【排列数与组合数计算7大题型】

【排列数与组合数的计算】总览总览题型梳理题型题型分类知识讲解与常考题型【题型1：排列数的计算】知识讲解知识讲解1.排列的概念从个不同元素中取出（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。2.排列数的定义从个不同元素中取出（）个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。3.排列数的计算公式 公式形式：。 推导过程：对于第一个位置，有种选择；选了第一个位置的元素后，第二个位置就有种选择；第三个位置有种选择；以此类推，第个位置就有种选择。根据分步乘法计数原理，将每个位置的选择数相乘，就得到了排列数的计算公式。 阶乘形式：，其中。例如。当时，，称为个元素的全排列。4.计算示例 例如，计算，根据公式。 再如，计算，。例题精选例题精选【例题1】（2425高二下·山西·阶段练习）若是正整数，则（

）A． B． C． D．【例题2】（2425高二下·湖北武汉·阶段练习）下列等式中，不正确的是（

）A． B．C． D．相似练习相似练习【相似题1】（2425高二下·海南三亚·阶段练习）求的值为.【相似题2】（2425高二下·江苏盐城·阶段练习）用排列数表示且．【题型2：排列数公式的证明】知识讲解知识讲解1.排列数公式回顾排列数公式为，其中表示元素的总数，表示选取的元素个数，。2.用分步乘法计数原理证明 第1步：从个不同元素中选一个放在第一个位置，有种选法。 第2步：在剩下的个元素中选一个放在第二个位置，有种选法。 第3步：在剩下的个元素中选一个放在第三个位置，有种选法。 …… 第步：在剩下的个元素中选一个放在第个位置，有种选法。根据分步乘法计数原理，完成这件事（即从个不同元素中取出个元素进行排列）共有种不同的方法，所以。3.证明因为，那么，分子分母约去后，就得到，而前面已证，所以。例题精选例题精选【例题1】多选题（2324高二下·重庆·阶段练习）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【例题2】多选题（2122高二上·全国·课后作业）（多选题）下列等式中成立的是（）A． B．C． D．【例题3】（2425高二下·全国·课后作业）证明下列等式．(1)；(2)．相似练习相似练习【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）求解下列问题：(1)计算：；(2)求证：．【相似题2】（2223高二·全国·课堂例题）求证：．【相似题3】（2223高二·全国·课堂例题）证明：．【题型3：排列的解方程与不等式】知识讲解知识讲解排列数解方程1.根据排列数公式展开 首先将方程中涉及的排列数根据公式展开。例如，对于方程，根据公式展开得到。2.化简方程 对展开后的式子进行化简。在中，展开括号得，移项化为。3.求解方程 通过试值法、因式分解等方法求解方程。对于，可以先尝试一些简单的整数，如时，，所以是方程的一个因式。然后利用多项式除法或综合除法将方程因式分解为。对于二次方程，其判别式，无实数根，所以原方程的解为。同时要注意，因为排列数中且，所以要舍去不符合条件的解。排列数解不等式1.根据排列数公式展开 与解方程类似，先将不等式中的排列数按照公式展开。例如，对于不等式，展开得到。2.化简不等式 把展开后的式子进行化简，可化为。3.求解不等式 对于一元二次不等式，先因式分解为，得到或。又因为且在排列数中（这里），所以不等式的解集为且。同样，要根据排列数的定义和条件，对解进行筛选和取舍，确保解符合实际意义例题精选例题精选【例题1】（2425高二下·新疆哈密·阶段练习）已知，则等于（

）A．12 B．7 C．6或13 D．6【例题2】（2324高二下·宁夏吴忠·期中）不等式的解集是（

）A． B． C． D．【例题3】（2324高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（

）A． B． C． D．相似练习相似练习【相似题1】（2425高三·上海·课堂例题）若，则.【相似题2】（2425高二下·江苏盐城·阶段练习）（1）计算：；（2）解不等式：.【相似题3】（2425高三·上海·课堂例题）求满足的整数的值.【题型4：组合数的计算】知识讲解知识讲解1.定义式 从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，记作。其计算公式为，其中是排列数。2.阶乘表示式 由排列数公式，以及，将其代入组合数定义式可得。例如，计算，则。3.性质推导式 性质1：。这是因为从个元素中取个元素的组合与从个元素中取个元素的组合是一一对应的。例如，，与的值相等。 性质2：。可以这样理解，从个元素中取个元素的组合数，等于从个元素中取个元素的组合数加上从个元素中取个元素的组合数。比如，要从个元素中选个元素，可先把其中一个元素单独拿出来，那么选法就分为两类，一类是不选这个特殊元素，从剩下个元素中选个，即；另一类是选这个特殊元素，那么就需要从剩下个元素中选个，即，所以。利用这个性质，可以通过已知的组合数来计算其他组合数，在一些计算中能简化过程。例题精选例题精选【例题1】（2425高二下·福建三明·阶段练习）（

）A．9 B．10 C．19 D．20【例题2】（2425高二下·河北沧州·阶段练习）计算的值为（

）A．24 B．32 C．33 D．34【例题3】（2425高二下·广西南宁·阶段练习）已知，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8相似练习相似练习【相似题1】（2425高二下·山东枣庄·阶段练习）已知，则【相似题2】（2425高二下·山东泰安·阶段练习）（1）计算：；（2）若，求的值.（3）化简求值：.【相似题3】（2425高二下·江苏南通·阶段练习）（1）解方程：；（2）计算：；（3）计算.【题型5：组合数公式的证明】知识讲解知识讲解利用组合数的定义证明1.明确组合与排列的概念 组合是从个不同元素中取出个元素并成一组，不考虑元素的顺序。而排列是从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列。2.分析排列数与组合数的关系 对于从个不同元素中取出个元素的排列，它包含了两部分：一是从个元素中选出个元素的组合过程，二是对选出的个元素进行全排列的过程。 从个不同元素中取出个元素的组合数为，而对这个元素进行全排列的排列数为。3.得出组合数公式 因为是由与两个步骤得到的，所以根据分步乘法计数原理，有，那么。利用阶乘表示证明1.根据排列数公式展开 已知排列数公式，且。2.代入组合数公式 由，将和代入可得。证明组合数的性质1.从组合的定义出发 表示从个不同元素中取出个元素的组合数。 那么从个不同元素中取出个元素后，剩下的元素个数为个，从个元素中取个元素的组合数为。2.建立一一对应关系 对于从个元素中取个元素的每一种组合，都对应着一种从个元素中取个元素的组合，即取了个元素后，剩下的就是个元素的组合，反之亦然。所以。证明组合数的性质1.分类讨论 考虑从个不同元素中取出个元素的组合情况。 设这个元素中有一个特殊元素。2.分析含特殊元素与不含特殊元素的组合数 一类是取出的个元素中不包含特殊元素，那么这种组合数就是从除之外的个元素中取出个元素的组合数，即。 另一类是取出的个元素中包含特殊元素，那么相当于从除之外的个元素中取出个元素，再加上特殊元素，这种组合数为。3.得出结论 从个元素中取个元素的组合数，就等于上述两类组合数之和，即。例题精选例题精选【例题1】多选题（2425高二下·山东·阶段练习）排列数和组合数都有丰富的性质和实际应用，下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【例题2】（2024高三·全国·专题练习）求证：【例题3】（2024高三·全国·专题练习）求证：相似练习相似练习【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）利用倒序相加法证明：．【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）求证：.【相似题3】（2024高三·全国·专题练习）求证：．【题型6：组合数方程与不等式】知识讲解知识讲解1.化简不等式 利用组合数公式，将不等式中的组合数展开并化简，尽量将其转化为关于和的较为简单的表达式。例如，对于不等式，根据组合数公式可将其化为，进一步化简得到。2.求解不等式 根据化简后的不等式进行求解。 如果是一元不等式，可按照常规的解不等式方法进行求解。如对于上述化简后的不等式，两边同时乘以去分母得，然后移项、因式分解得，即，通过分析根的情况，得到不等式的解为或，又因为且，所以且。 如果是含有多个变量的不等式，可能需要根据变量的取值范围进行分类讨论，或者利用一些组合数的性质来进一步分析求解。例如，对于不等式，利用组合数性质，则不等式可化为，进一步求解可得，再结合以及等条件确定和的取值范围。3.检验结果 将求得的解代入原不等式进行检验，确保解的正确性。因为在化简和求解过程中可能会出现一些增根或忽略一些条件限制的情况，所以检验是必不可少的步骤。例如在上述例子中，将代入原不等式，即，，满足，说明且是正确的解。同时，要检查解是否满足组合数中对和的取值要求，如且等条件。4.确定最终答案 根据检验结果，确定不等式的最终解集。解集要以符合题目要求的形式表示出来，比如如果是求正整数解，就将满足条件的正整数列举出来或用集合表示；如果是求取值范围，就用区间或不等式的形式表示。例如，对于上述不等式的解为且，可以用集合来表示其解集。例题精选例题精选【例题1】（2425高二下·山东烟台·阶段练习）已知，则的值是（

）A．2 B．4 C．6 D．2或6【例题2】（2425高二下·江苏盐城·阶段练习）若，则.【例题3】（2425高二下·全国·课后作业）已知，则．相似练习相似练习【相似题1】（2425高二下·全国·课后作业）已知组合数，则关于的不等式的解集为．【相似题2】（2425高二上·全国·课后作业）若，则.【相似题3】（2425高二下·山东济宁·阶段练习）解下列方程.(1)若，求.(2)(3).【题型7：组合数的性质及其应用（重难点）】知识讲解知识讲解组合数的性质1.对称性：。 解释：从个不同元素中取出个元素的组合数，与从个不同元素中取出个元素的组合数是相等的。例如，从个元素中选个元素的组合数，与从个元素中选个元素的组合数是一样的。这是因为选出个元素后，剩下的就是个元素，所以这两种选法的数量是相同的。 应用：在计算组合数时，如果接近，可以利用此性质将转化为来简化计算，因为可能更小，计算起来更简便。2.组合数的递推公式：。 解释：考虑从个不同元素中取出个元素的组合数。可以把这个元素分成两类，一类是特定的一个元素，另一类是其余个元素。那么从个元素中取个元素的组合可以分为两种情况：一种是不包含元素的，即从其余个元素中取个元素，组合数为；另一种是包含元素的，那么就需要从其余个元素中取个元素，组合数为。所以。 应用：常用于组合数的计算和证明，例如在杨辉三角中，每一行的数字都是组合数，就可以利用这个递推公式来计算下一行的组合数。同时，在一些证明题中，也可以通过这个公式对组合数进行变形和推导。3.。 解释：从个不同元素中取出个、个、个、、个元素的组合数之和，等于。可以从集合的角度来理解，对于一个有个元素的集合，它的子集个数为，而子集的个数可以通过计算从个元素中取个元素（空集）、取个元素、取个元素……取个元素（全集）的组合数之和得到。 应用：在一些概率问题和组合计数问题中，如果需要计算所有可能情况的总数，就可以利用这个性质。例如，在抛次硬币的试验中，所有可能的结果总数就可以用来表示，也可以理解为从次抛硬币中，出现次正面、次正面、次正面……次正面的所有组合数之和。例题精选例题精选【例题1】（2425高二下·河北邯郸·阶段练习）的值为（

）A． B． C． D．【例题2】（2425高二上·江苏常州·期末）（

）A．55 B．120 C．165 D．220【例题3】多选题（2425高二上·江苏南京·期末）若，为正整数且，则下列等式正确的是（

）A． B．C．若，则 D．相似练习相似练习【相似题1】（2425高二下·江苏盐城·阶段练习）（1）解不等式；（2）计算：；（结果用数字表示）【相似题2】（2425高二下·福建泉州·阶段练习）计算下列各式．(1)解方程：.(2)证明：【相似题3】（2425高二下·江苏南京·阶段练习）（1）已知，求n．（2）．课后针对训练课后针对训练一、单选题1．（2425高二下·福建莆田·阶段练习）不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2425高二下·重庆·阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．3．（2425高二下·陕西商洛·阶段练习）下列等式成立的是（

）A． B． C． D．三、填空题4．（2425高二下·福建