河北省2024-2025学年高三下学期省级联测考试（预测卷Ⅱ）数学试卷（含答案）

夕2024-2025高三省级联测考试命卷意图本套试卷的命制以拓展思维为主，参照近几年高考数学试卷的新题型进行模拟，命卷意图本套试卷的命制以拓展思维为主，参照近几年高考数学试卷的新题型进行模拟，以拒绝模式化试题和套路形试题为命题思路，力争在数学思维延伸、数学思想创新、数学基本方法拓展和数学技巧应用上均有所突破。本套试卷全面考查学生的数学素养，以选拔人才为出发点，兼顾考查学生的数学品质为准则，试题从易到难，层层递进，综合考查了高中阶段的主干知识。一、立足数学核心素养该套试题涵盖了数学的六大核心素养——数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，引导学生从刷题思维向运用思维、发散思维、拓展思维、创新思维转化。二、考查基本方法和基本知识点本套试题符合高考试题的与时俱进性和创新性。考查的内容不追求符合全体学生预期但追求选拔性考查的思路，兼顾试题的基本知识和基本方法的合理性综合延伸。例如，第5题利用三角函数的切化弦，延伸到两角和差公式；第8题利用两点的距离延伸到焦半径，再与点差法结合求出点P坐标；第13题利用抽象函数与基本初等函数的关系进行创新，考查了学生的数学直觉，是考查学生应变能力非常好的试题。整套试题包含数形结合、构造函数等数学思想、方法的考查。三、命制试题亮点将基本知识和方法从全新的角度去命制；第19题是源于课本又高于课本的不定方程试题，它题号1234567891011答案ABBCADBCABABDABD1.A解析:∵M∩N=N,∴N⊆M,-2∈M,则-2=a-1,a=-1,此时a+1=0,N⊆M成立,故选A.2.B解析:由a>b可得2a>2b,又由2b>2b-1,可得2a>2b-1,又由2a>2b-1不一定可得a>b,反例:当时,2a>2b-1成立,但a<b,∴“2a>2b-1”是“a>b”的必要不充分条件,故选B.3.B解析:向量n在向量m上的投影向量故选B.4.C解析:设等差数列{an}的公差为d,∵a1+a3=a6,∴2a2=a6,又由根与系数的关系得a3+a5=12=a2+a6,∴a2=4,a6=8,∴d=1,an=a2+(n-2)d=n+2,a1=3,Snn(a1+an)n(n+5),故选C.数学·预测卷Ⅱ答案第1页(共7页)5.A解析:由已知得β-,即EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(β),β),∴cosβsinα=sinβ-sinβcosα,即sin(α+β)=sinβ,∵α,β∈(0,∴α+β=π-β,即2β+α=π,故选A.6.D解析:设h(x)=1+loga(x+1)(x>1),g(x)=4-2x(x≤1),当x≤1时,0<2x≤2,g(x)∈[2,4),∵f(x)的值域为[2,+∞),∴a>1,h(x)∈(1+loga2,+∞),∴2≤1+loga2<4,a∈(32,2],故选D.7.B解析:设圆锥的高为h,底面半径为r(r>1),则圆锥内接的圆柱上面的小圆锥的高为,∴h-1,该圆锥的体积则令V'=0,则当1<r<时,V'<0,当时取得最小值为π,故选B.8.C解析:设F(c,0),A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为M(x0,y0),离心率为e同理|BF|=|ex2-a|.由=1两式相减整理得的垂直平分线方程为y-y0=-(x-x0),令y=0,得x=e2x0,则P(e2x0,0).|AB|=|AF|+|BF|=ex1-a+ex2-a=2(ex0-a),此时P在F的右侧,|PF|=e2x0-c=e(ex0-a),由|AB|=|PF|,得2(ex0-a)=e(ex0-a),∵x0>c,∴ex0-a>0,∴e=2,故选C.9.AB解析:z3=i+2i2+3i3=-2-2i,其虚部是-2,∴A正确;z4=i+2i2+3i3+4i4=2-2i,∴|z3|=|z4|,∴B正确;z6=i+2i2+3i3+4i4+5i5+6i6=-4+3i,z6z-6=|z6|2=25,∴C不正确;1-2i,∴D不正确,故选AB.10.ABD解析:f'(x)=2x+a+,∵f'(x)(x2-3x+2)≥0恒成立,∴f'(x)=0与x2-3x+2=0有相同的根,即2x2+ax+b=0的两个实数根为1,2,∴-=3,=2,即a=-6,b=4. =x2-6x+4lnx,由f'>0得0<x<1或∴A正确;当x∈(0,1)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(1,2)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,∴f(x)在x=1处取得极大值f(1)=-5<0,在x=2处取得极小值f(2)=-8+4ln2<0,又当x→+∞时,f(x)→+∞,∴B正确,C不正确,D正确,故选ABD.11.ABD解析:甲获胜的概率为×+CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(1),2)×××2+CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(1),2)×××CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(1),2)×××,∴A正确;两人比赛4局结束的概率为CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(1),2)×××2+CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(1),2)×××2,∴B正确;对于C,∵比赛进入第三局,∴前两局是1∶1平,则在第三局甲赢的条件下乙赢得胜利的概率为数学·预测卷Ⅱ答案第2页(共7页)2+××2+××CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up6(1),2)×××41第二局胜利的概率为55=55,∴D正确,故选ABD.243解析:当直线l过圆心C时,两条切线平行,所以夹角为0,当直线l不过圆心C时,如图,设两条切线交于点D,则∠D=π-∠ACB,设点C到直线l的距离为d,则d∈(0,1)(当d=1时,斜率不存在),则cos∠D=cos(π-∠ACB)=-cos∠ACB=1-2cos2=1-2·2=1-∈,1),DABd-------""B—∴∠D∈(0,,综上,两条切线夹角的取值范围是EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(Γ),L)0,.—13.f(x)=cos2x(答案不唯一)解析:f(x-y)中间符号为前后两个代数式中间符号为“+”,所以类比两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,但coscos10x,f(x)=cos18x,f(x)=cos26x,….14.3解析:由抛物线的性质知yA=2yM,yB=2yN,|MN|=23=|yM-yN|,∴|yA-yB|=43.直线AB的方程为y=3(x-,代入抛物线方程整理得3y2-2py-3p2=0,解得y1=3p,y2=-p,不妨设点A在第一象限,则15.解:(1)由余弦定理得49=b2+c2-bc,联立2c-b=2,解得c=-3(舍)或c=5,……………(4分)由正弦定理得解得………………………(6分)(2)由题得△ABC的面积S△∴bc=24.………………(9分)由余弦定理得49=b2+c2-bc,∴b2+c2=73,…………………………(11分)∴(b+c)2=73+48=121,∴b+c=11,∴△ABC的周长为a+b+c=18.……………………(13分)16.解:(1)由已知得AC=43,A1C1=23.设OO1=h,上底面A1B1C1D1的面积S1=2××22=23,下底面ABCD的面积83,………………………(2分)数学·预测卷Ⅱ答案第3页(共7页)OcOci11∴14=3(S1+S1S2+S2)h=3(23+43+83)h,解得h=3,……………(4分)11∴OC2=12=OCEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),1)+CCEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),1),即CC1⊥OC1.……………(6分)∵OO1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴OO1⊥BD,又∵AC⊥BD,OO1∩AC=O,∴BD⊥平面ACC1A1,∵CC1⊂平面ACC1A1,∴BD⊥CC1,…(8分)∵OC1,BD⊂平面BDC1,且OC1∩BD=O,∴CC1⊥平面BDC1.………………(9分)(2)建立如图所示的空间直角坐标系,则由(1)知B1(1,0,3),C1(0,3,3),D(-2,0,0),…(10分)ZAZAy-----""Ay-----""Bb∴B1EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(→),C)1=(-1,3,0),OEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(→),B)1=(1,0,3),DEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(→),C)1=(2,3,3).(x,y,z),则{EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up9(m),m)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(·),·)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(B),O)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(y),0)=,0,令x=3,则y=1,z=-1,∴m=(3,1,-1),……………………(12分)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up9(n),n)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(·),·)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(B),D)设平面DB1C1与平面OB1C1的夹角为θ,令a=3,则b=1,c=-3设平面DB1C1与平面OB1C1的夹角为θ,则cosθ=|cos<m,n>|=5×713=76EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up7(6),5)5,76565∴平面DB1C1与平面OB1C1夹角的余弦值为.……………(15分)6517.解:(1)设H(-9,y),直线PB与圆H切于点C,∴|PA|=|PC|,………………(1分)|PA|+|PB|=|PC|+|PB|=|BC|………………(2分)=|BH|2-|HC|2=|BH|2-|HA|2=[(-9-1)2+y2]-[(-9+1)2+y2]=6.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(………),2)2(5分)a2b2(2)由(1)知点P的轨迹为椭圆,设该椭圆方程为x+y=1(a>b>0),则a=3a2b2∴曲线Γ的方程为当直线l⊥x轴时,不妨令则kGM=EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(4),3),直线GM的方程为y=EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(4),3)(x+3),E(-9,-8),kEA=1,数学·预测卷Ⅱ答案第4页(共7页)同理kFA=-1,∴EA⊥FA,∴点A在以EF为直径的圆上;………(8分)代入Γ:8x+9y=72中,整理得(8+9k)x+18kx+9k-72=0,当直线l不2垂直x轴时,设M(x1,y1)2,Nx2,y2直线EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(l),代入Γ:8x+9y=72中,整理得(8+9k)x+18kx+9k-72=0,直线MG的方程为y3(x+3),即y(x+3),…………………(12分)∵A(-1,0),∴EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(→),EA)…………………………(14分)∴点A在以EF为直径的圆上.………………………(15分)18.解:(1)当a=2时,f(x)=ln(x+1)-2,x∈(-1,+∞),恒成立,……………(2分)∴f(x)在(-1,+∞)上单调递增,又f(0)=0,∴f(x)≥0的解集为[0,+∞).………………………(5分)由f'(x)=0得x2+(4-2a)x+4-2a=0,若Δ≤0,解得0≤a≤2,此时f'(x)≥0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)≥f(0)=0;………………(7分)若Δ>0,解得a<0或a>2,∵x≥0,∴当a<0时,f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)≥f(0)=0;……………(8分)当a>2时,由f'(x)<0解得0≤x<a-2+a2-2a,∴f(x)在(0,a-2+a2-2a)上单调递减,∴f(x)<f(0)=0,f(x)≥0不恒成立.……………(9分)∴当x≥0时,f(x)≥0恒成立,实数a的取值范围是(-∞,2].…………………(10分)(3)取a=2,由(1)知,当x≥0时,f(x)=ln(x+1)-2≥0,…………………(11分)故只需证明,………………………(13分)(n+1)cosx(n+1)cosx(n+cosx)+(n+1)sin2x∴g'(x)=1-(n+cosx)2∵n≥2,∴n2-n-1≥1,∴g'(x)≥0,∴g(x)在[0,+∞)上单调递增,…………(15分)成立,………数学·预测卷Ⅱ答案第5页(共7页)即成立.……………19.解:(1)∵2025÷6=337.5,∴(x1,x2,…,x6)是1-极值时,x1,x2,…,x6中有三个337和三个338,………(3分)·...即有CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up3(3),6)=20组1-极值的解.…………(4分)·...xi(i=1,2,…,6)的方差6x2),……………………(6分)∴S=6σ2+6x—2,∵x—为常数,∴当方差σ2最小时S最小.…………(7分)当k=0时,x1=x2=…=x6不是整数舍去,…………(8分)当k=1时,即(x1,x2,…,x6)是方程E的1-极值的一组解时,方差σ2最小,即S最小,·...此时S最小=3×(3372+3382)=683439.……………(9分)(3)考虑(x1,x2,…,x6)是方程E的1-极值的一组解时的一种情况(337,337,337,338,338,338),由·...(1)知有20组,若化为2-极值,只需将个位中的一个7减去1,加到另一个7上,或是将个位中的一个8减去1,加到另·...一个8上,………………(10分)即个位化为6,7,8,8,8,8或是7,7,7,7,8,9,则方程E的2-极值的个数为CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(4),6)AEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),2)+CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(4),6)AEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),2)=60.…………………(12分)·...3-极值是1-极值中的n(n=1,2,3)个个位7减去1,加到n个8上;或是一个7减去2,另两个7各加·...·...1;或是两个8各减1加到另一个8上,其个位形式为6,7,7,8,8,9或是6,6,7,8,9,9或是6,6,6,9,9,9或是5,8,8,8,8,8或是7,7,7,7,7,0.………………(14分)其个数为CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),6)CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),4)AEQ\*jc3\*hps11