广东省佛山市南海外国语高级中学2024-2025学年高一下学期一检考试（3月） 数学试题（含解析）

南海外国语高级中学2024-2025学年第二学期一检考试高一年级数学科试题（全卷150分，考试时间120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，的夹角为，且，，则（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】由数量积公式直接得答案.【详解】因为向量，的夹角为，且，，则.故选：A2.下列选项中，值为的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】结合选项逐一求解结果可得答案.【详解】对于A，，不正确；对于B，，不正确；对于C，，正确对于D，，不正确.故选：C3.在平行四边形中，对角线，给出以下结论：①；②；③；④其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的加减法法则，可逐一判断结论.【详解】由题意，，故①正确；，故②正确；,故③正确；，故④错误.所以正确结论的个数是3.故选：C.4.在菱形中，，对角线，给出以下结论：①与是平行向量；②与是共线向量；③④其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据平行向量（共线向量）的定义即可判断.【详解】对于①，因为和在同一条直线上，根据平行向量的定义，平行向量又称共线向量，方向相同或相反，正确；对于②，因为四边形是菱形，所以，根据平行向量的定义，平行向量又称共线向量，方向相同或相反，正确；对于③，在菱形中，对角线，所以为等边三角形，则,所以，正确；对于④，不平行，所以与不共线，错误.故选：C.5.中，角，，的对边长分别为，，.若，，，则（）A.10 B.5 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】先应用两角和差正弦结合诱导公式求解，再应用正弦定理求解.【详解】因为，，，所以，则，由正弦定理得，所以故选：B.6.在中，设，，若，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的减法结合已知等式计算求解.【详解】在中，设，，因为，，所以，即得，即则.故选：B.7.设内角，，的对边分别为，，.已知，，，则的面积是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正弦定理，可化为，将其代入由余弦定理列出的，结合题中所给，，可求出，.由求得，最终可求出.【详解】，则由正弦定理得，又，，由余弦定理得，，，，由得，.故选：A.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中档题.8.将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.再将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用伸缩变换和平移变换即可求得.【详解】函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到，再向右平移个单位长度，得到.故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，下列判断正确的是（）A.函数的最小正周期为； B.函数的图象关于点对称：C.函数的最大值为2； D.函数的图象关于直线对称.【答案】ABD【解析】【分析】先将函数化简，再根据余弦函数的周期性，对称性和最值逐一判断即可.【详解】，对于A，函数的最小正周期为，故A正确；对于B，因，所以函数的图象关于点对称，故B正确；对于C，函数的最大值为，故C错误；对于D，因为，所以函数的图象关于直线对称，故D正确.故选：ABD.10.若，则的一个可能的值是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用辅助角公式化简可得,进而计算可得,根据选项可得结果.【详解】因为，且，所以,解得：,.所以的一个可能的值是,.故选：AB11.已知函数的部分图象如图所示，其图象最高点和最低点的横坐标分别为和，且，则下列判断正确的是（）A.函数的最小正周期为； B.C.函数的最大值为2； D.为偶函数【答案】BC【解析】【分析】根据给定条件，结合五点法作图求出函数的解析式，再逐项判断.【详解】依题意，函数的最小正周期，解得，，又，则，，解得，函数，对于A，函数的最小正周期为，A错误；对于B，，B正确；对于C，函数的最大值为2，C正确；对于D，是奇函数，D错误.故选：BC三、填空题：共3小题，每小题5分，第14题第一空2分，第二空3分，共15分.12.已知函数，则______【答案】【解析】【分析】利用函数的周期为求解.【详解】因为函数的周期为，且，所以，.故答案为：13.点是半径的圆周上的点它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点的纵坐标关于时间的函数关系式为：______【答案】，.【解析】【分析】设点P的纵坐标关于时间（单位：）的函数关系式为，求出的值，时，射线可视角的终边，结合三角函数的定义可得出函数解析式.【详解】设点P的纵坐标关于时间（单位：）的函数关系式为，由题意可得，，时，射线可视角的终边，则,.故答案：，.14.已知向量，满足：，，，则______；向量与的夹角为：______【答案】①.2②.＃＃【解析】【分析】先结合，，求出，再由即可求得第一问，由向量的数量积公式即可直接求得第二问.【详解】因为，所以，又因为，，所以，；由向量的数量积公式得：，由于向量夹角的范围为，所以与的夹角为，故答案为：2，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在长方形网格中，向量，满足：，，向量，.（1）在图中，以为起点作向量，并求；（2）若与共线，求实数的值；（3）若与垂直，求实数的值.【答案】（1）作图见解析，；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用平行四边形法则作出作向量，再由求解；（2）根据与共线，利用共线向量定理求解；（3）根据与垂直，由求解.【小问1详解】如图所示：；【小问2详解】因为，，且与共线，所以，解得；【小问3详解】因为，，且与垂直，所以，，，解得.16.中，角，，的对边长分别为，，.已知，.（1）求的外接圆半径；（2）若，求的值；（3）求的值.【答案】（1）；（2）；（3）7【解析】【分析】（1）利用正弦定理求解；（2）利用正弦定理求解.（3）由三角函数的定义求解.【小问1详解】因为，，所以的外接圆半径为：；【小问2详解】由（2）得；【小问3详解】如图所示：作BC边上的高AD，则，所以.17.已知函数.（1）若，求的对称轴方程；（2）若的最大值为，且，求的值；（3）若是的对称中心，求的取值集合.【答案】（1），（2）或（3）【解析】【分析】（1）应用两角差的正弦公式化简，再结合辅助角公式化简得出正弦函数对称轴求解；（2）应用两角和正弦公式结合不等式关系计算求解；（3）根据对称中心定义结合两角和差正弦余弦计算得出，再结合正弦函数的性质求解.【小问1详解】，，由，，得的对称轴方程为：，.【小问2详解】因为，所以，所以令，得，即，或【小问3详解】由是的对称中心得：，，即或，，即或，故的取值集合为18.中，角，，的对边长分别为，，.且.（1）求；（2）若，的面积为，求的值；（3）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）8（3）【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式求得，可求角；（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式、余弦定理求出即可作答．（3）运用正弦定理和两角和差化积公式，以及余弦函数性质，即可得到所求范围；【小问1详解】由正弦定理：，，代入化简得：将代入上式化简得：，，.即，，由，得，即.【小问2详解】，则，，即，由余弦定理：，故，将代入得：，；【小问3详解】若，由正弦定理：，，同理，，又，又，，，故，即的取值范围是.19.已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量（单位：）关于时间（单位：）的关系均近似地满足函数.其图象如图所示：（1）根据图象求函数解析式；（2）若甲车间先投产，1h后乙车间再投产，求两车间同时投产时的最大污水排放量；（3）受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求两车间任意时刻的污水排放量之和不超过，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？【答案】（1）（2）m3（3）推迟2小时【解析】【分析】（1）利用图象可得，再将点代入即可求；（2）构造时刻的污水排放量，利用两角和差的余弦公式以及辅助角公式化简即可；（3）设乙车间比甲车间推迟小时投产，再构造时刻的污水排放量，化简解不等式即可.【小问1详解】由图可得，，，，将代入，得，又