专题105用二元一次方程组解决问题（8大知识点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解）（苏科版）（原卷版）

专题10.5用二元一次方程组解决问题（8大知识点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点1】和差倍分问题：分析：此类问题的关键是找出题目中的和、差、倍、分关系。基本等量关系式为：较大量较小量=相差量，总量=倍数×倍量。解法：设两个未知数，根据题目中的数量关系列出两个方程，组成二元一次方程组求解。【知识点2】产品配套问题：分析：重点是明确配套的比例关系，即加工总量成比例。解法：设生产不同部件的数量为未知数，根据配套关系列出方程，求解得到生产各部件的数量。【知识点3】速度问题：分析：涉及路程、速度和时间的关系，基本关系式为路程=速度×时间。包括相遇问题（两者行驶路程之和等于总路程）、追及问题（两者行驶路程之差等于初始距离或特定路程差）等。解法：设两个物体的速度分别为未知数，根据题目中的路程和时间信息列出方程组求解。【知识点4】航速问题：分析：要考虑顺流（风）和逆流（风）时的速度变化。顺流（风）时，航速=静水（无风）时的速度+水（风）速；逆流（风）时，航速=静水（无风）时的速度水（风）速。解法：设船在静水中的速度和水流速度（或飞机在无风时的速度和风的速度）为未知数，根据顺流和逆流的路程、时间等条件列出方程组求解。【知识点5】工程问题：分析：基本关系式是工作总量=工作效率×工作时间，有时需把工作总量看作1。解法：设甲、乙等不同工作主体的工作效率为未知数，根据工作总量、工作时间等信息列出方程组求解。【知识点6】盈亏问题：分析：关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量。解法：设物品的数量和分配的对象数量为未知数，根据盈和亏的情况列出方程组求解。【知识点7】数字问题：分析：首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。对于两位数，可表示为十位数字×10+个位数字；三位数可表示为百位数字×100+十位数字×10+个位数字等。解法：设数字的各个数位上的数字为未知数，根据数字之间的关系列出方程组求解。【知识点8】几何问题：分析：基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式。如长方形的周长=2×（长+宽），面积=长×宽；三角形的面积=底×高÷2等。解法：设几何图形的相关边长、角度等为未知数，根据几何图形的性质和已知条件列出方程组求解。考点与题型目录【题型1】方案问题（二元一次方程组的应用）...........................................2【题型2】行程问题（二元一次方程组的应用）...........................................2【题型3】工程问题（二元一次方程组的应用）...........................................3【题型4】数字问题（二元一次方程组的应用）...........................................3【题型5】年龄问题（二元一次方程组的应用）...........................................4【题型6】分配问题（二元一次方程组的应用）...........................................4【题型7】销售、利润问题（二元一次方程组的应用）.....................................5【题型8】和差倍分问题（二元一次方程组的应用）.......................................5【题型9】几何问题（二元一次方程组的应用）...........................................6【题型10】图表信息题（二元一次方程组的应用）........................................6【题型11】古代问题（二元一次方程组的应用）..........................................7第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】方案问题（二元一次方程组的应用）【例1】（2324七年级下·全国·课后作业）某地区因强降雨天气引起洪水灾害，有名群众被困，某救援队立即前往救援．已知艘小型船和艘大型船一次可救援名群众，艘小型船和艘大型船一次可救援名群众．（1）每艘小型船和每艘大型船各能载多少名群众？（2）若安排艘小型船和艘大型船一次救援完所有被困群众，且恰好每艘船都载满，请设计出所有的安排方案．【变式1】（2025·辽宁沈阳·一模）小明在文具店购买笔记本和水性笔（两种物品都买）；其中笔记本每本元，水性笔每支元，小明一共花费了元，则小明共有几种购买方案？下列答案正确的是（）A．种 B．种 C．种 D．种【变式2】（2425七年级下·全国·课后作业）某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱，B种货物每箱．因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，则甲车有箱货物装错．【题型2】行程问题（二元一次方程组的应用）【例2】（2425七年级下·全国·课后作业）甲，乙在的环形跑道上跑步，两人从某起点同时出发．如果同向而行，那么经过甲比乙多跑一圈；如果反向而行，那么经过两人第一次相遇．（1）求甲，乙两人的速度；（2）甲，乙同向而行时，丙也在跑道上跑步，且与甲，乙方向一致．若出发后甲追上丙，出发后乙追上丙，则出发时丙在甲，乙前面多少米？丙的速度是多少？【变式1】（2425七年级下·全国·课后作业）甲，乙两船相距，相向而行，后相遇；同向而行，甲后追上乙．水流速度忽略不计，甲，乙两船的速度分别为（

）A． B．C． D．【变式2】（2425七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲地到乙地由一段平路与一段上坡路组成，小明步行往返一次用了5小时，若在平路上每小时走4千米，上坡每小时走3千米，下坡每小时走6千米，那么小明这5小时共走千米．【题型3】工程问题（二元一次方程组的应用）【例3】（2025七年级下·浙江·专题练习）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付费用元，问：（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？（2）已知甲组单独完成需天，乙组单独完成需天，单独请哪个组，商店所需费用最少？（3）若装修完后，商店每天可赢利元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论）【变式1】（2223七年级下·广东广州·阶段练习）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（

）天．A． B． C． D．【变式2】（2425七年级上·河南商丘·期末）两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件．【题型4】数字问题（二元一次方程组的应用）【例4】（2425七年级下·河北唐山·阶段练习）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45．（1）试通过列一元一次方程的方法求出原来的两位数；（2）若设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，依据题意列出关于x，y的方程组（无需求解），并检验（1）中求得的结果是否满足所列的方程组．【变式1】（2425七年级下·全国·课后作业）佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下：时刻里程碑上的数是一个两位数，数字之和为7十位数字与个位数字相比时看到的刚好颠倒比看到的两位数中间多了个0则时看到的两位数是（

）A．15 B．16 C．25 D．34【变式2】（2425八年级上·广东佛山·期末）有一个三位数，将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小，又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小，则原来的数是．【题型5】年龄问题（二元一次方程组的应用）【例5】（2324七年级上·福建三明·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在岁时，将为奶奶贺白寿．【变式1】（2223七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（

）A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式2】（2324七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话：根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是．【题型6】分配问题（二元一次方程组的应用）【例6】（2425七年级下·甘肃天水·阶段练习）食品安全标准是关乎民生的重大的事情，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但在日常生活中适量的、科学的添加一些添加剂对人体健康无害而且有利于提高食品的口感，方便储存和运输等，某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共1500桶，需加入同种食品添加剂3400克，其中饮料每桶需添加添加剂2克，饮料每桶需添加添加剂3克，求饮料加工厂生产了两种饮料各多少桶？【变式1】（2025·天津·模拟预测）一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（

）A． B．C． D．【变式2】（2324七年级下·全国·课后作业）有大、小两种型号的货车，辆大货车与辆小货车一次可以运货，辆大货车与辆小货车一次可以运货，则辆大货车与辆小货车一次可以运货t．【题型7】销售、利润问题（二元一次方程组的应用）【例7】（2025·海南·模拟预测）文海中学开设的校本课程，购买了，两种型号的机器人模型，已知型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，购买台型机器人模型的费用比购买台型机器人模型的奇用多元．（1）请问型，型机器人模型的单价分别是多少元？（2）现在学校要求买、两种机器人模型，刚好用完一万现金，有几种方案呢？【变式1】（2425七年级下·全国·课后作业）已知两件服装的成本共500元，某服装店老板分别以和的利润率定价后进行销售，共获利130元，则两件服装的成本分别为（

）A．300元，200元 B．200元，300元 C．250元，250元 D．240元，260元【变式2】（2425七年级下·全国·课后作业）甲，乙两件服装的成本共500元，商店老板决定将甲服装按的利润率定价，乙服装按的利润率定价．在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按九折出售，这样商店共获得157元的利润．在这个情境中，甲，乙两件服装的成本分别是元和元．【题型8】和差倍分问题（二元一次方程组的应用）【例8】（2025·山西运城·模拟预测）2024年10月30日，搭载“神舟十九号”载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，将航天员蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利送入太空，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功.某电商平台经销商看准商机，迅速推出“天宫”和“神舟”两款模型玩具，已知销售店老板从玩具生产商购进1个“天官”模型的费用比购进1个“神舟”模型的费用多20元；购进3个“天宫”模型的费用与购进4个“神舟”模型的费用相等.分别求“天宫”模型和“神舟”模型的进货单价.【变式1】（2324七年级下·河南新乡·期末）汽车运输公司有A，B两种车型的旅游大客车，已知两种车型的座位数不同，1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，则A，B两种车型大客车的座位数分别为（

）A．45，60 B．65，45 C．40，65 D．60，45【变式2】（2024七年级下·全国·专题练习）李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需，则李师傅加工8个甲种零件和16个乙种零件共需．【题型9】几何问题（二元一次方程组的应用）【例9】（2425八年级下·宁夏银川·开学考试）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现在仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，求竖式和横式的纸盒各做了多少个？【变式1】（2425七年级下·浙江绍兴·阶段练习）有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的方式摆放，若小长方形的长为x，宽为y，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式2】（2425七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图是由7个形状、大小都相同的小长方形和阴影部分无缝隙拼合而成的一个大长方形，则图中阴影部分的面积为．【题型10】图表信息题（二元一次方程组的应用）【例10】（2425七年级下·江苏苏州·阶段练习）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下：人数人人人以上票价元/人元/人元/人（1）若甲公司有人游览，则共付门票费______元；若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览；（2）若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数．【变式1】（2425七年级下·河南南阳·阶段练习）若a、b表示非零常数，的值随x的取值而发生变化，如表