2024年高考数学二轮复习专题五直线与圆圆锥曲线第2讲椭圆双曲线抛物线的方程与性质梯度训练含解析新人教A版

PAGE17-第2讲椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质选题明细表学问点·方法巩固提高A巩固提高B圆锥曲线定义及其应用1,3,9,12,174,7,12圆锥曲线的标准方程5,66,15定义法求圆锥曲线方程11,17圆锥曲线的几何性质2,10,14,151,2,3,5,10由几何性质求方程417综合问题7,8,13,16,178,9,11,13,14,16巩固提高A一、选择题1.已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为(D)(A)(-3,0) (B)(-4,0) (C)(-10,0) (D)(-5,0)解析:因为圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,所以圆心坐标为(3,0),所以c=3.又b=4,所以a==5.因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的左顶点为(-5,0).故选D.2.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满意AF2⊥F1F2,若点P是椭圆C上的动点,则·的最大值为(B)(A) (B) (C) (D)解析:由椭圆方程知c=1,所以F1(-1,0),F2(1,0).因为椭圆C上的点A满意AF2⊥F1F2,则可设A(1,y0),代入椭圆方程可得=,所以y0=±.设P(x1,y1),则=(x1+1,y1),=(0,y0),所以·=y1y0.因为点P是椭圆C上的动点,所以-≤y1≤,故·的最大值为.故选B.3.(2024·全国Ⅲ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为(B)(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:由双曲线的一条渐近线方程为y=x得4b2=5a2,椭圆+=1的焦点为(3,0),所以c=3.在双曲线中c2=a2+b2得a2=4,b2=5.故选B.4.已知双曲线-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p>0)的准线交于A,B两点.O为坐标原点.若△OAB的面积为1,则p的值为(B)(A)1 (B) (C)2 (D)4解析:双曲线-x2=1的渐近线为y=±2x,抛物线y2=2px的准线为x=-,渐近线与准线的交点为(-,p),(-,-p),所以S△OAB=××2p=1,p=,故选B.5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为(B)(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:由双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,可设双曲线的方程为x2-=λ(λ>0).因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,所以F(-6,0)是双曲线的左焦点,即λ+3λ=36,λ=9,所以双曲线的方程为-=1.故选B.6.焦点为(0,6)且与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程是(B)(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:设所求双曲线方程为-y2=λ(λ≠0),因为焦点为(0,6),所以|3λ|=36,所以λ=±12,又因焦点在y轴上,所以λ=-12,所以所求方程为-y2=-12,即-=1.故选B.7.过双曲线x2-=1的右支上一点P,分别向圆C1:(x+4)2+y2=4和圆C2:(x-4)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为(B)(A)10 (B)13 (C)16 (D)19解析:由题意,依据双曲线和圆的标准方程可知两圆的圆心分别为双曲线的两焦点,所以|C1C2|=8,|PC1|-|PC2|=2.依据圆的切线与过切点的半径垂直、双曲线的定义,可得|PM|2-|PN|2=(|PC1|2-4)-(|PC2|2-1),因此|PM|2-|PN|2=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|-|PC2|)(|PC1|+|PC2|)-3=2(|PC1|+|PC2|)-3≥2|C1C2|-3=13.故选B.8.已知直线l1,l2是双曲线C:-y2=1的两条渐近线,点P是双曲线C上一点,若点P到渐近线l1距离的取值范围是[,1],则点P到渐近线l2距离的取值范围是(A)(A)[,] (B)[,] (C)[,] (D)[,]解析:设点P(x0,y0),由题可设渐近线l1:x-2y=0,渐近线l2:x+2y=0,由点P到直线l1的距离d1=,点P到直线l2的距离d2=,有d1d2=·=,又-=1,即-4=4,则d1d2=,则d2=,由d2与d1成反比,且d1∈[,1],所以d2∈[,].故选A.二、填空题9.椭圆+=1的长轴长是短轴长的2倍,则a的值为.

解析:当a2>a且a>0,即a>1时,此时长轴长是短轴长的2倍,则2a=2×2,解得a=4;当a>a2且a2>0,即0<a<1时,此时长轴长是短轴长的2倍,则2=2×2a,解得a=,所以实数a的值为4或.答案:4或10.已知椭圆C:+y2=1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满意0<+<1,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.

解析:由点P(x0,y0)满意0<+<1,可知P(x0,y0)肯定在椭圆内(不包括原点),因为a=,b=1,所以由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|<2a=2,当P(x0,y0)与F1或F2重合时,|PF1|+|PF2|=2,又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2,故|PF1|+|PF2|的取值范围是[2,2).答案:[2,2)11.经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程为.

解析:由点P在第四象限,则抛物线的开口方向为向右或向下,所以可设该抛物线的方程为y2=2px或x2=-2py(p>0),将点P坐标分别代入两方程中,所求抛物线的方程为y2=x或x2=-8y.答案:y2=x或x2=-8y12.已知椭圆C:+=1(0<b<5)的长轴长、短轴长、焦距成等差数列,则该椭圆的方程是.

解析:设焦距为2c,则有解得b2=16,所以椭圆C的方程为+=1.答案:+=113.若P是抛物线y2=8x上的动点,点Q在以点C(2,0)为圆心,半径长等于1的圆上运动.则|PQ|+|PC|的最小值为.

解析:由于点C为抛物线的焦点,则|PC|等于点P到抛物线准线x=-2的距离d.又圆心C到抛物线准线的距离为4,则|PQ|+|PC|=|PQ|+d≥3.当点P为原点,Q为(1,0)时取等号.故|PQ|+|PC|的最小值为3.答案:314.已知双曲线C的渐近线方程是y=±2x,右焦点为F(3,0),则双曲线C的方程为,若已知点N(0,6),且M是双曲线C的左支上一点,则△FMN周长的最小值为.

解析:因为双曲线C的渐近线方程是y=±2x,右焦点为F(3,0),所以⇒所以双曲线C的方程为x2-=1.设左焦点F′(-3,0),由双曲线定义可得|MF|=2a+|MF′|=2+|MF′|,所以△FMN的周长为|FN|+|MN|+|MF|=|FN|+|MN|+|MF′|+2a≥|FN|+|F′N|+2a=2++=2+6.答案:x2-=16+215.椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上一动点,若∠F1PF2为钝角,则点P的横坐标的取值范围是.

解析:设椭圆上一点P的坐标为(x,y),则=(x+,y),=(x-,y).因为∠F1PF2为钝角,所以·<0,即x2-3+y2<0,①将y2=1-代入①,得x2-3+1-<0,x2<2,所以x2<.解得-<x<,所以x∈(-,).答案:(-,)16.设P为双曲线C:x2-y2=1上一点,F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,若cos∠F1PF2=,则△PF1F2的外接圆半径为.

解析:由题意知|F1F2|=2,因为cos∠F1PF2=,所以sin∠F1PF2=.在△PF1F2中,由正弦定理得2R==3.(R为△PF1F2的外接圆半径)所以R=,即△PF1F2的外接圆半径为.答案:三、解答题17.中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程;(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.解:(1)由题知c=,设椭圆方程为+=1(a>b>0),双曲线方程为-=1(m>0,n>0),则解得a=7,m=3.则b=6,n=2.故椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.(2)不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=2,所以cos∠F1PF2===.巩固提高B一、选择题1.若双曲线-=1的离心率为,则其渐近线方程为(B)(A)y=±2x (B)y=±x(C)y=±x (D)y=±x解析:由=,令a=m,c=m(m>0),则b==m,渐近线方程为y=±x=±x.故选B.2.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为(C)(A)x=1 (B)x=2(C)x=-1 (D)x=-2解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=-(x-),与抛物线方程联立得,消去y整理得,x2-3px+=0,可得x1+x2=3p.依据中点坐标公式,有=3,p=2,因此抛物线的准线方程为x=-1.故选C.3.已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为(A)(A) (B)3 (C)m (D)3m解析:双曲线方程可化为-=1,则c2=3m+3,c=,设焦点F(,0),一条渐近线方程为y=x,即x-y=0,所以点F到渐近线的距离为d==.故选A.4.已知双曲线C1:-=1,且双曲线C2:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C2的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,且双曲线C1,C2的离心率相同,则双曲线C2的实轴长是(B)(A)32 (B)16 (C)8 (D)4解析:因为双曲线C2:-=1与双曲线C1:-=1的离心率相同,所以==,解得=,即双曲线C2的一条渐近线方程为y=x,即x-2y=0,又因为OM⊥MF2,△OMF2的面积为16,所以|OM|·|MF2|=|MF2|2=16,解得|MF2|=4,即右焦点F2(c,0)到渐近线x-2y=0的距离为4,所以=4,解得c=4,a==8,2a=16,即双曲线C2的实轴长为16.故选B.5.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为(B)(A)2 (B)4 (C)6 (D)8解析:以开口向右的抛物线为例,设抛物线方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=r2,设A(x0,2),D(-,),点A(x0,2)在抛物线y2=2px上,所以8=2px0,①点D(-,)在圆x2+y2=r2上,所以5+(-)2=r2,②点A(x0,2)在圆x2+y2=r2上,所以+8=r2,③联立①②③解得p=4,焦点到准线的距离为4.故选B.6.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点P,设P点的坐标为(x0,y0),若l1⊥l2,则下列结论中不正确的是(A)(A)+>1 (B)+<1(C)3+2>1 (D)+<1解析:由题意可得椭圆的半焦距c==1,且由l1⊥l2可知点P(x0,y0)在以线段F1,F2为直径的圆上,则+=1,所以+=<=,故A不正确.故选A7.抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,若点A(-1,0),则的最小值是(B)(A) (B) (C) (D)解析:抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,如图,过P作PN垂直直线x=-1于N,由抛物线的定义可知|PF|=|PN|,在Rt△PAN中,sin∠PAN=,当=最小时,sin∠PAN最小,即∠PAN最小,即∠PAF最大,此时,直线PA为抛物线的切线,设直线PA的方程为y=k(x+1),联立得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,所以Δ=(2k2-4)2-4k4=0,解得k=±1,所以∠PAF=∠NPA=45°,==cos∠NPA=,故选B.8.(2024·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条相互垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(A)(A)16 (B)14 (C)12 (D)10解析:y2=4x的焦点F(1,0),由题意知l1,l2的斜率都存在且不为0,设直线l1方程为y=k(x-1)(k≠0),则直线l2方程为y=-(x-1).设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4).将y=k(x-1)代入y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.所以x1+x2=2+,同理可得x3+x4=2+4k2,所以|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+4=4+4++4k2≥8+2=16.(当且仅当k=±1时取等号).故选A.二、填空题9.双曲线-y2=1的两条渐近线与圆x2+y2-2ax+1=0都没有公共点,则实数a的取值范围是.

解析:双曲线-y2=1的渐近线方程为x±2y=0,因为圆x2+y2-2ax+1=0可化为(x-a)2+y2=a2-1,所以该圆的圆心为(a,0),半径r=(a2-1>0).又因为双曲线-y2=1的两条渐近线与圆(x-a)2+y2=a2-1无公共点,所以解得-<a<-1或1<a<.故a的取值范围为(-,-1)∪(1,).答案-,-1)∪(1,)10.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF的周长最小时,该三角形的面积为.

解析:设左焦点为F1,|PF|-|PF1|=2a=2,所以|PF|=2+|PF1|,△APF的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2+|PF1|,△APF周长最小即为|AP|+|PF1|最小,当A,P,F1在一条直线上时最小,过点A,F1的直线方程为+=1,与x2-=1联立,解得P点坐标为(-2,2),此时S△APF=-=12.答案:1211.过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B,若|AF|=3|BF|,则直线l的斜率是.

解析:设直线l的方程为y=k(x-1),且与抛物线C交于A(x1,y1),B(x2,y2),联立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则又因为|AF|=3|BF|,所以x1+1=3(x2+1),即x1=3x2+2,则解得即直线l的斜率是±.答案:±12.如图,圆O与离心率为的椭圆T:+=1(a>b>0)相切于点M(0,1),过点M引两条相互垂直的直线l1,l2,两直线与两曲线分别交于点A,C与点B,D(均不重合).若P为椭圆上任一点,记点P到两直线的距离分别为d1,d2,则+的最大值是.

解析:易知椭圆C的方程为+y2=1,圆O的方程为x2+y2=1,设P(x0,y0),因为l1⊥l2,则+=|PM|2=+(y0-1)2,因为+=1,所以+=4-4+(y0-1)2=-3(y0+)2+,因为-1≤y0≤1,所以当y0=-时,+取得最大值.答案:13.已知点P(x,y)是抛物线y2=4x上随意一点,Q是圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上随意一点,则|PQ|+x的最小值为.

解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线l:x=-1.圆C:(x+2)2+(y-4)2=1的圆心为C(-2,4),半径r=1.由抛物线定义知,点P到直线l:x=-1的距离d=|PF|=x+1,点P到y轴的距离为x=d-1=|PF|-1,所以|PQ|+x=|PQ|+|PF|-1.当C,P,F三点共线时,|PQ|+x可取最小值,所以(|PQ|+x)min=|FC|-r-1=5-1-1=3.答案:314.(2024·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.

解析:如图所示,双曲线-y2=1的焦点为F1(-2,0),F2(2,0),所以|F1F2|=4.双曲线-y2=1的右准线方程为x==,渐近线方程为y=±x.由得P(,).同理可得Q(,-).所以|PQ|=,所以=·|F1F2|·|PQ|=×4×=2.答案:215.已知F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,若M为椭圆上一点,且△MF1F2的内切圆的周长等于3π,则满意条件的点M的个数为.解析:由△MF1F2的内切圆的周长等于3π,得内切圆的半径r=,所以△MF1F2的面积为(2a+2c)r=(5+3)×=12.又△MF1F2的面积为|F1F2|·|yM|=3|yM|=12,所以|yM|=4,则yM=4或yM=-4,只能是椭圆短轴上的顶点,即满意条件的点M有2个.答案:216.(2024·镇海5月月考)已知抛物线y2=4x,焦点记为F,过点F作直线l交抛物线于A,B两