北京市门头沟区2025届高三下学期3月一模数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1北京市门头沟区2025届高三下学期3月一模数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，又，所以，即为.故选：D.2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知复数对应的点的坐标是，所以.

将代入，可得.即：.故选：B.3.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】对于A，是奇函数，在上单调递增，满足条件；对于B，是奇函数，因为导函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以在上不是单调函数，不满足条件；对于C，的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，不满足条件；对于D，是奇函数，但在上不是单调函数，不满足条件.故选：A.4.“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】法一：由题意，联立方程可得，当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点；当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意.所以，直线与双曲线只有一个公共点时，.所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图，根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有交点.所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.故选：C.5.已知向量，满足，，且，的夹角为，则（）A. B. C.5 D.10【答案】C【解析】由题意得.故选：C.6.已知圆，直线，当变化时，若过直线上任意一点总能作圆的切线，则的最大值为（）A.0 B. C.1 D.【答案】D【解析】由圆可知圆心，半径；根据题意若过直线上任意一点总能作圆的切线，可知直线和圆相离或相切；因此圆心到直线的距离，解得，因此的最大值为.故选：D7.已知函数，满足，且在区间上具有单调性，则的值可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为满足，且在区间上具有单调性，则点和关于点对称，即为函数的对称中心，又由函数的零点为，解得，所以，解得，当时，，即的值可以是.故选：B.8.某纪念塔的一部分建筑结构可抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，，顶点到底面的距离为3，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，且底面是等腰直角三角形，，所以点在平面上的射影为边的中点，在直角三角形中，由勾股定理得,所以,又因为底面是等腰直角三角形，，;设点到平面的距离为，则,所以.故选：C9.已知函数，若既不存在最大值也不存在最小值，则下列，关系中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，，对其求导可得.因为恒成立，所以在上单调递增.此时.，，则，故在上函数值的取值范围为.当时，，的值域是，所以的值域是.因为既不存在最大值也不存在最小值，所以且，即且.选项A：由且，不能推出，例如，时，，所以A选项错误.选项B：前面已推出，所以B选项正确.选项C：由且，不能得出，例如，时，，所以C选项错误选项D：由且不能得出，例如，时，，所以D选项错误.故选：B.10.已知函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（）A.不存在，使得有无数个零点 B.有3个零点的充要条件是C.存在，使得有4个零点 D.存在，使得有5个零点【答案】C【解析】由题意知，是函数的一个零点，时，，可得，令，通过GeoGebra得到函数图象当时；；；当时；；；由函数图象可知的值域为.对于选项A，当时，有无数个零点，故A错误；对于选项B，有3个零点的条件是，故B错误；对于选项C，当时，有4个零点;对于选项D，不存在,使得有5个零点.故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.的展开式中的系数为______________.（用数字作答）【答案】【解析】对于，则式展开式的通项为.要得到项，令，解得.当时，.所以.故的系数为.故答案为：.12.已知抛物线的焦点为，过点且垂直于其对称轴的直线交于点，，若，则焦点到其准线的距离为_________________.【答案】2【解析】抛物线的焦点为，因为过点且垂直于其对称轴的直线交于点，，所以，将，代入抛物线方程，可得，所以，解得，焦点到其准线的距离为.故答案为：.13.在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，写出一个符合题意的_______________.【答案】（答案不唯一）【解析】由题意，，则或故答案为：（答案不唯一）.14.某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了_____________万个充电桩；从第1年起，约_____________年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）.（参考数据：，）【答案】①.2.88②.8【解析】由题意可知第3年新建设万个充电桩；假设第年后充电桩总量达到30万个，则，即，取对数得，即约8年内，可达到要求.故答案为：2.88，815.已知数列满足，，给出下列四个结论：①存在，使得为常数列；②对任意的，为递增数列；③对任意的，既不是等差数列也不是等比数列；④对于任意的，都有.其中所有正确结论的序号是_______________.【答案】②③④【解析】对于①，若为常数列，则，根据递推公式，可得，进而可得，解得，又，故不存在，使得为常数列，故①错误；对于②，对于，由递推公式，可得，所以，，所以，所以数列是递增数列，结论②正确；对于③，若是等差数列，则为常数，可得常数，则可得是常数数列，则，与矛盾，故对任意的，既不是等差数列，若是等比数列，则为常数。根据递推公式，即为常数，则为常数数列，则可得，这与矛盾，所以对任意，不是等比数列；综上所述：对任意的，既不是等差数列也不是等比数列，故③正确；对于④，由，两边平方得，故④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体中，中点，与平面交于点.（1）求证：为的中点；（2）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：依题意连接，如下图所示：由正方体性质可得，又平面，平面，可得平面，因为与平面交于点，即平面平面，可得，因此，又为中点，可得为的中点；（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：不妨设正方体的棱长为2，可得，即；设平面的一个法向量为，则，令，可得，即；显然平面的一个法向量可以为，因此平面与平面夹角的余弦值为；可得平面与平面夹角的余弦值.17.在中，角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：，；条件②：，；条件③：边上的高，.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.解：（1）因为，由正弦定理得，，又，所以，得到，又，又，所以，得到，所以.（2）选条件①：，；由（1）知，，根据正弦定理知，所以存在或两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件；选条件②：，因为，即，又，所以，所以只有成立，存在且唯一确定，所以的面积为.选条件③：边上的高，；如图所示，边上的高，在中，，即，由（1）知，，根据余弦定理知，，化简得，得(舍去)或，存在且唯一确定，所以的面积为.18.不同AI大模型各有千秋，适配领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同AI大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：甲学院乙学院使用不使用使用不使用款40人80人60人20人款70人50人30人50人假设所有学生对，两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率，（1）分别估计该校甲学院学生使用款大模型的概率、该校乙学院学生使用款大模型的概率；（2）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，估计的数学期望；（3）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小，（结论不要求证明）.解：（1）由表格可知：该校甲学院学生使用款大模型概率为，该校乙学院学生使用款大模型的概率为（2）由题意可知的可能取值为：，则，，，，所以；（3）同第一问，可知该校甲学院学生使用款大模型的概率为,该校乙学院学生使用款大模型的概率为，易知，由二项分布的方差公式可知，，则.19.已知椭圆的一个顶点为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，点关于轴的对称点为，求证：四边形为菱形.解：（1）因椭圆顶点为，离心率为，则，所以，故椭圆方程为：；（2）由题，设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立，可得.即得化简得因直线与椭圆交于不同的两点，则.设，由韦达定理.又设，令得；设，令得；又因为.所以，，所以平分，所以四边形为菱形.20.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设，讨论函数的单调性；（3）若在定义域上单调递减，求的取值范围.解：（1）当时可得，则，此时，因此切线方程为，即；（2）由可得其定义域为；且，即，显然，当时，，此时在上单调递增；当时，令可得，若，，此时在上单调递增；若，，此时在上单调递减；综上可得，当时，在上单调递增；当时，上单调递增，在上单调递减.（3）若在定义域上单调递减，可得在上恒成立；由（2）可得当时，即在上单调递增，当，可得，显然不合题意；当时，可得在上单调递增，在上单调递减；即在处取得极大值，也是最大值；即恒成立；令，；则，显然当时，，此时在上单调递减；当时，，此时在上单调递增；因此，即，又恒成立，可得，即.所以的取值范围为.21.已知有限数列，其中，.在中选取若干项按照一定次序排列得到的数列称为的一个子列，对某一给定正整数，若对任意的，均存在的相应子列，使得该子列的各项之和为，则称具有性质.（1）判断：，，，，，，是否具有性质？说明理由；（2）若，是否存在具有性质？若存在，写出一个，若不存在，说明理由；（3）