福建省莆田市莆田第三中学2024-2025学年高一下学期3月份月考 数学试题（含解析）

莆田三中2024-2025学年下学期高一数学3月份月考试卷（教师版）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.化简：（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】应用向量加减法则化简即可得答案.【详解】.故选：C2.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则（）A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理即可得出答案.【详解】由余弦定理可得，则.故选：B.3.已知，则（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】应用二倍角余弦公式计算即可.【详解】因为，则.故选：B.4.在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，其始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据角终边上的点坐标，求得，代入二倍角公式即可求得的值.【详解】由定义知sinα=，，所以，故选：B.【点睛】该题考查的是有关三角恒等变换的问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，正弦二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于基础题目..5.已知向量，，，若，则（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】【分析】根据向量共线的充要条件得解即可.【详解】因为，，所以，因，所以，解得，故选：B6.在中，若，则的形状为（）A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】首先根据正弦定理，将边化为角，再结合二倍角的正弦公式，以及角的关系，即可判断.【详解】因为，由正弦定理可得，即，所以，可得或，所以或，所以的形状为等腰或直角三角形.故选：D．7.设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据投影向量的定义结合已知求得，再由与垂直，得，结合数量积得运算律即可得解.【详解】解：因为在方向上的投影向量为，所以，所以，因为与垂直，所以，即，解得.故选：B.8.已知在所在平面内，，E、F分别为线段、的中点，直线与相交于点G，若，则（）A.当时，取得最小值B.当时，的最小值为C.当时，的最小值为D.当时，取得最小值【答案】D【解析】【分析】首先根据已知条件得出向量之间的线性关系，再利用向量共线定理确定相关系数，接着根据向量垂直的性质得到关于向量模长和夹角余弦值的等式，最后运用基本不等式求出夹角余弦值的最小值.【详解】设，，与的夹角为，因为，所以，由于E、F分别为线段，中点，则，，因为E，G，F共线，所以存在实数，使得，又因为B，G，C共线，所以，解得，则，那么，，由于，所以，由此可得，而，当且仅当，即（，）时，等号成立，此时，取得最小值．故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题中，正确的命题有（）A.向量与向量的长度相等B.是，共线的充要条件C.若，，，则与的方向相同或者相反D.若，是两个单位向量，且，则【答案】AC【解析】【分析】根据平面向量的定义及其性质对各选项判断即可.【详解】对于A，向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量长度只与向量的大小有关，与方向无关，所以选项A正确；对于B，若，同向共线时，，，则，不相等，所以不是，共线的充要条件，故B不正确；对于C，，，，则与共线，故与的方向相同或者相反，C正确；对于D，若，是两个单位向量，且，则，则，故D错误．故选：AC.10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】通过已知条件，利用余弦定理求出角，再根据三角形面积公式求出的值，最后结合已知条件和完全平方公式求出的值.【详解】在中，因为，即，由余弦定理，又，所以，，故B错误，A正确；因为，则，所以，故C正确；因为，，，则，所以，因为，所以，故D正确．故选：ACD．11.如图所示，线段是的弦，其中，，点D为上任意一点，则以下结论正确的是（）A.B.的最大值是78C.当时，D.【答案】AD【解析】【分析】根据图形特征判断A，再应用数量积公式计算判断B，D，再根据向量垂直得出角的正弦值判断C.【详解】点D为上一动点，可知当点A，C，D三点共线的时候，的值最大是，故选A；，故选D；当时，即，此时，点D在上有两个位置，如图所示，故不止一个答案，所以，排除C选项．对于B选项，如图1所示，建立平面直角坐标系，则点D坐标设为，A点坐标是，B点坐标是，则，，，所以，当，即时，取得最大值72，因此B不正确；故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，若，则________．【答案】【解析】【分析】根据向量坐标运算求出的坐标，再利用向量垂直的性质列出方程，最后求解方程得到的值.【详解】因为，，所以，因为，所以，解得．故答案为：13.在中，，，，则的值为______【答案】【解析】【分析】由可求出,再根据余弦定理求出,即可由正弦定理求出.【详解】由可得，，解得．∴，即．由正弦定理可得，．故答案为：．【点睛】本题主要考查三角形面积公式的应用，以及正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．14.已知正方形的边长为2，E是的中点，F是线段上的点，则的最大值为________．【答案】【解析】【分析】先建系得出坐标，再应用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数值域计算求解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则，，，∴．设，则，∴，∴，∴当时，有最大值，最大值为故答案：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在直角坐标系中，已知点，，，其中．（1）若，求的值；（2）设点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用共线向量的坐标表示，列式计算得解．（2）利用数量积的坐标表示，结合辅助角公式及余弦函数性质求出最大值．【小问1详解】依题意，，，由，得，所以．【小问2详解】依题意，，点，则，，因此，当时，则，因此当，即时，取得最大值，此时当，即时，取得最小值，此时所以的取值范围是．16.已知平面向量，，，．（1）若，求x的值；（2）若，求的值．（3）若与的夹角是锐角，求x的取值范围．【答案】（1）或3；（2）或5；（3）【解析】【分析】（1）根据两向量垂直数量积为列方程求解.（2）根据两平行向量坐标之间的关系列方程求解出x，代入得到的坐标，再代入向量模的公式进行求解.（3）与的夹角是锐角，则且两向量不共线.【小问1详解】若，则，整理得，解得或．所以的值为或3．【小问2详解】（2）若，则有，即，解得或，当时，，，则，得；当时，，，则，得．所以，的值为或5．【小问3详解】（3）因与的夹角是锐角，则，即，得，又当与共线时，有，得，不合题意，则综上，的取值范围为．17.的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，．（1）求a和；（2）求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先应用余弦定理计算得出，再结合同角三角函数关系应用正弦定理求解；（2）先根据二倍角正弦及余弦公式计算求值，最后应用两角和余弦公式计算即可.【小问1详解】由余弦定理可得，由，则，由，即，代入上式整理可得，解得由，根据正弦定理，可得．【小问2详解】；18.已知函数（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）若，，求的值．【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为（2）【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型周期函数可求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的单调性可求出函数的单调递增区间；（2）由已知条件得出，结合同角三角函数的基本关系可求出的值，再利用两角和的余弦公式可求出的值.【小问1详解】因为，所以，函数的最小正周期为.由解得，所以，函数的单调递增区间为.【小问2详解】由（1）知，又因为，则，因为，则，因为，则．所以，.19.在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为．（1）已知，，求；（2）①已知，的夹角为和，的夹角为，证明：的充分必要条件是；②在中，，，且，若，求．【答案】（1）（2）①证明见解析；