示：A={x€R|x2-2=0}.

用列举法表示：A={42,-V2}.

为简便起见，可以把竖号前面表示元素取值范围的部分省略，如：D={€

R|x<10}也可表示为：D=[xIx<10}

集合E={x£Z|x=2K+l,k£Z}.也可表示为：E=合|x=2K+l,k£Z}.

5、集合的性质：

1、确定性：一个给定的集合，它的元素是确定的（如果元素不确定，就不

构成集合）；

2、无序性：元素的列举不分先后；

3、互异性：集合中的元素不重复.

6、集合间的基本关系：

（1）子集：如果集合A中的任意元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合

B的子集，记作AqB或B皂A（读作A含于B或B含A）

子集可理解为，两个集合除了包含关系外还有相等共两种情形在内.

（2）真子集：对于两个集合A、B,如果A是B的子集，并且存在xEB，但x《A）,

就说A是B的真子集.记作AUB或BBA.

真子集可以理解为两个集合只有包含关系，没有相等关系.

（3）集合相等：如果集合A中任意元素都是集合B中的元素，并且集合B中的

任意元素都是集合A中的元素，就说集合A与集合B相等.（即：如果AqB,注

K.BCA,就说集合人=8）.也可以说，如果构成两个集合A、B的元素一样，就说

集合A=B.

两个集合间的基本关系，除了上述用符号如A=B、AUB、A=B等表示之外,

还常常用平面上封闭曲线的内部（即Venn图）表示。

（4）空集：不含任何元素的集合叫空集，用0表示.

并规定，空集是任何集合的子集.0=0,0cA.

⑸推论1：任何一集合是它本身的子集.AoA

推论2：如果A=B,BcC,则A=C.

7、集合的运算

①并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为

集合A与集合B的并集,记作AUB,读作A并B.

AUB={xIx£A,或x£B}

②交集：一般地，由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合称

为集合A与集合B的交集，记作AC1B,读作A交B.

AAB={|x6A,且x£B}

③补集：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集

合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作g,A

即：CVA=（xI6R,且x6A}

（一般地，如果一个集合含有我们所要研究问题涉及的所有元素，就称这个集合

为全集，通常记作U）.

设全集U={xlx是三角形},A=lx是锐角三角形}

B={xlx是钝角三角形},则有：

AUB={xlx是锐角三角形或钝角三角形}

Cv（AUB）={xlx是直角三角形}

并集、交集和补集，可以用以下二种方法图示

一种是在数轴上表示

另一种是画Venn图（平面封闭曲线图）表示.

8、有限集合元素的个数计算：

有限集合（也称有限集）：含有限个元素的集合称为有限集合.有限集合中

元素的个数用Card（基数）来表示.

如：A={a,b,c},则Card(A)=3

有限集合元素的个数在实际中的应用：

求两个集合并集的元素的个数

Card(AUB)=Card(A)+Card(B)Card(AOB)

求三个集合并集的元素的个数

Card(AUBUC)=

Card(A)+Card(B)+Card(A)Card(AflB)Card(APC)-Card(BPC)-

Card(AnBnC)

小结：

1.一个集合中的元素是确定的、互异的、无序的

2.两个集合间的基本关系：包含、相等

3.两个集合之间的基本运算：并、交、补

练习题：

一、填空题

1.用符号'七”或“史”填空

(1)0N,V5N,V16N

(2)一;。，%Q,eCRQ(e是个无理数)

(3)业-百+V2+V3_______|x|x-a+y[6h,aGQ,be

2.若集合A={x|xW6,xeN},B={x|x是非质数},C=A[']B,

则C的非空子集的个数为

3.若集合A={x[3Wx<7},8={xI2<x<10},则AUB=

4.设集合4={目一3〈》《2},8=*|2%-14》42%+1},且426,

则实数攵的取值范围是

5.已知A={y|y=—》2+2x-l},6={y|y=2x+1},PldA^\B-

二、解答题

1.已知集合4=1%€^^《一CN},试用列举法表示集合A

2.已知A={x|-2«x<5},B={x\m+\<x<2m-1},求〃？的取值范围

3.已知集合4={〃2,。+1,一3},8={〃—3,2〃—1,〃2+1},若408={-3},

求实数。的值

4.设全集U=R,M={加|方程机1-工-1=0有实数根},

N={w|方程/一x+〃=0有实数根}，求(CQ.M)C|N.

参考答案

一、填空题

1.(1)e,g,e;(2)e,g,e,(3)e0是自然数，、石是无理数，不是自然数，716=4；

(V2-V3+也+后=a亚17?+也+百=Jd,当。=01=1时指在集合中

2.15A={0,1,2,3,4,5,6},C={0,1,4,6},非空子集有24-1=15或者

C：+C：+C：+C：=15,如果要求的不是非空子集，那么还要加上空集。在内共16

3.{x|2<x<10}，显然AUB={x[2<x<10}

4.{左|-14人W；}2Jt-l>-3

则《得-14%J

2k+l<22

5.1yIy<0}y=-尤2+2x-l=-（》一1）2W0,A-R

二、解答题

1.解：由题意可知6-x是8的正约数，当6—x=l,x=5；当6—x=2,x=4；

当6—x=4,x=2；当6-x=8,x=-2；而x20,二x=2,4,5,即A={2,4,5}；

2.解：当机+1>2机-1,即〃？<2时，8=。,满足B=A,即m<2；

当机+1=2“一1,即机=2时，B={3},满足B=即机=2；

机+12—2

当机+1<2m—1即机>2时，由8uA,得《即2〈机<3：

-2/n-l<5

：.m<3

3.解：'：A\B={-3},-3eB,而/+1k一3,

.•.当a-3=-3,a=0,A={0,L-3},B={-3,-l,l},

这样AIB={_3,1}与AIB={—3}矛盾；

当24-1=一3,。=一1,符合41B={—3}

:.。=-1

4.解：当机=0时，x=-l,BPOGM；

当初=0时，△=1+4〃？20,即M2—;，月w0

**•加之一z,/•C(jM—(机|tn<-Wj

而对于N,△=1-4〃20,即〃《；，N=[〃|〃4；]

cuMIN={xV-；)

第二讲：函数

一、函数与映射的涵义：

初中数学提示我们，如果变量y随变量x的变化而变化，并且，变量x每取

一个值，变量y都有唯一的一个值与之对应，那么，就称变量y是变量x的函数。

可见，在生产生活和社会实践中，函数描述的是变量之间的一种依赖关系。

高中数学从集合的定义(一些元素的总体叫集合)和对应关系出发描述函数,

显然，变量x和变量y是两个数集，变量x和变量y之间的关系成为两个数集之间

的关系，描述为：对于数集4中的每一个元素x,按照某种对应关系/,在数集8

中都有唯一确定的y和它对应，记作:A->8.

设4,8为两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系/,使对于集合

A中任意一个数x,在集合8中都有唯一确定的数/(x)和它对应，那么就称了:

AB为从集合A到集合8的一个函数。记作y=/(x),x&A.其中，x叫

做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值,

函数值的集合{/(x)|xeA}叫做函数的值域，值域是集合8的子集。可以理解为y

=/(x)cB,函数的实质就是“两个数集间的一种确定的对应关系”

比如：二次函数y=ax2+bx+c(aH0)的定义域是R,值域是B.当a>0

qc।4ac-b2}w,nqcf।4ac-b2

时，B=<y|y>----------卜；当a<0时，B=1y|y«----------->,

4a4a

(U\2(A—h2y

(因为：y-ax2+bx+c=>a\x---=>-----n-r----，对于R中的任意一

I2a)I4〃J

个数x,在B中都有唯一的数）=ax2+bx+c（awO）和它对应。）函数符号为

y=/CO-

二、函数的定义域：通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式，没有明

确定义域，那么，函数的定义域就是使式子有意义的实数的集合。

三、函数的构成要素：定义域、对应关系（函数关系）和值域。

如果两个函数定义域相同,且对应关系完全一致,这两个函数相等.

四、函数的表示法：解析法、图象法、列表法三种。

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.

图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.（注意：函数图象可

以是连续曲线或直线、折线、离散点等）

列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.

对于一个个具体的问题，我们要学会选择适当的方法表示问题中的函数关系。如:

出租车的计费、个人所得税纳税额等等，其费用与里程、纳税额与个人所得收入

的对应关系，可以用分段函数来表示.

五、函数区间：

定义名称符号

[x\a<x<b\闭区间[a,b]

[x\a<x<b}开区间，b)

{x\a<x<b]半开半闭区间la,h)

[x\a<x<h]半开半闭区间(a,b]

六、映射：（映射，实际上是一种—对应关系）

设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系/,使对于集合A中

的任意一个元素X,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应了:

为从集合A到集合8的一个映射。如：设集合A为某场电影票上的号码

（A=｛x|x是某场电影票上的号码｝）,集合8是某电影院的座位号

（｛x|x是某电影院的座位号｝）,对应关系/：电影票号码对应于电影院的座位号,

那么该对应了:4-8是一个映射。

映射，实际上是一种---对应关系，如：

数轴上的点对应实数(A={P|P是数轴上的点}-8=R)

平面直角坐标系中的点对应集合B={(x,y)|xee/?}

(尸={尸|尸是平面直角坐标系中的点})T■集合{(x,y)|xeR,yeR})

每一个三角形对应它的内切圆(A={x|x是三角形}->B={x|x是圆})

4.如果从集合A到集合8不是一一对应关系，就不是映射，如：新华中学的班级,

与新华中学的学生两个集合之间，由于不是一一对应关系/(一个班级对应的学

生不止一个)，所以从班级一学生这种对应关系/不是映射。反之，如果是学生一

班级(每个学生都有唯一确定的一个班级与之对应)，那么，就是一一对应关系f,

是映射。同样的道理，圆与圆内接三角形两个集合，由于圆f圆内接三角形不是

一一对应关系了,所以从圆->圆内接三角形这个对应关系,不是映射。

7.函数的基本性质

(1)函数单调性与最大(小)值

函数是描述事物运动变化规律的数学模型.

①增(减)函数:一般地，如果对于定义域/内某个区间D上的任意两个自变量玉,々，

当/<X2时，都有那么就说函数y=/(x)在区间D上是增函数；

反之，如果当王<X2时，都有/(xj〉/(x2),就说函数y=/(x)在区间D上是减

函数.

②函数的单调区间：如果函数y=/(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函

数y=/(x)在这一区间具有单调性，区间D叫做函数y=/(x)的单调区间.

③函数的最大(小)值：如果函数y=/(x)在其定义域内/内存在某个不(或者说

x0e/),使得/(x0)=M,并且对于任意自变量x(或者说xe/)，都有/(x)WM,

我们称M是函数y=/(x)的最大值；反之，如果都有我们就称M是

函数y=/(x)的最小值.

④求函数的最大(小)值

首先，判断函数在其定义域内的增减性，其次，才能推证函数有无最大或最小值.

★最大用max表示，最小用min表示.一般地，研究函数性质的常用方法是先猜

想，再证明.

⑤函数奇偶性

偶函数：一般地，如果对于函数y=/(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),

那么函数y=/(x)就叫偶函数.偶函数图象关于y轴对称.

奇函数：一般地，如果对于函数y=f(x)的定义域内任意一个x,都有

/(_x)=_/(x),那么函数>=/(x)就叫奇函数.奇函数图象关于坐标原点对称.

习题：

1.已知函数/*)是定义在R上的奇函数，当x20时，f(x)=x(l+x),画出函数/(x)的图

象.

解法1:设xeR,且x>0,1•函数/(x)是定义在A上的奇函数

・•・当-X<0时，函数在x左半轴的图象与函数在右半轴的图象关于原点对称，

设此时函数解析式为/(-X),则

-1•/(-x)+/(x)=0

/(-X)=-f(x)=-x(l+x)=~x-x2=(-X)-(-x)2)

(x)在x<0时，其解析式为：f(x)=x-x2=-x2+x

x(l+x)(x?0)

"x)=2

-x~+x(x<0)

解法2：设xeR,且x<0,此时，函数/(x)在x轴负半轴的图象解析式为/(x),••・-X叁0,

并且当x>0时，/(x)=x(l+x),/(-x)=-x(l-x)=-x+x2

又,•,函数/(x)是定义在R上的奇函数

/(-x)=-/(x)•••/(x)=_/(_x)=-(-X+X2)=x-x2

x(\+0)

•・・/(x)=4，''做这类题目，一般是设所要求的部分，再利用函数奇偶性倒推,

-x2+x(x<0)

即可求得)

2.经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时

间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)=80-2t(件)，价格近似满足于f(t)=

15+-r(0<t<10)

2

/(x)=<（元）.

25-1r(10<t<20)

（I）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0S£20）的函数表达式;

（ID求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.

15+|r(80-r)(0<t<10)

解：（I）由已知，由价格乘以销售量可得销售额:

25-1f(80-r)(10<t<20)

_+30)(40-r),OSt<101_J-r2+10/+1200,(0^t<10)'

[(50T)(40-r),10<z<20j[t2-90r+2000,(10<t<20)

(n)由(I)知①当04t410时产-t2+10t+1200=-(t-5)2+1225

函数图象开口向下，对称轴为t=5,该函数在t£[0,5]递增，在t£(5,10]递减

••.ymax=1225(当t=5时取得),ymin=1200(当t=0或10时取得)

②当10<t420时y=t2-90t+2000=(t-45)2-25

图象开口向上，对称轴为t=45,该函数在在t£(10,20]递减，t=10时，y=1200,ymin=600(当

t=20时取得)

由①②知ymax=1225(当t=5时取得),ymin=600(当t=20时取得)

由①②知ymax=1225(当t=5时取得),ymin=600(当t=20时取得)

第三讲基本初等函数（指数函数、对数函数、嘉函数）

1.指数函数（细胞的分裂、人口的增长、生物体体内碳14的衰减（每经过5730

年衰减为原来的一半）等可以用指数函数表示）

（1）/?次方根？如果x"=a（〃>1,且〃£N*）则有：

当〃为偶数时，a为正数,〃的〃次方根有两个：x=±y/a

„当货在加！.J正数。的〃次方根是一个正数：了=标［厂

x"=。=><当〃为奇数时乂

［负数a的〃次方根是一个负数：%=标）

负数没有偶次方根

0的任何次方根都是0,记作而=0

布叫做根式，〃叫做根指数，a叫做被开方数，（折）"=a

当〃奇数时,〃7=a

・当〃为偶数时，防同】(这里不是两种结果，"

-a,a<0

.而是一种结果(当〃为偶数时，折为一个非负实数).

★要注意(标厂与叱的区别.

正数的正分数、负分数指数寡与正数的正整数、负整数指数嘉的意义相仿.

0的正分数指数嘉等于0,0的负分数指数嘉没有意义.

有理数指数霹：对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质：

(1)优优=a』(a>O,r,se0)

(2)(ar)'=ars(a>O,r,5eg)(3)(ah)'=arar(a>O,h>O,r,seQ)

无理数指数赛：废(。>0,£无理数)是一个确定的实数，有理数指数累的运算性质

同样适用于无理数指数罪.

指数函数：函数y=a"叫做指数函数，其中x是自变量，定义域为R.

指数函数的性质：

(1)当0<a<1时，>=能图象在R上是减函数，且过定点(0,1)即当x=O,y=l,

定义域为((-00,+00)),值域为(0,+00)

(2)当a〉1时，y=a'图象在R上是增函数，且过定点(0,1)即当x=0,y=l定

义域为((-00,+00)),值域为(0,+00)

★(3)两个底为互为倒数的指数函数图象关于y轴对称，如y=2'与)'=(；)”的图象

关于),轴对称.

银行复利储蓄类似指数增长模型：设原有量为N,每次的增长率为P,经过x次增长后，该

量增长到y,则丁=^^1+/>)'(》€/\0,形如y=ka'(keR,且％=0；。〉0且(复

利储蓄：把前一期的本利加起来做为下一期的本，再计算下一期的利息)

所谓“半衰期”：是指物质的量衰减为原来的一半(!)所经过的时间.如死亡生物组织中碳

2

14(C14)每经过5730年衰减为原来的一半，即5730年为碳14的半衰期.

练习比较下列每对数的大小：

1.725,1.73

0.8一°,，0.8«2

1.703,0.931

解：；y=1.7,在R上是增函数，A1.72-5<1.73

：y=08在R上是减函数，0.8"」<O.8-02

V1.703>1.7°=1,0.931<0.9°=1/.1.70-3>0.9".

2.对数函数（地震震级的变化规律、溶液产”的变化规律等可以用对数函数表示）

对数：一般地，如果优=N（a>0,且。工1）,那么数x叫做以a为底N的对数

（log）,记作x=log“N,其中。叫做对数的底数，N叫做真数（实际上是指数函

数值）.

log«N:以任一正数a（a>0,且aW1）为底的对数

IgN（常用对数）：以10为底的对数叫做常用对数，

•记作：log10N=1gN•

InN（自然对数）:以无理数e=2.71828...为底数的对数

记作：log,N=lnN

★对数与指数之间的关系：当>0,且awl时，a，=No（等价于）x=log.N.

负数和0没有对数

bg“1=0

log”a=1

In10=2.303（e2303=10）

对数运算性质：

如果a〉0且M>0,N>0,（「M,N均为指数函数y=4的y值，

而y无论0<a<1还是a>1都为正值）那么，

（1）l0g°（M.N）=log.M+log。N

M

（2）/0g“二=log0,"TogaN

(3)log.M"=〃log"M(〃wR)

⑸"仔黑"KE

,H

(6)log,"=log.

例题：噫.=1*4…孤

c,1.1,

=2Iogax+-loguy--logrtz

•设地震震级为M,A为被测地震的最大振幅，A。为“标准地震”的振幅，则里

AA

氏震级A/=1gA—1g=1g—或者说，—=10w(7.6级地震振幅是5级地震振幅的

AA)

398倍!)

恩桥斯曾把对数的发明、解析儿何的创始和微积分的建立并称为17世纪数学的三

大成就.

对数函数：一般地，函数y=log〃x(a>0,且awl)叫做对数函数，其中x叫做自变

量，★定义域为(0,+oo)(；由a*=yologrty-x,显然，指数函数a*=y中y的值域

(y>0)就是对数函数log.y=x中x的定义域(0,+oo)

对数函数y=log“x(a>0,a*1)的图象和性质

1.y=log“x(a>1)的图象

(1)过定点(1,0)即x=l,>>=0

(2)在(0,+oo)上是增函数

(3)定义域(0,+oo),值域为A

2.y=log〃x(0<a<l)的图象

(1)过定点(1,0)即x=l,y=0

(2)在(0,+s)上是减函数

(3)定义域(0,+oo),值域为R

★互为反函数的两个函数图象关于y=x对称.如y=a*与y=log“x的图象关于直

线y=x对称.

例题：溶液酸碱度是通过PH刻画的.P”=Tg［/T］（［"+］表示溶液中氢离

子的浓度，单位是摩尔/升）

由此，可知，溶液中［4+］浓度越大，P"越小，溶液的酸性越强，反之，溶液

中［"+］浓度越小，P"越大，溶液的碱性越强.

纯净水中［〃+］=10'摩尔/升，PH=7

3.嘉函数（正方体的体积与边长间的关系、理想状态下气体的压强与体积的关系

可以用嘉函数表示）

嘉函数：形如y=（a为常数，awR）的函数叫做嘉函数.

嘉函数的共同特征：图象都过点（1,1）.

嘉函数的奇偶性和单调增减性质由寡函数的a的取值决定.

本章小结：

1.整数指数是、有理数指数是、无理数指数累的运算性质相同.即：实数指数募运

算性质相同.

2.指数函数的定义、图象与性质

3.对数的定义及其运算性质（对数出现早于指数，对数与指数存在互逆关系）

4.对数函数的定义、图象与性质

5.指数函数与对数函数的关系6,函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同

的变化规律需有不同的函数模型描述.

6.研究函数时，要充分重视函数图象的作用

练习题

一、选择题

1、下列函数中，在区间（0,+8）不是增函数的是（）

A.y=2XB.y=lgxC.y=x3D.y=—

x

2、函数y=log2x+3（x>l）的值域是（）

A.[2,+oo)B.(3,+00)C.[3,+00)D.(—00,+00)

3、若〃={y|y=2*},P={y[y=J^T},则MAP()

A.{y|y>l}B.{y\y>l}C.{y|y>0}D.{y|y>0}

4、对数式b=log加2(5-。)中，实数a的取值范围是()

A.a>5,或a<2B.2<a<5

C.2<a<3,或3<a<5D.3<a<4

5、已知/（x）=a-*（a>0且awl）,且/（-2）>/（—3）,则。的取值范围是（）

A.a>0B.a>1C.a<\D.0<a<1

6、函数y=(a?T尸在(-8,+8)上是减函数，则a的取值范围是()

A.IaI>1B.IaI>2C.a>后D.1<|aI<41

6、函数y=Jog］（>2—1）的定义域为()

A、[—V2,—1)U(1,5/2]B、(-V2,-1)U(1,V2)

C>[-2,-1)U(1,2]D、(-2,-l)U(l,2)

8、值域是（0,+°°）的函数是（)

A、y=52~xC、y=Jl-2'D、

B、-r

9、函数〃x）=|log的单调递增区间是

2

A、B、(0,1]C、(0,+8)D、[l,+oo)

10、图中曲线分别表示），=l°g〃光，

y=\oghx9y=\ogcx9y=的图

a,b,3d的关系是（）

A、0<a<b<l<d<c

B、0<b<a<l<c<d

C、0<d<c<l<a<b

D、0<c<d<l<a<b

11>函数f(x)=log5(5-4x-x2)的单调减区间为()

A.(一8,-2)B.[一2,+°°]C,(一5,-2)D.[-2,1]

,r

12、a=log0.50.6,b=logv20.5,c=log百石，贝lj()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

13、已知y=log“(2-奴)在[0,1］上是x的减函数，则a的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.[2,+oo]

14、设函数/(x)=/d)lgx+l,则f(10)值为()

X

A.1B.-lC.10D.—

10

二、填空题

15、函数y=Jlog.x-l)的定义域为.

16、.函数y=2i"的值域为

112

17、将(%)°,log^Jog。，由小到大排顺序：

18.设函数小)｛；益;。则“1%3)=-------------

19、计算机的成本不断降低，如果每隔5年计算机的价格降低工，现在价格为8100

3

元的计算机，15年后的价格可降为

20、函数)，=log„》在［2,+8)上恒有|y|>l,则a的取值范围是。

21、已知函数f(x)=(l°gj-log,%+5,X《［2,4］,则当x=,f(x)有最

44

大值;当*=时，f(x)有最小值

三、解答题:

22、点(2,1)与(1,2)在函数/(x)=23〃的图象上，求〃x)的解析式。

］+X

23、已知函数〃x)=lg-(1)求/(x)的定义域；(2)使/(x)>0的x的

1-x

取值范围.

2

24、设/(x)=l------(1)求f(x)的值域；(2)证明f(x)为R上的增函数；

2V+1

。、—1

25、已知函数f(x)=a*+1(a>0且aWl).

(1)求f(x)的定义域和值域；

(2)讨论f(x)的单调性.

26、已知〃x)=2+log3X(xe[l,9]),求函数y="(x)f+/，)的最大值与最小值。

参考答案：

一、选择题DCCCDDABDDCBBA

二、填空题

15.{x|l<x<2}16.{y\0<y<2]17.1og21-:log05|^(|yV2

18.4819.2400元

123

2O.(-,1)U(1,2)21.4,7;2,—

三、解答题

22.解：:(2,1)在函数/卜)=23"的图象上，，l=22'+b

又二(1,2)在f(x)=2血6的图象上，.•.2=2"b

可得a=-l,b=2,/(x)=2-z

23.(1)(-1,1),(2)(0,1)

24.(1)(-1,1)(2)略

――1y+i

25.⑴易得f(x)的定义域为{x|x0}・设y=/TT,解得a'=-yT①

y+1y+\

*a>0当且仅当->-1>0时,方程幽解.解--1>0得

••f(x)的值域为{yI-l<y<lL

(优+1)-22

(2)f(x)=ax+1=i-a'+1.

1°当a〉l时，•国+1为增函数，且一+1>0.

22al

；优+1为减函数,从而f(x)=1-«'+1=ax+1为增函数.

C!'-1

2。当0〈a〈l时，类似地可得f(x)=优+1为减函数.

26.[6,13]

第四讲函数的应用

1.函数与方程

函数零点：对于函数y=/(x),使/(x)=0的实数x叫做函数y=/(x)的零点.这样

函数的零点就是方程/(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点

的横坐标.

函数y=/(x)的零点与相应的方程/(幻=o的实数根的关系

二次函数^=0%2+云+°(。/0)的图象与》轴相交的交点横坐标就是该函数函数值

^=0时相应的一元二次方程G2+云+，=0仅。0)的实数根(解)(又称函数零点)

(1)如果图象与x轴相交<=>ax2+bx+c=0(aw0)的判别式△=/-4ac》0(其中，

有两个交点u>△=〃-4ac〉0;有一个交点o△=〃-4ac=0).

⑵如果图象与x轴不相交o△=。2一4〃<0.

推广到一般情况，则有：

方程/(x)=O有实数根。函数y=/(x)的图象与x轴有交点o函数y=/(x)有零点.

由此可见，确定函数的零点，就是求方程的实数根，求方程的实数根，就是确定函数的零点.

一般地，对于不能用公式求根的方程/(x)=O来说，我们可以将它与函数y=/(x)

联系起来，利用函数性质找出零点，从而求出方程的根.

一般地，如果函数v=Ax)在区间［a力］上的图象是连续不断的一条曲线,并且有

f(a).f(b)<0,那么，函数y=Ax)在(a:)内有零点,即存在ce(a,ZO,使得/(c)=0,

这个c也就是方程/(x)=0的根.

用二分法求方程的近似解

二分法:对于在区间［a,6］上连续不断且/(a)./(b)<0的函数y=/(x),通过不断

地把函数/(x)零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得

到零点近似值(此时，零点所在区间内的任意一点可作为函数零点的近似值)的

方法叫做二分法.

给定精确度&(伊普西龙)，用二分法求函数/(x)零点近似值的步聚:

1.确定区间L,b],验证<0,给定精确度&;

2.求区间(a,b)的中点c；

3.计算/(c)；

(1)若/(c)=O,则c就是函数的零点点；

(2)若/(a)./(c)<0,则令匕=c(此时，x0G(a,c))；

(3)若/(c)./3)<0,则令a=c(此时，x0e(c,b)).

4.判断是否达到精确度&,即若,则得到零点近似值。(或匕),只要。力

满足|a-6|<£,我们就可以用a或6作为零点近似值，否则重复2~4步聚，直到满足

条件\a-b<&为止.

2.函数模型及其应用

(1)在函数定义域内，对数函数、指数函数和卷函数的增减差别

对数函数y=log“x(a〉1),指数函数y=a'(a〉1),黑函数y=x"(〃〉0)在

区间(0,+oo)上都是增函数，但这三类函数的增长是有差别的：比如：

x

(1)在区间(2,3),logox<a<x"；

n

(2)在区间(0,1),logax<x<a\

x

(3)在区间(4,+oo),lognx<x"<a.

从图象上看，>=优(a〉1)和y=x"(〃>0)的图象有两个交点，这表明它们

在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时能〉x",有时x”〉a*,但是当自

变量越来越大时，y=优呈快速增长，而>=/显得微不足道.

★在计算器或计算机中，类似1.05E+06(1.05E6)数，其中的“E”表示底数10,

6表示IO,的指数.

一般地，对于指数函数y=a*(a>1)和黑函数〉=工"(〃>0),在区间(0,+8)

上，无论〃比。大多少，尽管在x的一定变化范围内，优会小于x",但由于能的增长快于£

的增长，因此，总存在一个/，当X〉与时，就会有罐>x".

同样地，对于对数函数y=log〃x(a>1)和嘉函数y=x"(〃>0),在区间(0,+8)上,

随着x的增大，log“x增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定

变化范围内，log〃x可能会大于x",但由于log,,X增长慢于x"的增长，因此总存在一个小,

当X>X。时，就会有log”X<x".

综上所述，①在区间（0,+00）上，尽管对数函数y=log“X（a>l）,指数函数y=a*

（a>l）和幕函数丁=X"（〃>0）都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个

“档次”上，随着随着x的增大，y=ax（a>l）的增长速度越来越快，会超过并远远大于

幕函数y=x"（n>0）的增长速度，而对数函数y=logax（a>1）会越来越慢.因此，总

会存在一个当x>x（）时，就有k）g“x<x"V/.

有与上述同样的方法，可得到：

②在区间（0,+oo）上，尽管对数函数y=log“x（0<a<1）,指数函数y=a*（0<

。<1）和帮函数>=》"（〃<0）都是减函数，但它们的减少速度不同，而且不在同一个“档

次”上，随着x的增大，y=ax（0<a<l）的减少速度越来越快，会超过并远远大于幕函

数y=x"（〃<0）的减少速度，而对数函数y=log〃x（0<a<1）始终是负值.因此，总会

存在一个玉,当x>x（）时，就有log。xVa*Vx".

（2）函数模型的应用实例（体会在实际问题中建立函数模型的过程）

习题：

1:某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为0.25万元，每件产

品的售价为0.35万元.若该公司生产的产品全部销售出去，则：

（1）分别求出总成本yl（单位：万元），单位成本y（单位：万元）2,销售总收入y3（单位:

万元），总利润y4（单位：万元）与总产量x（单位：件）的函数解析式；

（2）根据所求函数的图象，对这个分司的经济效益作出简单分析.（当x=_时，公司亏损；当x=_

时，公司不赔不赚；当x=_时，公司盈利）

解：设产量为工件，则

弘=150+0.25%

j2=0.25+150/X

%=0.35%

y4=0.1X-150

由此可见,

X大于1500盈利

等于1500不赚不赔

小于1500亏损

2.某地区今年1月,2月,3月患某种传染病的人数分别为52.61.68o为了预测以后各月的的患病

人数，甲选择了模型kax八2+bx+c,乙选择了模型y=pq^x+r,其中y为患病人数，x为月份数，

a,b,c,p,q,r都是常数，实际4月、5月、6月份的患病人分别为74,78,83,你认为谁选择的模

型好.

解：若选择甲模型y=ax?+bx+c,则有：52=a+b+c,61=4a+2b+c,68=9a+3b+c,解得：a=

-1.b=12,c=41,甲模型为y=-f+12x+41,照此模型推算，可得四月份：y=73,五月份：

y=76,六月份：y=77.

7729

若选择乙模型，则有：52=pq+r,61=p^2+r,68=pq3+r解得：q=—,p=-------,r=92.5,

914

7707

则乙模型为y=-£6『+92.5,照此模型推算，可得：四月份：y=661/9«73,

五月份：y=6292/81«78,六月份：y=59029/729«81.

故应选择乙模型.

3.某人开汽车以60km/〃的速率从A地到150M"远处的B地，在B地停留1/2后，再以

50km/h的速率返回A地.把汽车与A地的距离xkm表示为时间t的函数，并画出函数图

象.

解：分段函数

60r(0<r<2.5)

x=<150(2.5<t<3.5)>

150-50(/-3.5)(3.5<t<6.5)

4.设计一个杯子，其三视图如图所示，现在向杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变化

的图象是()

正发图他视图

O

解视图

k上k

o]t

A.B.C.D.

分析：由三视图可以看出，此几何体是一个圆柱，如果往其中注水，由于其横截面始终不变,

故其水面高度应该是匀速上升的，接合函数的知识来选择正确选项即可

解：由三视图可知杯子是圆柱形的，由于圆