福建省福州市某校2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

福州延安中学24-25学年第二学期高一3月月考试卷数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，若，则（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解即可.【详解】若，则，解得.故选：B.2.向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算求解即可.【详解】因为，，，所以，即.故选：.3.在中，角，，所对的边为，，，，，，那么的大小是（）A. B.4 C. D.3【答案】D【解析】【分析】运用余弦定理进行求解即可.【详解】因为，，，所以有，或舍去，故选：D4.在中，“”是“为等腰三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合小范围可以推出大范围，而大范围推不出小范围，即可求解.【详解】为等腰三角形，即充分性成立为等腰三角形或或，不一定得到，即必要性不成立，“”是“为等腰三角形”的充分不必要条件，故选：A5.已知向量，，且．则在方向上的投影向量的坐标是（）A. B. C. D.．【答案】A【解析】【分析】根据向量数量积的运算及向量的坐标运算可得数量积的值，再根据投影向量的运算公式求解即可得答案.【详解】因为，，则，所以，则，所以在方向上的投影向量为.故选：A.6.在△ABC中，若，，△ABC的面积，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用求出，再利用余弦定理求，进而可得.【详解】由已知，可得，，，.故选：D.7.在中，为上的中线，为的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点A，B，C），且M，N，G三点共线，若，，则的最小值为（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的基本定理，用表示，设，，再用含参的方式用表示，得到关于参数的方程组求得，最后应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意取值条件.【详解】由题意，设，，则，所以，，得，所以（当且仅当时等号成立）.故选：D8.圆为锐角的外接圆，，点在圆上，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把转化为，由余弦定理、数量积的定义得，讨论的位置得，结合锐角三角形恒成立，即可得范围.【详解】由为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示，又，而，若外接圆半径为r，则，故，且，即，由，对于且在圆上，当为直径时，当重合时，所以，综上，，锐角三角形中，则，即恒成立，所以，则恒成立，综上，.故选:C二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设向量，则下列叙述正确的是（）A.若，则与的夹角为钝角B.的最小值为2C.与垂直的单位向量只能为D.若，则【答案】AB【解析】【分析】求出与夹角的余弦值可判断；向量的模可判断；单位向量可判断；向量模相等列出方程求解可判断.【详解】对，当时，，因为，所以与的夹角是钝角，故正确；对，，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故正确；对，设与垂直的单位向量为，则，解得或与垂直的单位向量为或，故错误；对，若，可得：，解得，故错误.故选：.10.已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列说法正确的是（）A.若，，，则B.若，则C.若，则是锐角三角形D.若，则是钝角三角形【答案】ABD【解析】【分析】A利用余弦定理即可；B利用正弦定理即可；C数量积运算可得A为锐角，但无法保证其余角也为锐角；D先利用正弦定理得出，再利用余弦定理即可.【详解】对于A，由余弦定理得，得，得，故A正确；对于B，由及正弦定理，得，解得，故B正确；对于C，因为，所以，所以，所以A为锐角，但无法确定B和C是否为锐角，故C错误；对于D，因为的三个角满足，所以由正弦定理化简得，设，，，c为最大边，由余弦定理得，所以C为钝角，所以是钝角三角形，故D正确；故选：ABD11.中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（）A.B.若，则只有一解C.若为锐角三角形，则取值范围是D.若为边上的中点，则的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A，直接解三角形可判定B，利用角的范围结合正弦定理可判定C，利用平面向量中线的性质及数量积公式结合余弦定理、基本不等式可判定D.【详解】对于A，因，所以，则，因为，所以，故A正确；对于B，因为，则，，故只有一解，故B正确；对于C，若为锐角三角形，则，，则，则，即，由正弦定理可知：，故C错误；对于D，若D为边上的中点，则，所以由余弦定理知，得，又，所以，当且仅当时取得等号，所以，即，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，不共线，如果，，，则共线的三个点是________.【答案】，，【解析】【分析】利用共线向量的充要条件化简求解即可.【详解】因为，所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线.故答案为：，，13.已知向量满足，则________．【答案】【解析】【分析】根据数量积的运算律求得，再根据向量模的计算公式，即可求得答案.【详解】由，得，有，则，故答案：14.如图，某山的高度BC＝300m，一架无人机在Q处观测到山顶C的仰角为15°，地面上A处的俯角为45°，若∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为__________m．【答案】200【解析】【分析】在直角三角形中求出，在△ACQ中利用正弦定理求出，在Rt△APQ中求PQ即可.【详解】根据题意，在RtABC中，∠BAC＝60°，BC＝300m，所以m，在ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，所以∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°，由正弦定理，得，即m，RtAPQ中，PQ＝AQsin45°＝m．故答案为：200四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.平面内给定三个向量，，．（1）求满足的实数m，n．（2）若满足，且，求的坐标．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由向量的坐标运算列方程组，解出即可；（2）设，由向量共线的坐标表示和模长计算解出即可.【小问1详解】由题意可得，解得【小问2详解】设，由题意可得，因为，则，①又，所以，②由①②解得或，所以的坐标为或.16.在中，有.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）利用三角形的面积公式可得出的面积.【小问1详解】解：由题意可得，，故.【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得.因此，的面积为.17.如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，．（1）求的值；（2）用，表示和；（3）证明：．【答案】（1）；（2），；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用数量积公式以及求解即可；（2）由向量的加减法进行运算即可用，表示和；（3）利用向量的垂直和数量积的关系证明即可.【详解】（1）（2）又为中点（3）又所以【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，利用数量积求模以及利用向量证明线段垂直，属于中档题.18.已知在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，.（1）求角；（2）若，D为中点，，求b；（3）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，根据三角形内角和定理和两角和的三角函数即可求解；（2）由已知可得，两边完全平方即可求解；（3）由正弦定理可得，，借助三角恒等变换及三角函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为，根据正弦定理，得，所以，所以，即，因为，所以，又，所以；【小问2详解】因为D为中点，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去），故；【小问3详解】由正弦定理：，所以，，因为，所以，所以，所以，因为锐角三角形，所以，所以，，所以，所以，所以的取值范围为.19.在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且．（1）求的值；（2）若为线段上任意一点，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点、的