数学（北师大版必修3）练习14课时作业5数据的数字特征

课时作业(五)数据的数字特征基础达标一、选择题1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本中的中位数、众数、极差分别是()A．46,45,56 B．46,45,53C．47,45,56 D．45,47,53解析：样本中共有30个数据，中位数为eq\f(45＋47,2)＝46；显然样本中数据出现次数最多的为45，故众数为45；极差为68－12＝56，故选A．答案：A2．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是()A．35 B．－3C．3 D．－0.5解析：∵在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15少输入90，而eq\f(90,30)＝3，∴平均数少3，∴求出的平均数减去实际的平均数等于－3.答案：B3．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了运动员在8场比赛中的得分，用茎叶图表示如图，则该组数据的标准差为()A．eq\f(\r(17),2) B．eq\f(\r(15),2)C．eq\f(\r(19),4) D．eq\f(\r(17),4)解析：根据茎叶图可知这8场比赛中得分为18,18,14,17,18,18,20,21，这8场比赛得分的平均数是eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,8)×(18＋18＋14＋17＋18＋18＋20＋21)＝18，所以他在这8场比赛中得分的方差是s2＝eq\f(1,8)×[(18－18)2＋(18－18)2＋(14－18)2＋(17－18)2＋(18－18)2＋(18－18)2＋(20－18)2＋(21－18)2]＝eq\f(15,4).所以该组数据的标准差为s＝eq\f(\r(15),2).答案：B4．如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为eq\o(x,\s\up6(－))A和eq\o(x,\s\up6(－))B，样本标准差分别为sA和sB，则()A．eq\o(x,\s\up6(－))A＞eq\o(x,\s\up6(－))B，sA＞sB B．eq\o(x,\s\up6(－))A＜eq\o(x,\s\up6(－))B，sA＞sBC．eq\o(x,\s\up6(－))A＞eq\o(x,\s\up6(－))B，sA＜sB D．eq\o(x,\s\up6(－))A＜eq\o(x,\s\up6(－))B，sA＜sB解析：A中的数据都不大于B中的数据，所以eq\o(x,\s\up6(－))A＜eq\o(x,\s\up6(－))B，但A中的数据比B中的数据波动幅度大，所以sA＞sB.答案：B二、填空题5．某班50名学生右眼视力的检查结果如下表所示：视力0.10.20.30.40.50.60.70.81.01.21.5人数113434468106则该班学生右眼视力的众数为________，中位数为________．解析：中间位置的数据0.8与0.8的平均值，0.8为中位数，出现次数最多的数据1.2是众数．答案：1.20.86．已知总体中的个体由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，则a＋b＝________.解析：由题知中位数为eq\f(a＋b,2)＝10.5，可得a＋b＝21.答案：21三、解答题7．某班50名同学右眼视力的检测结果如下图所示：试求该班同学右眼视力的平均数，中位数、众数．解：由题图可知，右眼视力的平均数为：(0.2＋0.3×2＋0.4×3＋0.5×5＋0.6×5＋0.7×6＋0.8×6＋1.0×7＋1.2×9＋1.5×8)÷50＝46.3÷50＝0.926；中位数应该是第25、第26这两个数据的平均数，由于右眼视力不超过0.8的同学共有1＋2＋3＋5＋5＋6＋6＝28(人)，因此第25、第26这两个数据均为0.8，故中位数是0.8；由条形统计图知，视力为1.2的同学最多，有9人，因此众数是1.2.8．为了解甲、乙两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位：1000轮胎甲：96,112,97,108,100,103,86,98轮胎乙：108,101,94,105,96,93,97,106(1)分别计算甲、乙两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数；(2)分别计算甲、乙两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差；(3)根据以上数据你认为哪种轮胎性能更加稳定？解：(1)甲种轮胎行驶的最远里程的平均数为eq\f(96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98,8)＝100(1000km)，中位数为eq\f(100＋98,2)＝99(1000km)乙种轮胎行驶的最远里程的平均数为eq\f(108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106,8)＝100(1000km)，中位数为eq\f(101＋97,2)＝99(1000km(2)甲种轮胎行驶的最远里程的极差为112－86＝26(1000km标准差为s＝eq\r(\f(－42＋122＋－32＋82＋0＋32＋－142＋－22,8))＝eq\f(\r(221),2)≈7.43(1000km)．乙种轮胎行驶的最远里程的极差为108－93＝15(1000km标准差为s＝eq\r(\f(82＋12＋－62＋52＋－42＋－72＋－32＋62,8))＝eq\f(\r(118),2)≈5.43(1000km)．(3)由于甲、乙两种轮胎的最远行驶里程的平均数相同，而乙种轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小，所以乙种轮胎性能更加稳定．能力提升一、选择题1．(2016·课标全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃A．各月的平均最低气温都在0℃B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃解析：由雷达图易知A、C正确．七月份平均最高气温超过20℃，平均最低气温约为13℃；一月份平均最高气温约为6℃，平均最低气温约为2℃，所以七月的平均温差比一月平均温差大，故B正确．答案：D2．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是()①平均数eq\o(x,\s\up6(－))≤3；②标准差s≤2；③平均数eq\o(x,\s\up6(－))≤3且标准差s≤2；④平均数eq\o(x,\s\up6(－))≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4.A．①② B．③④C．③④⑤ D．④⑤解析：①②③错，④对，若极差等于0或1，且eq\o(x,\s\up6(－))≤3的条件下显然符合指标，若极差等于2且eq\o(x,\s\up6(－))≤3，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：(1)0,2，(2)1,3，(3)2,4，符合指标⑤对，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标，故选D.答案：D二、填空题3．一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是________．解析：法一设原来的数据为x1，x2，x3，…，xn，则新数据为2x1－80,2x2－80,2x3－80，…，2xn－80，所以eq\f(2x1－80＋2x2－80＋…＋2xn－80,n)＝1.2，所以eq\f(2x1＋x2＋…＋xn－80n,n)＝1.2，即eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝40.6，eq\f(1,n)[(2x1－80－1.2)2＋(2x2－80－1.2)2＋…＋(2xn－80－1.2)2]＝4.4，即eq\f(1,n)[(2x1－81.2)2＋(2x2－81.2)2＋…＋(2xn－81.2)2]＝4.4，则eq\f(1,n)[(x1－40.6)2＋(x2－40.6)2＋…＋(xn－40.6)2]＝eq\f(1,4n)[(2x1－81.2)2＋(2x2－81.2)2＋…＋(2xn－81.2)2]＝eq\f(1,4)×4.4＝1.1.法二设原数据的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，方差为s2，则数据中的每一个数都乘2，再都减80，得一组新数据后，新数据的平均数为2eq\o(x,\s\up6(－))－80，方差为22s2，由题意得2eq\o(x,\s\up6(－))－80＝1.2,22s2＝4.4，解得eq\o(x,\s\up6(－))＝40.6，s2＝1.1.答案：40.6,1.14．已知x是1,2,3，x,5,6,7这7个数据的中位数，且1,2，x2，－y这4个数据的平均数为1，则y－eq\f(1,x)的最小值为________．解析：x是1,2,3，x,5,6,7这7个数据的中位数，说明3≤x≤5,1,2，x2，－y这4个数据的平均数为1，说明1＋2＋x2－y＝4，因此y＝x2－1，y－eq\f(1,x)＝x2－eq\f(1,x)－1，当3≤x≤5时，这是关于x的增函数，所以y－eq\f(1,x)的最小值为32－eq\f(1,3)－1＝eq\f(23,3).答案：eq\f(23,3)三、解答题5．某医院门诊部关于病人等待挂号的时间记录如下：等待时间(min)[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]频数48521(1)试用上述分组资料来求病人平均等待时间的估计值eq\o(x,\s\up6(－))及平均等待时间标准差的估计值s；(2)为更好地服务病人，提高效率，医院应如何规定病人等待的时间范围？解：(1)易知：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)eq\o(∑,\s\up6(5))eq\o(,\s\do4(i＝1))xipi，s2＝eq\f(1,20)eq\o(∑,\s\up6(5))eq\o(,\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2pi，其中xi为组中值，pi为相应的频数．eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5(min)．s2＝eq\f(1,20)[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5(min2)．s＝eq\r(28.5)≈5.34(min)．∴病人平均等待时间为9.5min，标准差约为5.34min.(2)由(1)知平均等待时间为9.5min，标准差约为5.34min.∴规定病人等待的时间范围为4.16～14.84min为好．6．甲、乙两名选手在相同的条件下各射靶10次，每次射靶的成绩如图所示．(1)填写下表.选手平均数方差中位数命中9环及以上次数甲71.21乙5.43(2)请从三个不同的角度对这次测试进行分析．①从平均数和方差结合看(分析偏离程度)；②从平均数和中位数结合看(分析谁的成绩好些)；③从平均数和命中9环及以上的次数结合看(分析谁的成绩好些)．解：(1)从图中可看出，乙的射击环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.可知eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7(环)，将乙中的数据按由小到大的顺序排列为：2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所以中位数是eq\f(7＋8,2)＝7.5.从图中可看出，甲1