广东省惠州中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

惠州中学2024--2025学年高一年级第二学期3月考试数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，不得折叠.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数，对应的两点之间的距离为（）A.1 B. C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根据题意找到复数在复平面内对应的点，最后由两点间的距离公式即可求解.【详解】复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点为，则由两点间距离公式求得两点之间的距离为，故选：B.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由可得出，可求出实数的值，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】因为，，若，则，即，解得或，因为是的真子集，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.已知向量满足且在上的投影向量为则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由在上的投影向量为即可求解.【详解】由在上的投影向量为，得，所以，故选：C.4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b=ccosA，则△ABC的形状为（）.A.正三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形【答案】B【解析】【分析】由余弦定理解三角形即可.【详解】由余弦定理可得，化简得，由勾股定理的逆定理可知是以角为直角的直角三角形.故选：B.5.平行四边形ABCD中，，，，点P是边CD的一个四等分点（靠近C点），则的值是（）A. B.2C.1 D.【答案】D【解析】【分析】由向量的线性运算将都用表示，利用数量积的运算律即可得出答案.【详解】由向量的线性运算及题干条件可知，，，所以.故选：D.6.已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（）A.2 B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圆的性质，得到，将转换为，进而求出最大值.【详解】如图所示：因为为的外接圆圆心，，所以，且，所以，故当共线反向时，取到最大值.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出，再由数量积的运算律得到.7.小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（

）A.20m B.30m C.20m D.30m【答案】D【解析】【详解】根据题意，结合在中，求得,再在中，由正弦定理，求得的长，最后在直角中，结合，即可求解.【分析】由，由题意知，所以，在中，可得,在中，由正弦定理得，所以，在直角中，故选：D.8.青花瓷（blueandwhiteporcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】连接，则，利用向量数量积的运算律即可求解.【详解】连接，如图所示：则，根据图形可知，当点位于正六边形各边的中点时，有最小值为，此时，当点位于正六边形的顶点时，有最大值为2，此时，故，即的取值范围是，故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用三角函数定义结合诱导公式逐项判断即可.【详解】由三角函数定义可得，，，对于A选项，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，，D对.故选：BD.10.在中，内角所对的边分别为，若，，且，则（）A.的外接圆直径为B.C.的面积为D.的周长为【答案】ABD【解析】【分析】由条件利用正弦定理求的外接圆直径，判断A，先证明，利用二倍角公式化简，再化角为边判断B，结合B的结论，由余弦定理可求，再利用三角形面积公式求面积，判断C，求周长判断D.【详解】因为，由正弦定理可得外接圆直径，故A正确；由易得，所以等价于，所以，由正弦定理得，故B正确；由余弦定理可得，代入，解得，的面积为，故C错误，所以的周长为，D正确.故选：ABD.11.东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”．如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．对于图2．下列结论错误的是（）A.这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形B.若，则C.若，则D.若是的中点，则的面积是面积的5倍【答案】ACD【解析】【分析】对于A选项：由，即可判断A；对于B选项：在中，利用正弦定理求得，进而可判断B；对于C选项：在中，设，利用余弦定理即可求得，进而可判断C；对于D选项：利用三角形的面积公式，可得，进而可判断D．【详解】对于A，根据题意，题图2是由三个全等的针角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，故，所以这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形，故A错误；对于B，在中，，所以，而，所以，由正弦定理得，解得，又因为，所以，故选项B正确；对于C，不妨设，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，故选项C错误；对于D，若是的中点，，所以，故选项D错误．故选：ACD．【点睛】关键点点睛：关键是利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行分析，由此即可顺利得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.12.复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为_______.【答案】【解析】分析】设化简式子求得值即可.【详解】设，则，即得，故z的虚部为.故答案：13.已知点与点，点在直线上，且，则点的坐标为_______.【答案】或.【解析】【分析】根据题设有，设并应用线性关系的坐标表示列方程求点坐标.【详解】令，由点在直线上，，则，所以，则，可得，或，则，可得，所以点的坐标为或.故答案为：或.14.在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．设，，记，则__________；若，的面积为，则当__________时，取得最小值．【答案】①.##0.5②.2【解析】【分析】利用平面向量基本定理得到，得到，求出；由三角形面积公式得到，结合和平面向量数量积公式，基本不等式得到的最小值，此时，由余弦定理得到.【详解】由题意得，故，故；由三角形面积公式得，故，其中，故，当且仅当，即时，等号成立，此时，故故答案为：，2四、解答题:本题共5小题，共77分.第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.15.已知向量（1）求;（2）若向量，试用表示；（3）若求实数k的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先写出的坐标，再计算模长即可；（2）按照向量的坐标运算解方程即可；（3）先求出向量的坐标，再结合的坐标按照向量共线解方程即可.【小问1详解】因为，，所以，所以.【小问2详解】由题可知与不共线，故设()，即，所以，解得，．因此.【小问3详解】由题意得．因为，所以，解得.16.记内角的对边分别为，已知，（1）求；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出角，进而求出.（2）利用和角的正弦及正弦定理、三角形面积公式计算得解.【小问1详解】在中，由及余弦定理，得，解得，而，则，由，得，又，所以.【小问2详解】由（1），得，由正弦定理得，所以的面积为17.已知，，其中，，设函数，且，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为.（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上单调递减，求实数的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量的数量积运算得到，根据，求得，再由函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，求得即可；（2）由，得到，再根据函数在区间上单调递减，由求解.【小问1详解】因为向量，，所以，因为，所以，因为，所以，又函数图象的两条相邻对称轴间的距离为.所以，则，所以；【小问2详解】因为，所以，又因为函数在区间上单调递减，所以，则，解得，所以实数的最大值.18.在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，由三角函数的诱导公式与和角公式，结合三角形的几何性质，可得答案；（2）由三角函数的差角公式与辅助角公式，整理可得正弦型函数，根据正弦函数的性质，可得答案.【小问1详解】因为，所以．因为，所以，所以，即．因为，所以，所以，即．因为，所以．【小问2详解】因为，所以，所以，则．因为是锐角三角形，所以解得，所以，所以，则，即的取值范围是．19.设为坐标原点，定义非零向量的“友函数”为，向量称为函数的“友向量”.（1）记的“友函数”为，求函数的单调递增区间；（2）设，其中，求的“友向量”模长的最大值；（3）已知点满足，向量的“友函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根