高考数学一轮复习讲义第十章计数原理、概率、随机变量及其分布

计数原理、概率、随机变量及其分布

§10.1两个计数原理

【考试要求】1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2会用分类加法计数原理和分步

乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.

主干知识

【知识梳理】

两个计数原理

(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有机种不同的方法，在

第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.

(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有机种不同的方法，做第2步有

w种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.

【常用结论】

1.分类加法计数原理的推广：完成一件事有〃类不同方案，在第1类方案中有恤种不同的

方法，在第2类方案中有他种不同的方法，……，在第”类方案中有如种不同的方法，那

么完成这件事共有N—M11+"22H种不同的方法.

2.分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要〃个步骤，做第1步有加种不同的方法，做

第2步有加2种不同的方法，……，做第"步有如种不同的方法，那么完成这件事共有N=

X切2义…X种不同的方法.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“义”)

(1)在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同.(X)

(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.(V)

(3)在分步乘法计数原理中，只有各步骤都完成后，这件事情才算完成.(V)

(4)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(V)

【教材改编题】

1.已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为()

A.16B.13C.12D.10

答案C

解析将4个门编号为1,2,3,4,从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2,3,4

号门进入，同样各有3种走法，不同走法共有4X3=12（种）.

2.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在

本班监考，则不同的监考方法有（）

A.8种B.9种C.10种D.11种

答案B

解析设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班级分别为a,b,c,d,假设A监考6,则

余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c,d时，也分别有3种不同

方法.由分类加法计数原理可知，共有3+3+3=9（种）不同的监考方法.

3.由于用具简单、趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.某棋局的一部分如图所示，

若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每

次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，其中也能把“炮”吃

掉的可能路线有（）

A.10条B.8条C.6条D.4条

答案C

解析由题意可知，“兵”吃掉“马”的最短路线需横走三步，竖走两步；

其中也能把“炮”吃掉的路线可分为两步：第一步，横走两步，竖走一步，有3种走法；第

二步，横走一步，竖走一步，有2种走法.

所以所求路线共有3X2=6（条）.

■探究核心题型

题型一分类加法计数原理

例1（1）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每

位朋友一本，则不同的赠送方法共有（）

A.4种B.10种C.18种D.20种

答案B

解析赠送1本画册，3本集邮册.需从4人中选取1人赠送画册，其余赠送集邮册，有4

种方法.赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人赠送画册，其余2人赠送集邮

册，有6种方法.由分类加法计数原理可知，不同的赠送方法共有4+6=10（种）.

⑵如果一个三位正整数如“414203”满足且。2＞的，则称这样的三位数为凸数（如

120,343,275等），那么所有凸数的个数为.

答案240

解析若的=2,则百位数字只能选1,个位数字可选1或0,“凸数”为120与121,共2

个.若念=3,则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2义3=6（个）.若

痣=4,满足条件的“凸数”有3义4=12（个），……，若3=9,满足条件的“凸数”有8X9

=72（个）.所以所有凸数共有2+6+12+20+30+42+56+72=240（个）.

思维升华使用分类加法计数原理的两个注意点

（1）根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏.

（2）分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.

跟踪训练1（1）（2023•太原模拟）现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成

的币值有（）

A.3种B.6种C.7种D.8种

答案C

解析由题意得，

三种币值取一张，共有3种取法，币值分别为拾圆、贰拾圆、伍拾圆；

三种币值取两张，共有3种取法，币值分别为叁拾圆、陆拾圆、柒拾圆；

三种币值全取，共有1种取法，币值为捌拾圆.

一共可以组成的币值有3+3+1=7（种）.

⑵设/={1,2,3,4},A与3是/的子集，若ACB={1,2},则称（A,B）为一个“理想配集”.若

将（A,B）与（8,A）看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”有个.

答案9

解析对子集A分类讨论：

当A是二元集{1,2}时，8可以为{1,2,3,4},{1,2,4},{1,2,3},{1,2},共4种情况；

当A是三元集{1,2,3}时，8可以为{1,2,4},{1,2},共2种情况；

当A是三元集{1,2,4}时，3可以为{1,2,3},{1,2},共2种情况；

当A是四元集{1,2,3,4}时，B取{1,2},有1种情况.

根据分类加法计数原理可知，共有4+2+2+1=9（种）结果，即符合此条件的“理想配集”有

9个.

题型二分步乘法计数原理

例2（1）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版，由3行3列9

个单元格构成.玩该游戏时，需要将数字1,2,3（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个

数字，要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有（）

第一列第二列第三列

第一行

第二行□二

第三行□□□

A.12种B.24种C.72种D.216种

答案A

解析先填第一行，有3X2X1=6（种）不同填法，再填第二行第一列，有2种不同填法，当

该单元格填好后，其他单元格唯一确定.根据分步乘法计数原理可知，共有6X2=12（种）不

同的填法.

⑵（多选）（2022・武汉模拟）现安排高二年级A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行

社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是

（）

A.共有43种不同的安排方法

B.若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种

C.若A同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种

D.若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种

答案ABD

解析对于A,A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，

每个学生有4种选法，则三个学生有4X4X4=43（种）选法，故A正确；

对于B,三人到4个工厂，有43=64（种）情况，其中甲工厂没有人去，

即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有33=27（种），

则甲工厂必须有同学去的安排方法有64—27=37（种），故B正确；

对于C,若同学A必须去甲工厂，剩下2名同学安排到4个工厂即可，有42=16（种）安排方

法，故C错误；

对于D,若三名同学所选工厂各不相同，有4X3X2=24（种）安排方法，故D正确.

思维升华利用分步乘法计数原理解题的策略

（1）明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的.

（2）将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，

整个事件才算完成.

跟踪训练2（1）教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，则由一层到五层不同的走法有（）

A.10种B.25种C.52种D.24种

答案D

解析每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步.

由分步乘法计数原理可知，共有24种不同的走法.

（2）（多选）有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是（）

A.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有34种

B.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有43种

C.每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种

D.每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有43种

答案AD

解析对于A,B,第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，后面的2个同学也有3

种报法，根据分步乘法计数原理知共有34种结果，A正确，B错误；对于C,D,每个社团

限报一个人，则第1个社团有4种选择，第2个社团有4种选择，第3个社团有4种选择，

根据分步乘法计数原理知共有43种结果，D正确，C错误.

题型三两个计数原理的综合应用

例3（1）有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出

2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是（）

A.14B.23C.48D.120

答案C

解析分两步：第1步，取多面体，有5+3=8（种）不同的取法；第2步，取旋转体，有4+

2=6（种）不同的取法.所以不同的取法种数是8X6=48.

（2）（2023・南平质检）甲与其他四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9,0,2,1,5,为遵守当

地某月5日至9日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数

的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则

不同的用车方案种数为.

答案80

解析5日至9日，日期尾数分别为5,6,7,8,9,有3天是奇数日，2天是偶数日.第一步，安

排偶数日出行，每天都有2种选择，共有2X2=4（种）用车方案；第二步，安排奇数日出行，

分两类，第一类，选1天安排甲的车，另外2天安排其他车，有3X2X2=12（种）用车方案，

第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有23=8（种）用车方案，共计12+8=20（种）

用车方案.根据分步乘法计数原理可知，不同的用车方案种数为4X20=80.

思维升华利用两个计数原理解题时的三个注意点

（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事.

（2）分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图.

（3）对于复杂问题，一般是先分类再分步.

跟踪训练3（1）有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有2套不同样式的连衣裙.需

选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为（）

A.24B.14C.10D.9

答案B

解析第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4义3=12（种）选择方式；第二类：选2

套连衣裙中的一套服装有2种选法，由分类加法计数原理可知，共有12+2=14（种）选择方式.

（2）如图，。省分别与从c,d,e四省交界，且6,c,1互不交界，在地图上分别给各省地域

涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案种数为（）

A.480B.600

C.720D.840

答案C

解析依题意，按c与d涂的颜色相同和不同分成两类：

若c与d涂同色，先涂1有5种方法，再涂。有4种方法，涂c有1种方法，涂e有3种方

法，最后涂b有3种方法，由分步乘法计数原理得到不同的涂色方案有5X4X1X3X3=

180（#）,

若。与d涂不同色，先涂d有5种方法，再涂a有4种方法，涂c有3种方法，涂e,。也各

有3种方法，

由分步乘法计数原理得到不同的涂色方案有5X4X3X3X3=540（种），

所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有180+540=720（种）.

课时精练

《基础保分练

1.小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络相连.连线上标注的数字表示该

段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现在从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿

不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）

2

B

1

A.9B.21C.12D.8

答案D

解析由图形可以看出，从可以分成两种情况，Af£）f8或AfC—2,

这两类方法中各自包含的单位时间内通过的信息量分别是5,3,根据分类加法计数原理可知，

传递的最大信息量为5+3=8.

2.（2023・济宁模拟）某省新高考采用“3+1+2”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外

语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择1个科目；“2”为

再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目.已知小明同学

必选化学，那么他可选择的方案共有（）

A.4种B.6种C.8种D.12种

答案B

解析根据题意得，分两步进行分析：

①小明必选化学，则必须在思想政治、地理、生物中再选出1个科目，选法有3种；

②小明在物理、历史科目中选出1个，选法有2种.

由分步乘法计数原理知，小明可选择的方案共有3X2=6（种）.

3.从集合｛1,2,3,…，10｝中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数

列的个数为（）

A.3B.4C.6D.8

答案D

解析以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9；

以2为首项的等比数列为2,4,8；

以4为首项的等比数列为4,6,9；

把这四个数列顺序颠倒，又得到4个新数列，

所以所求的数列共有2X（2+1+1）=8（个）.

4.中国古代将物质属性分为“金、木、土、水、火”五种，其相互关系是“金克木，木克土,

土克水，水克火，火克金”.将五种不同属性的物质任意排成一列，则属性相克的两种物质

不相邻的排法种数为（）

A.8B.10C.15D.20

答案B

解析由题意知，可看作五个位置排列五个元素，第一个位置有5种排列方法，不妨假设是

金，则第二个位置只能从土与水两者中选一种排放，有2种选择，不妨假设排的是水，则第

三个位置只能排木，第四个位置只能排火，第五个位置只能排土，因此，总的排列方法种数

为5X2X1X1X1=10.

5.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、

兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜

欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺

序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有（）

A.360种B.50种

C.60种D.90种

答案B

解析第一类：甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选法，选法有1X2X10=20（种）；

第二类：甲同学选择马，乙有3种选法，丙有10种选法，

选法有1X3X10=30（种）,

所以共有20+30=50（种）选法.

6.（2023・宿州模拟）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面

对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”

的个数为（）

A.12B.24C.36D.48

答案C

解析第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面

对”有2X12=24（个）；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面

对”，这样的“正交线面对”有12个.

所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36（个）.

7.用0,123,4,5,6这7个数字可以组成无重复数字的四位偶数的个数为（）

A.180B.240C.420D.480

答案C

解析以末位数字进行分类：

当末位数字为0时，共有6X5X4=120（个）；

当末位数字是2,4,6中的某个数时，共有3义5义5X4=300（个），

故共有120+300=420（个）不同的数字.

8.（多选）现有4个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有7人、8人、9人、10人,

则下列说法正确的是（）

A.选1人为负责人的选法种数为34

B.每组选1名组长的选法种数为5400

C.若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为420

D.若另有3名学生加入这4个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人选，则不

同的选法有37种

答案AD

解析对于A,4个数学课外兴趣小组共有7+8+9+10=34（人），故选1人为负责人的选法共

有34种，A对;

对于B,分四步：第一、二、三、四步分别为从第一、二、三、四组中各选1名组长，所以

不同的选法共有7X8X9X10=5040（种），B错;

对于C,分六类：从第一、二组中各选1人，有7X8种不同的选法;

从第一、三组中各选1人,有7X9种不同的选法;

从第一、四组中各选1人,有7X10种不同的选法;

从第二、三组中各选1人,有8X9种不同的选法;

从第二、四组中各选1人,有8义10种不同的选法;

从第三、四组中各选1人,有9X10种不同的选法.

所以不同的选法共有7X8+7X9+7X10+8X9+8X10+9X10=431（种），C错；

对于D,若不考虑限制条件，每个人都有4种选法，共有43=64（种）选法，

其中第一组没有人选，每个人都有3种选法，共有33=27（种）选法，

所以不同的选法有64—27=37（种），D对.

9.如图所示，在由连接正八边形的三个顶点构成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形

有个（用数字作答）.

答案40

解析把与正八边形有公共边的三角形分为两类：

第一类，有一条公共边的三角形，共有8义4=32（个）；

第二类，有两条公共边的三角形，共有8个.

由分类加法计数原理可知，共有32+8=40（个）.

10.（2023•保定模拟）算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记数、列式和

进行各种数与式演算的一种工具，是中国古代的一项伟大、重要的发明.在算筹计数法中，

以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表所示：

X.数字

123456789

纵式1IIIII1111muTTurnn

横式

一—一==।_L±

用算筹计数法表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类

推，遇零则置空，知“T=l”表示的三位数为；如果把5根算筹以适当的方式全部

放入下面的表格中，那么可以表示能被5整除的三位数的个数为

答案62114

解析由题意，结合表格中的数据和图形，知“T=l”表示的三位数为621；

共有5根算筹，要能被5整除，则个位数必须为0或5,

①当个位数为5时，不符合题意；

②当个位数为0时，则5根算筹全部放在十位和百位，

若百位有1根,十位有4根，则共有1X2=2（个）三位数;

若百位有2根,十位有3根，则共有2X2=4（个）三位数;

若百位有3根,十位有2根，则共有2X2=4（个）三位数;

若百位有4根,十位有1根，则共有2X1=2（个）三位数;

若百位有5根,十位有0根，则共有2个三位数.

所以共有2+4+4+2+2=14（个）三位数.

会合提升练

11.如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形A8CZ）

内部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成），AABE,ABCF,

△COG,△D4”这4个三角形和“赵爽弦图"ABC。涂色，且相邻区域（即图中有公共点的

区域）不同色，己知有4种不同的颜色可供选择.则不同的涂色方法种数是（）

C.72D.108

答案C

解析设''赵爽弦图"ABC。为①区，AABE,ABCF,△C£）G,△D4”这4个三角形分别

为②，③，④，⑤区.

G

第一步给①区涂色，有4种涂色方法.

第二步给②区涂色，有3种涂色方法.

第三步给③区涂色，有2种涂色方法.

第四步给④区涂色，若④区与②区同色，⑤区有2种涂色方法.

若④区与②区不同色，则④区有1种涂色方法，⑤区有1种涂色方法.

所以共有4X3X2X（2+1X1）=72（种）涂色方法.

12.（2022・怀化模拟）世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强（各

组的前2名小组出线），这16支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，

直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为.

答案64

解析因为8个小组进行单循环赛，每小组进行6场小组赛，所以小组赛的场数为8X6=48,

因为16支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，所以淘汰赛的场数为8+4+2+2=16,因此比

赛进行的总场数为48+16=64.

qjH展冲刺练

13.几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依

次撞击到树枝A,B,C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D,E,F；（3）丙在下落的过

程中依次撞击到树枝G,A,C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B,D,H；（5）戊在下

落的过程中依次撞击到树枝/,C,E,则这九根树枝从高到低不同的顺序共有（）

A.23种B.24种C.32种D.33种

答案D

解析不妨设4B,C,D,E,F,G,H,/代表树枝的高度，九根树枝从上至下共九个位置，

根据甲依次撞击到树枝A,B,C；乙依次撞击到树枝£>,E,F；丙依次撞击到树枝G,A,

C；丁依次撞击到树枝B,D,H；戊依次撞击到树枝I,C,E,可得G>A>B,且G,A,8

在前四个位置，OE>F,D>E>F,且E,尸一定排在后四个位置，

（1）若/排在前四个位置中的一个位置，前四个位置有4种排法，若第五个位置排C,则第六

个位置一定排后三个位置共有3种排法，若第五个位置排。，则后四个位置共有4种排

法，所以/排在前四个位置中的一个位置时，共有4义（3+4）=28（种）排法；

（2）若/不排在前四个位置中的一个位置，则G,4,8,。按顺序排在前四个位置，由于I>C>E>F,

所以后五个位置的排法就是"的不同排法，共5种排法，即若/不排在前四个位置中的一个

位置共有5种排法，

由分类加法计数原理可得，这九根树枝从高到低不同的顺序有28+5=33（种）.

14.若加，〃均为非负整数，在做机+〃的加法时，各位均不进位（例如：134+3802=3936）,

则称（加，力为“简单的”有序数对，机+〃为有序数对（加，〃）的值，那么值为1942的“简单

的”有序数对的个数是.

答案300

解析第1步，1=1+0,1=0+1,共2种组合方式；

第2步，9=0+9,9=1+8,9=2+7,9=3+6,…，9=9+0,共10种组合方式；

第3步，4=0+4,4=1+3,4=2+2,4=3+1,4=4+0,共5种组合方式；

第4步，2=0+2,2=1+1,2=2+0,共3种组合方式.

根据分步乘法计数原理可知，值为1942的“简单的”有序数对的个数为2X10X5X3=300.

§10.2排列与组合

【考试要求】1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利

用排列、组合解决简单的实际问题.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.排列与组合的概念

名称定义

排列从n个不同元素中取按照一定的顺序排成一列

组合出机(mW九)个元素作为一组

2.排列数与组合数

(1)排列数：从“个不同元素中取出机(mW”)个元素的所有丕同排列的个数，用符号缰表示.

(2)组合数：从“个不同元素中取出，球mW”)个元素的所有不同组合的个数,用符号理表示.

3.排列数、组合数的公式及性质

n

C,1n-zuz*

(1)A”1)(〃2)♦(〃in11)/、UN，且m^zn).

m)!(

公式

Amw!

⑵CLA厂M("一")!5，〃,UN,且特别地,d=i

(1)0!=1；An=nl.

性质

.(~^m—r^m1

\^)^n一—〜瓦丁

【常用结论】

1.排列数、组合数常用公式

(l)A^=(n-/77+l)A；r1.

⑵蝴=桢右1.

(3)(〃+1)!—〃！=n'n\.

(4)&£=7©11.

(5)C*+C%i+…+C瓢i+/=cM.

2.解决排列、组合问题的十种技巧

(1)特殊元素优先安排.

⑵合理分类与准确分步.

(3)排列、组合混合问题要先选后排.

(4)相邻问题捆绑处理.

⑸不相邻问题插空处理.

(6)定序问题倍缩法处理.

(7)分排问题直排处理.

(8)“小集团”排列问题先整体后局部.

⑼构造模型.

(10)正难则反，等价转化.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(X)

(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(V)

⑶若组合式C方=C4,则x=/w成立.(X)

(4)A«=n(/7—1)(n—2),•,(n—ni).(X)

【教材改编题】

i.A3+◎等于()

A.35B.47C.45D.57

答案B

解析AHC”4X3+

：JAZA1

2.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是()

A.18B.24C.30D.36

答案C

解析选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有Cr』=18(种)，选出的3人中有1名

男同学2名女同学的方法有clc3=i2(种)，故3名学生中男、女生都有的选法有crj+dc*

=30(#).

3.将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参

加，则不同的安排方案共有种.

答案36

解析第一步，先从4名学生中任取两人组成一组，与剩下2人分成三组，有C?=6(种)不同

的方法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三地，则有A1=6(种)不同的方法.故共有

6X6=36(种)不同的安排方案.

■探究核心题型

题型一排列问题

例1(1)中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型

场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中

一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种

数为（）

A.576B.288C.144D.48

答案B

解析根据题意，雪上技巧项目必须由女队员展示，有2种情况，剩下3人表演其他3个项

目，有A?=6（种）情况，而4个项目之间的排法有Al=24（种）顺序，则有2X6X24=288（种）

展示方案.

（2）用0,1,2,345这六个数字可以组成个无重复数字且不大于4310的四位偶数.

答案110

解析①当千位上排1或3时，符合题意的共有A必3A2个.

②当千位上排2时，符合题意的共有A4AZ个.

③当千位上排4时，形如40XX,42XX的偶数各有A』个符合题意，形如41XX的偶数有

个符合题意，形如43XX的偶数只有4310和4302这两个数符合题意.

故共有AjAjA?+AJA3+2AJ+A3AJ+2=110（个）符合题意.

思维升华对于有限制条件的排列问题，分析问题时，有位置分析法、元素分析法，在实际

进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，

对于分类过多的问题可以采用间接法.

跟踪训练1（1）（2023•武汉模拟）源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发

展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实

验.在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A,8两道程序既

不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（）

A.18种B.36种C.72种D.108种

答案B

解析先排A,8两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2,3,4道程序选两

个放A,B,共有A』种放法；再排剩余的3道程序，共有A?种放法.

则共有A京A?=36（种）放法.

（2）8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则共有

种排法.

答案5760

解析先排甲、乙，有A?种排法，再排丙，有AA种排法，其余5人有A?种排法，故不同的

排法共有AiA|A?=5760（种）.

题型二组合问题

例2（1）（多选）从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的

有（）

A.如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法

B.如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法

C.如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法

D.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法

答案CD

解析如果4人全部为男生，选法有d=15（种），故A错误；

如果4人中男生、女生各有2人，男生的选法有CV=15（种），女生的选法有C3=6（种），则4

人中男生、女生各有2人的选法有15X6=90（种），B错误；

如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有C&=28（种），故

C正确；

在10人中任选4人，有C%=210（种），甲、乙都不在其中的选法有C?=70（种），

故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有210—70=140（种），故D正确.

（2）在某场新闻发布会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中依次选出3名来提问，

要求3人中既有国内记者又有国外记者，且不能连续选国内记者，则不同的选法有（）

A.80种B.180种C.260种D.420种

答案C

解析根据题意，分2种情况讨论，

①选出的3人中有1名国外记者、2名国内记者，

则有＜303=80（种）选法，

②选出的3人中有2名国外记者、1名国内记者，

则有Cgc3A?=18O（种）选法，

由分类加法计数原理可知，共有80+180=260（种）选法.

思维升华组合问题常有以下两类题型

⑴“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，

则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

（2）“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，

考虑逆向思维，用间接法处理.

跟踪训练2（1）从4名男生和3名女生中选派4人去参加课外活动，要求至少有一名女生参

加，则不同的选派种数为（）

A.12B.24C.34D.60

答案C

解析由题可知，选派4人去的总的选派种数为C3=35,选派4人全部是男生的选派种数为

1,所以至少有一名女生参加的不同的选派种数为35—1=34.

（2）如图，从上往下读（不能跳读,即念完标号为②的国字后只能念下一行标号为③或④的荣字,

又如标号为⑤的校字只能接在标号为④的荣字后念），构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”

的不同读法总数为.

爱

市市市市市市

西西西西西

卓卓卓卓

越越越

学学

生

答案252

解析构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法需10步完成（从上一个字到下一个

字为一步），其中5步是从上往左下角方向读，余下5步是从上往右下角方向读，故共有不同

读法C%=252（种）.

题型三排列与组合的综合问题

命题点1相邻、相间问题

例3（多选）有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，正确的是（）

A.全体站成一排，女生必须站在一起有144种排法

B.全体站成一排，男生互不相邻有1440种排法

C.任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种

D.全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种排法

答案BCD

解析对于A,将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有A才种排法，

再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有A1种排法，

故共有A1A才=576（种）排法，故A错误；

对于B,先排女生，将4名女生全排列，有A3种排法，

再安排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排

男生，有A$种排法，

故共有A1A§=1440（种）排法，故B正确；

对于C,任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有C3X2X1=

70（种）,故C正确；

对于D,若甲站在排尾，则有AR种排法，若甲不站在排尾，则有AgAgA?种排法，

故共有Ag+AgAgAg=3720（种）排法,故D正确.

命题点2定序问题

例4有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左

到右，女生从矮到高排列（不一定相邻），不同的排法共有种.

答案840

解析7名学生的排列共有A彳种，其中女生的排列共有A?种，按照从左到右，女生从矮到高

的排列只是其中的一种，故有用=A3=840（种）不同的排法.

命题点3分组、分配问题

例5（1）（2023・岳阳模拟）中国书法历史悠久，源远流长，书法作为一门艺术，以文字为载体,

不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观，谈到书法艺术，就离不开汉字,

汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独

特的艺术，我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现

有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同

的分法种数为（）

国国（

A.60B.90C.120D.150

答案D

解析满足条件的分法可分为两类，

第一类，一人三张，另两人各一张，符合条件的分法有CgAW种，即60种，

第二类，其中一人一张，另两人各两张，符合条件的分法有窄AW种，即90种，

A2

由分类加法计数原理可得，满足条件的不同分法种数为150.

（2）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安

排6名航天员开展实验，其中每个舱安排2人.若甲、乙两人不被安排在同一个舱内做实验,

则不同的安排方案共有（）

A.20种B.36种

C.72种D.84种

答案C

解析将6名航天员每个舱安排2人开展实验的所有安排方法数为ClClCl,

其中甲、乙两人被安排在同一个舱内做实验的安排方法数为C3•等人上

所以满足条件的不同的安排方案数为G・祟-A?=90—18=72.

思维升华求解排列、组合应用问题的常用方法

捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列

对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面

插空法

元素排列的空档中

定序问题对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列

跟踪训练3（1）（多选）已知A,B,C,D,E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（）

A.若A,3不相邻，共有72种排法

B.若A不站在最左边，8不站在最右边，有72种排法

C.若A在2右边有60种排法

D.若A,B两人站在一起有48种排法

答案ACD

解析对于A,若A,8不相邻，共有A1之=72（种）排法，故A正确；

对于B,若A不站在最左边，8不站在最右边，利用间接法有A?—2A4+AW=78（种）排法，故

B错误；

A5

对于C,若A在8右边有谓=60（种）排法，故C正确；

对于D,若A,3两人站在一起有A3A1=48（种）排法，故D正确.

（2）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，同类

节目不相邻的排法种数是（）

A.72B.120C.144D.168

答案B

解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺

序有三种：“小品，小品，相声”、“小品，相声，小品”和“相声，小品，小品”.对于

第一种情况，形式为“□小品歌舞小品口相声口”，有A3GA3=36（种）安排方法；同理，第

三种情况也有36种安排方法；对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品口

相声□小品口”，有A3A2=48（种）安排方法,故共有36+36+48=120（种）安排方法.

（3）将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动，每天分别安

排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有种.（用数字作答）

答案1680

解析先选出3人，有Cg种选法，再从剩下的6人中选出3人，有C2种选法，最后剩下的3

人为一组，有C?种选法.

由分步乘法计数原理以及每AW中只能算一种不同的分组方法，可知不同的安排方案共有

课时精练

R基础保分练

1.若A46d,则相等于（