2025版高考数学大一轮复习第八章立体几何初步第2讲空间几何体的表面积与体积分层演练文

PAGEPAGE1第2讲空间几何体的表面积与体积1．圆柱的底面积为S，侧面绽开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是()A．4πS B.2πSC．πS D．eq\f(2\r(3),3)πS解析：选A.由πr2＝S得圆柱的底面半径是eq\r(\f(S,π))，故侧面绽开图的边长为2π·eq\r(\f(S,π))＝2eq\r(πS)，所以圆柱的侧面积是4πS，故选A.2．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是()A．π B.eq\f(π,3)C.eq\r(3)π D．eq\f(\r(3)π,3)解析：选D.由三视图可知，该几何体是两个同底的半圆锥，其中底的半径为1，高为eq\r(22－12)＝eq\r(3)，因此体积＝2×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.3．(2024·高考全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10 B.12C．14 D．16解析：选B.由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为eq\f(（2＋4）×2,2)×2＝12，故选B.4．(2024·兰州诊断考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．(9＋eq\r(5))π B.(9＋2eq\r(5))πC．(10＋eq\r(5))π D．(10＋2eq\r(5))π解析：选A.由三视图可知，该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，且圆锥的高是圆柱高的一半．故该几何体的表面积S＝π×12＋4×2π＋eq\f(1,2)×2π×eq\r(5)＝(9＋eq\r(5))π.5．(2024·云南第一次统考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A．12 B.18C．24 D．30解析：选C.由三视图知，该几何体是直三棱柱削去一个同底的三棱锥，其中三棱柱的高为5，削去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面均为两直角边分别为3和4的直角三角形，所以该几何体的体积为eq\f(1,2)×3×4×5－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×4×3＝24，故选C.6．将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________．解析：当以长度为4π的边为底面圆时，底面圆的半径为2，两个底面的面积是8π；当以长度为8π的边为底面圆时，底面圆的半径为4，两个底面圆的面积为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2.故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.答案：32π2＋8π或32π2＋32π7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，所以其体积为8－eq\f(4,3)－eq\f(1,6)＝eq\f(13,2).答案：eq\f(13,2)8.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD­A1C1D1，这个几何体的体积为eq\f(40,3)，则经过A1，C1，B，D四点的球的表面积为________．解析：设AA1＝x，则VABCD­A1C1D1＝VABCD­A1B1C1D1－VB­A1B1C1＝2×2×x－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×x＝eq\f(40,3)，则x＝4.因为A1，C1，B，D是长方体的四个顶点，所以经过A1，C1，B，D四点的球的球心为长方体ABCD­A1B1C1D1的体对角线的中点，且长方体的体对角线为球的直径，所以球的半径R＝eq\f(\r(22＋22＋42),2)＝eq\r(6)，所以球的表面积为24π.答案：24π9.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面积＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2eq\r(2)＝(60＋4eq\r(2))π，V＝V圆台－V圆锥＝eq\f(1,3)(π·22＋π·52＋eq\r(22·52π2))×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π.10．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6，AH＝10，HB＝6.故S四边形A1EHA＝eq\f(1,2)×(4＋10)×8＝56，S四边形EB1BH＝eq\f(1,2)×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为eq\f(9,7)(eq\f(7,9)也正确)．1．(2024·石家庄质量检测(一))某几何体的三视图如图所示(在网格线中，每个小正方形的边长为1)，则该几何体的体积为()A．2 B.3C．4 D．6解析：选A.由三视图知，该几何体为四棱锥，其底面面积S＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2＝3，高为2，所以该几何体的体积V＝eq\f(1,3)×3×2＝2，故选A.2．(2024·沈阳质量检测(一))已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，BC＝eq\r(2)，若球O的表面积为4π，则SA＝()A.eq\f(\r(2),2) B.1C.eq\r(2) D．eq\f(3,2)解析：选B.依据已知把S­ABC补成如图所示的长方体．因为球O的表面积为4π，所以球O的半径R＝1，2R＝eq\r(SA2＋1＋2)＝2，解得SA＝1，故选B.3．(2024·福州综合质量检测)已知三棱锥P­ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P­ABC的体积为eq\f(16,3)，则此三棱锥的外接球的表面积为()A.eq\f(16π,3) B.eq\f(40π,3)C.eq\f(64π,3) D．eq\f(80π,3)解析：选D.依题意，记三棱锥P­ABC的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面ABC的距离为h，则由VP­ABC＝eq\f(1,3)S△ABCh＝eq\f(1,3)×(eq\f(\r(3),4)×42)×h＝eq\f(16,3)得h＝eq\f(4,\r(3)).又PC为球O的直径，因此球心O到平面ABC的距离等于eq\f(1,2)h＝eq\f(2,\r(3)).又正△ABC的外接圆半径为r＝eq\f(AB,2sin60°)＝eq\f(4,\r(3))，因此R2＝r2＋(eq\f(2,\r(3)))2＝eq\f(20,3)，三棱锥P­ABC的外接球的表面积等于4πR2＝eq\f(80,3)π，选D.4．一个几何体的三视图如图所示，且其侧(左)视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为________．解析：由题意得，该几何体为如图所示的五棱锥P­ABCDE，所以体积V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1＋22))×eq\r(3)＝eq\f(5,3)eq\r(3).答案：eq\f(5,3)eq\r(3)5．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H.(1)若圆锥内有一个高为x的内接圆柱，则x为何值时，圆柱的侧面积最大？最大侧面积是多少？(2)作一平面将圆锥分成一个小圆锥与一个圆台，当两几何体的体积相等时，求小圆锥的高与圆台的高的比值．解：(1)设圆柱的侧面积为S，底面半径为r.由eq\f(r,R)＝eq\f(H－x,H)，得r＝R－eq\f(R,H)·x.则圆柱的侧面积S＝2πrx＝2πxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－\f(R,H)·x))＝－eq\f(2πR,H)·x2＋2πRx，明显，当x＝－eq\f(2πR,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2πR,H))))＝eq\f(H,2)时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积为－eq\f(2πR,H)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(H,2)))eq\s\up12(2)＋2πR·eq\f(H,2)＝eq\f(1,2)πRH.(2)设小圆锥的底面半径为a，高为b.由题意得小圆锥的体积V1＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)πR2H＝eq\f(1,6)πR2H，由eq\f(a,R)＝eq\f(b,H)，且eq\f(1,3)πa2b＝eq\f(1,6)πR2H，得b＝eq\r(3,\f(1,2))H＝eq\f(\r(3,4),2)H.设圆台高为c，则eq\f(b,c)＝eq\f(\f(\r(3,4),2)H,H－\f(\r(3,4),2)H)＝eq\f(\r(3,4),2－\r(3,4))，故小圆锥的高与圆台的高的比值为eq\f(\r(3,4),2－\r(3,4)).6.(2024·高考全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)证明：直线BC∥平面PAD；(2)若△PCD的面积为2eq\r(7)，求四棱锥P­ABCD的体积．解：(1)证明：在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，故BC∥平面PAD.(2)取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝eq\f(1,2)AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.设BC＝x，则CM＝x，CD＝eq\r(2)x