广东省广州市普通高中毕业班2025年综合测试(二)数学试卷（含答案）

2025年广州市普通高中毕业班综合测试(二)本试卷共5页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项A.4BA.3轻柔音乐的声强一般在10-⁸~10-⁶W/m²A.0~20dBB.20~40dBA.24B.-24C.-A.(-,0)为x₁,x₂,…,x,则A.-32B.-16C.-8A.若r>0,则b>0D.若z,=2y,(i=1,2,…,n),则成对数据(x,,z,)的经验回归方程2=2bx+2a条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若△ABC的三个顶点坐标分别为A(3,4),B(-1,2),C(1,0),其“欧拉线”为1,圆M:(x-a)²+y²=1,则B.若直线I被圆M截得的弦长为2,则a=-111.已知A,B是球O的球面上两点，C为该球面上的动点，球O的半径为4,三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.13.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，标号为1,2,3,4,从中有放回地随机取球，14.在平面四边形ABCD中，AC=AD=4,∠CAD=60°,∠ABC=90°,四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)设S,为数列{a,}的前n项和，且a,是S,和8的等差中项.(1)求数列{a,}的通项公式；(2)令b,=log₂a,数列的前n项和为T,证明：数学试卷B第3页(共5页)16.(15分)如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁CD₁的底面ABCD是菱形，∠BAD为锐角，E,F分(1)证明：EM//平面AB₁F;(2)若直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为32√3,当直线FP与平面AB₁F所成角的正弦值最大时，17.(15分)(1)若a>0,直线l:y=2x+m与曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都相切，求a的值；18.(17分)交于点M,另一条与C的右支交于点N(异于点P).19.(17分)设n∈N°,n≥4,集合P={x|x=(x,x₂,x₃,…,xn),x₁∈{0,1},1≤i≤n,ieN'}(x为向量),若a=(a,a₂,a,…,a,)∈P,b=(b,b₂,b₃,…,b.)eP,数学试卷B第5页(共5页)2025届广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学试题参考答案及评分标准1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不一半：如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。题号12345678BCCDABDB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的给6分，有选错的给0分。有两个正确选项的仅选其中一个给3分；有三个正确选项的仅选其中一个给2分，仅选其中两个给4分。三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.√2314.2√7四、解答题：共77分。15.(13分)(1)解法1:因为a,是S,和8的等差中项，………………5分所以数列{a}是以首项为8,公比为2的等比数列.6解法2:因为a是S,和8的等差中项，(下面用数学归纳法证明)1当n=1时，可知猜想成立，2假设n=k时，猜想成立，即a=2*+2,即当n=k+1时，猜想也成立.7由于n≥1,……11分所以…………………13分16.(15分)(1)证明：取C,D₁的中点N,连接A₁N,NF,因为F为CD的中点，所以NF//CC₁,且NF=CC₁.又AA//CC₁,且AA₁=CC,则NF/AA,且NF=AA2分所以AF//A₁N.…3分因为C₁M=3MD₁,则M为ND₁的中点.又E为AD₁的中点，则EM//A₁N4分所以EM/AF.……5分因为AFc平面AB₁F,EMc平面AB₁F,(2)解法1:由于直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为32√3,得AA·AB·ADsin∠BAD=32√3,系D-xyz.则E(√3,-1,4),M(0,1,4),F(0,2,0),B₁(2√3,2,4),A(2√3,-2,0),9分设MP=AME=(√3a,-2a,0),P(√32,1-2a,4),FP=(√32,-2a-1,4),8AB₁=(0,4,4),AF=(-2√3,4,0),………………10分由即…………………11分取y=√3,x=2,z=-√3,解法2:由于直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为32得AA₁·AB·ADsin∠BAD=32√3,7分连接AC,BD,设ACBD=0,连接AC₁,B₁D₁,设AC₁B₁则A(0,-2√3,0),B,(2,0,4),F(-1,√3,0),E(-1,-√3,4),…………………9分AF=(-1,3√3,0),AB₁=(2,29………………10分令y=1,则x=3√3,z=-2√3.……11分分13分14分13分14分……………15分得AA·AB·ADsin∠BAD=32√3,则……10分如图，过N作NP⊥EM,交EM的延长线于点P,连接FP,由于NFIEM,NFNP=N,则EM⊥平面NPF..………在Rt△NMP中，………14分17.(15分)(1)解法1:设直线l:y=2x+m与曲线y=f(x)=e²的切点坐标为(xo,yo),当a=8时，得,符合题意，所以a=8.………6分解法2:设直线l:y=2x+m与曲线y=f(x)=e²*的切点坐标为(x₀,yo),解得x₀=0,yo=e²=1, 当a>0时，函数g(x)=√ax的定义域为[0,+],,得a=16x₁.…………4 ,a=8.,a=8.(2)解：①当a<0时，则函数g(x)=Jax的定义域为(-0,0).…7分则,不符合题意.…………8分显然f(0)≥g(0).………………10分),则当时，h'(x)>0,h(x)在上单调递增.…14分则当时，h(x)取得最小值，其值…15分 另法：当x>0时，由f(x)≥g(x),得e²*≥√ax,即 得Ina≤4x-Inx.…综上所述，a的取值范围为(0,4e).……………17分18.(17分)(1)解：由于双曲线C的右焦点为F(2,0),所以a²+b²=41分双曲线C的渐近线方程,即为bx±ay=0,由于点F(2,0)到C的一条渐近线的距离为√3,则.…………2分(2)(i)证明：显然圆O的切线PM的斜率存在，设切线PM的方程为y=kx+m,由题意知△>0.设P(x,y;),M(x₂,y₂),而y,y₂=(kx₁+m)(kx₂+m)=k²xx₂+km(x₁+分(ii)解法1:由(i)同理可得ON⊥OP,所以M,0,N三点共线.则△PMN的面积S==2SPOM·………………11分……………13分…14分.….此时，直线PM平行x轴，则A、P的纵坐标绝对值为圆O的半径.所以直线PM的方程为,直线PN的方程为.……………17分所以M,0,N三点共线.设切线PM与圆O的切点为D,∠PMO=θ,…………15分当时，S=3,即△PMN的面积S的最小值为3.此时，直线PM平行x轴，则A/,P的纵坐标绝对值为圆O的半径.得点P的坐标………………16分所以直线PM的方程,直线PN的方程为……………17分所以M,0,N三点共线.则△PMN的面积S==2SAPo=|0M|op|12分在Rt△ODP中，根双曲线的对称性知，直线PM平行x轴，则M,P的纵坐标绝对值为圆O的半径.得点P的坐标…………16分所以直线PM的方程,直线PN的方程为.……………17分19.(17分)(1)解：因为a=(0,1,1,1),b=(1,1,0,1),(2)解法1:因为a,b∈P,a=(1,1,1,L,1),则满足a·b=m等价于向量b的坐标中有m个位置上的值为1,剩下n-m个位置上的解法2:因为a,b∈P,a=(1,1,1,L,1),则满足a·b=m等价于向量b的坐标中有m个位置上的值为1,剩下n-m个位置上的=1-C°-+C-|=1.………7分=1-(C+C_)+(C-+C²,)-(C₂+C³)+L-(C+C=1-C°_1-C=-1.………………8分(3)解法1:由题意可知，X=0,1,2,…,n-1,对于