阜阳市重点中学2020届高考临考冲刺数学试卷含解析《附15套高考模拟卷》

阜阳市重点中学2020届高考临考冲刺数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知log2a>log2力，则下列不等式一定成立的是

->-（-）0<（-）*

b

A.abB.m（a-3>0cT-<\D.32

2.命题“对Vxe[l,2],以2一%+°>（）,,为真命题的一个充分不必要条件可以是（）

112

a>—a>—a>—

A.2B.2c."21D.5

3.已知直线/过抛物线），2=8x的焦点尸，与抛物线交于A,B两点，与其准线交于点。.若点F是AC

的中点，则线段8c的长为（）

816

A.3B.3C.3D.6

222

4.设点A-C,O）分别是双曲线*—方=1（。>01〉0）的右顶点、右焦点，直线x交该双曲线的

一条渐近线于点P,若APA尸是等腰三角形，则此双曲线的离心率为（）

A.&B.3C.夜D.2

5,函数/（x）=N+?其中aeR）的图象不可能是（）

6.将函数f（x）=cos2x的图象向右平移:个单位后得到函数g（x）,则g（x）具有性质（）

4

A.最大值为1,图象关于直线x==对称

2

n

B.在（0,二）上单调递增，为奇函数

4

37r7T

C.在（-彳,三）上单调递增，为偶函数

88

片,0）

D.周期为7T,图象关于点8对称

7.运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）

_3

A.2B.-1C.0D.2

兀

8.设函数/Cv）=sin（2元+工）的图象为。，则下列结论正确的是（）

6

A.函数/*）的最小正周期是2万

TT

B.图象。关于直线x=:对称

6

C.图象。可由函数g（x）=Sin2x的图象向左平移g个单位长度得到

（-U）

D.函数/（X）在区间122上是增函数

9.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原贝!I.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的悬（gui）

影长的记录中，冬至和夏至的唇影长是实测得到的，其它节气的辱影长则是按照等差数列的规律计算得出

的.下表为《周髀算经》对二十四节气唇影长的记录，其中115J寸表示U5寸1汾（1寸=10分）.

66

节气冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）

5442

唇影长（寸）135

125O-115.10-105.20-95.37O

节气惊蛰（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（处暑）立夏（立秋）

2543

辱影长（寸）85.4-75.566.5-55.6-45.7-

O606

节气小满（大暑）芒种（小暑）夏至

21

辱影长（寸）16.0

35.8O-25.90-

已知《易经》中记录的冬至唇影长为130.0寸，春分唇影长为72.4寸，那么《易经》中所记录的夏至的号

影长应为（）

A.14.8寸B.15.8寸C.16.0寸D.18.4寸

10.已知复数2=8；’,,彳是Z的共朝复数，贝Uz・N

(1-V3/)2

2_i_

A.4B.2C.1D.2

11.已知｛《,｝为等差数列，4+q+G=105,4+4+.=99,则。么)等于().

A.-1B.1C.3D.7

…卦户号为小)的零点'为图象的

12.已知函数/(x)=sin(«yx+e)

对称轴，且,l/(x)l<l,则。的最大值为()

A.5B.4C.3D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

y<x

<x+y<4

13.已知X。满足约束条件l〉+2N°,则z=2x+)，的最大值为.

x<2

<x-y+\<0

14.若X，)‘满足约束条件[x+2y-220,贝严=犬+丁的最小值为.

\x2+l,x,,0

15.函数3%，%>0,若/"")]=10,则*=.

16.在锐角三角形ABC中，角4,8,。所对的边分别为〃也Ga=l,且出c_2)cosA+accosB=l-^,

则A3C面积的最大值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程

供学生选择(如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等).现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学习

时间(单位：h)的数据，按照[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10]分成五组，得到了如下的频率分布直

方图.

0246810时间(h)求频率分布直方图中m的值及该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学

习时间；从[4,6),[6,8)两组中按分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中抽取2人，求恰有1人在[6,

8）组中的概率.

18.（12分）已知四边形OACB中，a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C所对的边长，且满足

（b+c）cosA=a（2-cosB-cosC）.

'证明：b+c=2a；若b=c,设4AOB=MO<0</,OA=2OB=4,求四边形

OACB面积的最大值.

19.（12分）已知数列&｝的前n项和S"满足瓜=6二+1（"'2,"€"）,且4=1求数列的通项公

On=----------〃|T＞-

式见;记见七川，7"为小高的前〃项和，求使“〃成立的〃的最小值.

20.（12分）已知数列｝的前〃项和为5”，且2S"=叫+2/T.求数列MJ的通项公式；若数列Ia".

的前〃项和为乙，证明："＜匕

1

21.（12分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数标方程为＜；（其中/为参数，且/＞0）,

在以。为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线/的极坐标方

程为psin(0-e=V2.

（1）求曲线。的极坐标方程;

0）求直线/与曲线C的公共点P的极坐标.

X"V

E:1+==1（。＞。＞0）.口-

22.（10分）已知椭圆方的左、右顶点分别为A8,长轴长为%离心率为2.过

右焦点尸的直线/交椭圆E于°，°两点（均不与A，8重合），记直线AC,80的斜率分别为求椭圆

E的方程；是否存在常数彳，当直线/变动时，总有勺%成立？若存在，求出彳的值；若不存在，说

明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1、D

2、C

3、C

4、D

5、C

6、B

7、C

8、B

9、A

10^A

11、B

12、C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、10

14、1

15、1

显

16、4

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

8

17、(1)m=0.1,平均时间为5.08；(2)—

【解析】

【分析】

(1)首先根据概率之和为1即可计算出根的值，然后通过计算每一组的概率乘时间并求和即可计算出平均

学习时间；

⑵本题首先可以通过分层抽样的相关性质来确定［4,6)以及［6,8)两组中所抽取的人数，然后写出从6人

中抽取2人的所有可能事件以及恰有一人在［6,8)组中的所有可能事件，两者相除，即可得出结果。

【详解】

(I)由直方图可得：0.06*2+0.08x2+0.2x2+2m+0.06x2=l,所以m=0.1,

学生的平均学习时间：1x0.12+3x0.16+5x0.4+7x0.2+9x0.12=5.08；

(2)由直方图可得：［4,6)中有20人，［6,8)中有10人，

根据分层抽样，需要从［4,6)中抽取4人分别记为4、4、4、4，

从［6,8)中抽取2人分别记为q、B2,

再从这6人中抽取2人，所有的抽取方法有

4^4^、444、43,、^4^4、A^B2、与8)共

15种,

其中恰有一人在［6,8)组中的抽取方法有4片、4打、44、44、

A/44、A4B2共8种，

Q

所以，从这6人中抽取2人，恰有1人在［6,8)组中的概率为百。

【点睛】

本题考查了频率分布直方图的相关性质以及分层抽样的相关性质，考查了补全频率分布直方图以及利用频

率分布直方图求平均数，考查了分层抽样的使用以及概率的求法，考查了推理能力，是中档题。

18、⑴见解析(2)8+5祗

【解析】

【分析】

(1)由(b+c)cosA=a(2-cosB=cosC)及正弦定理和三角变换可得sinC+sinB=2sinA,再由正弦定理可得

结论成立.(2)先证得△ABC为等边三角形，根据50人8=54人08+$4相©及三角形的面积公式，得到

SOACB=8sin(e目+5收然后根据0一押取值范围可得所求的最大值.

【详解】

(1)证明：V(b+c^cosA=a(-2-cosB-cosC),

由正弦定理得sinBcosA+sinCcosA=2sinA-sinAcosB-sinAcosC,

：•cosAsinB+sinAcosB+cosAsinC+sinAcosC=2sinA>

:.sin(A+B)+sin(A+C)=2sinA,

sinC+sinB=2sinA>

由正弦定理得：b+c=2a.

(2)解：Vb+c=2a>b=c,

•*»a=b=c,

・•・△ABC为等边三角形.

由题意得SQACB=S△AOB+SAABC

=第A-OB-sin9+yAB2

=4sin0+y(0A2+OB2-2OA-OB-cos0)

=4sin6-4A/3cos0+5招

=8sin(0-'+5瓜

0<9<7T,

，当,即时,有最大值，且最大值为

【点睛】

本题考查用三角函数模型解决问题，该类问题主要有两种情形：一种是用已知的模型去分析解决实际问题,

另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，

体现了新课标中“数学建模”的本质.解题中的关键是将问题逐步转化成形如y=Asm(sx+<p)的函数的问题

求解.

19、(1)an=2n-\.(2)〃的最小值为5.

【解析】

【分析】

(1)先由底=J0+l(〃22,〃eN),可知数列｛后｝为等差数列，进而求出S”的表达式，再由

为=邑-S-求出％的通项公式；(2)利用裂项相消求和法先求出北，进而可以求出满足题意的〃.

【详解】

(1)由已知叵一6二=i,.•.数列｛疯｝为等差数列，且店—，或=1,直=i二疯=〃，即

2

Sn-rr,当〃22时，an-Sn-Sn_｝=n-(«-1)--2n-l,

又4=1也满足上式，，a“=2”-l

,1If11)

⑵由⑴知'"(21)(22)=5匕7国!

T”,11111、1(,1An

T=-1---1------1---1-------------=-1--------=------

”2(3352”-12n+l)2(2n+\)2〃+1

2,,

由Z,2—有〃224〃+2，有(〃-2)>6,所以〃25,

n

•的最小值为5.

【点睛】

裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在

求和的时候正负相抵消的目的，使前n项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.常见的拆项公式：

11/11、

_______—__•________

"("+〃)kI""+乜若⑷为等差数列，且公差d不为0,首项也不为0,则

11(11、

4•%+1%+1乙

n4-1

20、(1)a„=-(V〃eN*)；(2)见解析

【解析】

【分析】

⑴根据前n项和与通项间的关系得到，2S“="+2%—1,2S,i-两式做差即

可得到数列，、=%L,数列!为常数列，&=即％==1；(2)根据第一问得到

n+1n1〃+1Jn+122

144/II、

—=7~(4\=4-----77，裂项求和即可•

%(〃+1)仆+1)1〃〃+U

【详解】

(1)当〃=1时，2S]=q+24-l,即q=l,

当〃22时，2Sn=nan+2an-\①，25„,1=(n-l)+2^-②

①一②，得2。“=加/“_(〃_l)a“T+2a“_2a“T，gp；Kz,,=(n+\\an_y,所以工7=4」，且g

n+\n22

所以数列彳々[为常数列，4=1，即％=字(V〃eN*).

[〃+lJn+l22v7

,、—，、⑷n+1144/II、

(2)由(1)得%=一^-所以方=7-</,.A=4------yr

an(n+1)〃(〃+l)1〃n+lj

丁44444444

所以小/孕+示++正了<而+西*而**而旬，

4

【点睛】

这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知s”和巴

的关系，求“"表达式，一般是写出S"」做差得通项，但是这种方法需要检验n=l时通项公式是否适用；

数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

21、(1)02cos26=4(—(2)0应仁)

【解析】

【分析】

(1)先将曲线C的参数标方程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，把普通方程化为极坐标

方程；

(2)将/与C的极坐标方程联立，求出直线1与曲线C的交点的极角，代入直线的极坐标方程即可求得

极坐标.

【详解】

⑴消去参数f,得曲线。的直角坐标方程幺一歹=4(%22).

将x=pcos<9,y=psinO代入x2-y2=4,得。？(cos2。-sirrd^=4.

所以曲线C的极坐标方程为02cos2夕=4(一?<£<?)•

(2)将/与C的极坐标方程联立，消去。得4s/(5—可=2cos26.

展开得3cos2。-2Gsin6cos0+sin*=2(cos?。一sin.

因为cosOwO,所以3tan2e—2Gtan6+l=0・

于是方程的解为tan。="，即。=g.

36

代入。sin6=也可得夕=2夜，所以点尸的极坐标为

【点睛】

本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题,

考查计算能力.

三+，i=i.(ii)存在常数；i=:使得匕恒成立.

22、(I)

43313-

【解析】

【分析】

2a=4

。=2,

(I)由题意由题知，解得《厂，即可求得椭圆方程；(II)根据椭圆的准线方程，设出

!-2b=v3.

2=/+。2

直线1的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理即可求得C及D,存在入=g,使得氏=观恒成立.

【详解】

2a=4

C_1a=2,

(I)由题知<解得<

a2b=V3.

a2=b2+c2

22

所以求椭圆E的方程为工+汇=1.

43

(II)由(I)知A(-2,0),B(2,0),

当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=L

X=1X=1,x-l,

由，X2V2解得，3或,3

—+—=1)'=一.y=一一

4322

1313

得尤=万，旬=]或仁=一耳，均有%=gk,.

3一

猜测存在，=：.

当直线1的斜率存在时，设直线I的方程为y=k（x-1）,C（xi，yi）,D（X2,y2）.

y=k（x-l）,

由已产得

（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0.

-----1-----=1.

143

Sk2

%!+x

2-4公+3

则.

4P-12

一巧=

4^+3•

h-Vi_______%_3（々-2）3-（%+2）%

3%+23（/—2）3（石+2）（/-2）

k亚卫匹+8

%[2%]%2一5（%+工2）+8]4&~+34Z~+30.

3（%+2）（凡一2）-3（.+2）（々-2）一

所以存在常数2=;使得K=g内恒成立•

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，定值问题先猜后证的方法，考查计算

能力，属于中档题.2019-2020高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知函数/（尤）=<（§）""I则/（/（一2））的值为（）

2c

x,x>3

2_

A.81B.27C.9D.9

2.天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用

骰子点数来产生随机数。依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨；投三次骰子

代表三天；产生的三个随机数作为一组。得到的10组随机数如下：613,265,114,236,561,435,443,

251,154,353。则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率和三天中有两天下雨的概率的近似值分别为

（）

13111112

39

A.2‘8B.2'8c.3‘5D.

3.数列｛风｝的前〃项和为S,,S"=2a「4,nGN*,则％=（）

n+,2

A.2B.2"C.2"TD.2-

4.如图，|。4卜2,|。@=后,|oc|=4,OA与OB的夹角为135，若OC=/IQ4+4OB，贝!I%=（）

TT冗

6.函数，（x）=sin（2x—彳）的图象与函数g（x）的图象关于直线x=£对称，则关于函数y=g（x）以下

28

说法正确的是（）

A.最大值为1,图象关于直线x=］对称B.在（0,?］上单调递减，为奇函数

C.在I8上单调递增，为偶函数D.周期为乃，图象关于点I8'J对称

7.已知向量a=（l,百），b=一出）,则a+b在b上的投影为（）

A.2B.逝C.1D.-1

v.2v2

8.已知双曲线C:彳—$=1（。>03>0）的左、右焦点分别为片、B，实轴长为4,渐近线方程为

y=±gx,|M£|—|M周=4,点N在圆f一今=0上，则|MN|+|峭|的最小值为（）

A.2+SB.5C.6D.7

9.AABC中，(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC.其中a,b,c分别为内角A,B,C的对边，则A

=()

717T27157r

A.6B.3C.3D.6

10.已知XG（0,%）,则/（x）=cos2x+2sinx的值域为（）

AI'B巧C孕）口（0,2扬

11.已知矩形ABCD的对角线长为4,若AP=3PC，则（）

A.-2B.-3C.-4D.-5

12.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示,

则该“堑堵”的外接球的表面积为（）

正视图侧视图

俯视图

8百万46万

A.3B.8乃C.6兀D.3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

_lai=3,|/?|=4,«-Z?=（V2,V7）nJa+/?|=

13.已知向量।1।1，贝！111

兀

14.正方形铁片的边长为8cm,以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为了的扇形，用

这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积为cm3.

15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.

现有抛物线V=2px（夕＞0）,如图一平行于x轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行x轴方向射出,

若两平行光线间的最小距离为4,则该抛物线的方程为.

A/fNT~A--------=]

16.M、N分别为双曲线43左、右支上的点，设v是平行于X轴的单位向量，贝4I的最小

值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知向量=（Lcos2x-^sm2x）=（-l,f（x））,且〃

abab

（1海l,（X族示成X的函数并求f（x）的单调递增区间；

6TtJt

⑵若f（0）=§,3<6<^求cos20的值.

18.（12分）某手机厂商在销售200万台某型号手机时开展“手机碎屏险”活动.活动规则如下：用户购买该

型号手机时可选购“手机碎屏险"，保费为X元.若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕.该手机厂

商将在这200万台该型号手机全部销售完毕一年后，在购买碎屏险且购机后一年内未发生碎屏的用户中随

机抽取1000名，每名用户赠送1000元的红包.为了合理确定保费工的值，该手机厂商进行了问卷调查，统

计后得到下表（其中了表示保费为龙元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例）：

X1020304050

y0.790.590.380.23().01

（1）根据上面的数据求出关于x的回归直线方程；通过大数据分析，在使用该型号手机的用户中，购

机后一年内发生碎屏的比例为0.2%.已知更换一次该型号手机屏幕的费用为2000元，若该手机厂商要求

在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润不少于70万元，能否把保费X定为5元？

AS（x,.-x）（x-7）

参考公式：回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计分别为b=上―-------------，

•一三y

/=1

A_A_

a=y-bx9

参考数据：表中X的5个值从左到右分别记为西，X3七，/,毛，相应的）'值分别记为M,必，为,

5|5|5

vvZG一元）（其一9）=T9.2y=-Ex-

”，为，经计算有I,其中59，5.

19.（12分）已知函数tQ）=ax^+bx?+4a，（a,b为常数）若a=l,b=3

①求函数Kx）在区间1-4,21上的最大值及最小值。

②若过点（口）可作函数Kx）的三条不同的切线，求实数t的取值范围。当x611,41时，不等式0sKx）二4x）恒

成立，求a+b的取值范围。

20.（12分）已知正项等比数列&｝的前〃项和为S",且§2=18,54=90.求数列｛叫的通项公式；令

b„=15-logJ-a„]

I）,记数列的前〃项和为I,求/”及7"的最大值.

r2v2

21.（12分）如图，。为坐标原点，椭圆C==+41的焦距等于其长半轴长，M,N为

ab~

椭圆C的上、下顶点，且|仞7|=2百

（」）作直线/交椭圆于异于的两

求椭圆C的方程；过点P°cA8

点，直线AW，8N交于点了.求证：点T的纵坐标为定值3.

22.（10分）已知｛%｝是递增的等差数列，%,%是方程x、5x+6=0的根.求｛%｝的通项公式；求数

闾

列12"J的前〃项和.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1、A

2、C

3、A

4、B

5、C

6、B

7、A

8、B

9、B

10、B

11、B

12、B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、历

14、缶

15、y2=4x

16、4

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（l）［kK-）九+孤WZ；⑵-1。乙

【解析】

【分析】

(1)由题意利用两个向量平行的性质得到f(x)的解析式,再根据正弦函数的单调性,求得f(x)的单调递增区间.

(2)由条件求得sm(20.)再利用同角三角函数的基本关系，求得cos(20.3，再利用两角和的余弦公式求

得cos20=cos[(20-]+2的值.

【详解】

⑴由题意知，向量.=(l,cos2x-招sin2x)=(-l,f(x)),且〃

aDab

所以1xf(x)+(cos2x-招sin2x)=0，

即f(x)=-cos2x+V3sin2x=2sin(2x-

令2kjt-^<2x-^<2k7t+3，解得ku-1<x<k7t+%

故函数的增区间为[酬.演1+均HZ.

(2)若f(0)<j<0<p即f(0)=2sin(20-XAsin(20-^)=5-

206(pjr),20(j,y)cos(26-}=-Jl-sii?(2。-3=-玄

.|I冗[I(九)It

•,cos20=cos[\20-+-J=cos120--/cos--sin\20--ysin-

_，•且3.1__4-+3

="5T-52=-10

【点睛】

本题主要考查了两个向量平行的性质，正弦函数的单调性，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式

的应用，其中解答中熟记三角恒等变换公式合理化简，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着

重考查了推理与运算能力，属于基础题.

18、(1)y=-0.0192x+0.976(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)先求丁=30,7=0.4,得之1000利用公式直接代入求解即可；(2)计算销售该“手机碎

/=I'

屏险”产生的利润即可判断

【详解】

⑴由T=30,y=0.4,

乞(%-*(,-丁)=-19.2,£(毛-4=1000,

Z=1i=\

£（x,-x）（y-y）

得g=-----------=-0.0192,

1=1

d=G—笈=0.976,

所以了关于x的回归直线方程为y=-0.0192x+0.976.

（2）能把保费x定为5元.

理由如下：若保费x定为5元，则估计y=-0.0192*5+0.976=0.88

估计该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润为

2000000x0.88x5-2000000x0.88x0.2%x2000-1000x1000

=0.76x106（元）=76（万元）＞70（万元）

所以能把保费x定为5元.

【点睛】

本题考查回归直线方程，以及利用回归直线解决实际问题，考查计算求解能力，是基础题

19、（1）①式x）max=24,Kx）mm=T2；②（0.8）;（2）[-4,8]o

【解析】

【分析】

⑴①利用导数求出函数的最值；②设曲线心）切线的切点坐标为P（xo舄+3x；+4）,则k=3xj+6xo,故切

线方程为y-XQ-3XQ-4=（3XQ+6X0）G-x0）,

因为切线过点（l,t）,所以2x”6x0+t-4=0有三个不同的解；

（2）不等式00ax3+bx2+4aS4x?等价于°当卜+?+比4,令h（x）=x+5明确函数h（x）的最值，对a

分类讨论，即可得到结果。

【详解】

（1）因为a=l,b=3,所以f（x）=x3+3x2+4，从而f（X）=3x2+6x0

①令f'（x）=S解得x=-2或x=0,列表：

X-4(-4,-2)-2(-2,0)0（0,2）2

f（x）+-+

f（x）-12784724

所以，Kx）皿=血）=24,f（Xr=-12.

②设曲线式X)切线的切点坐标为P(Xo篇+3x；+4),贝Ilk=3x>6x0.

故切线方程为y-xj-3xJ-4=(3XQ+6x0)(x-x0),

因为切线过点(l,t),所以t-x13$-4=(3XQ+6x0)(l-x0)»

即

令，则

所以，当时，，此时单调递增,

当时，，此时单调递减，

所以，，

要使过点可以作函数的三条切线，则需，解得

(2)当时，不等式等价于

令，则

所以，当时，，此时函数单调递减;

当时,,此时函数单调递增，故

若，则，此时

若，则，从而

综上可得O

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的最值，考查了导数的几何意义，考查了数形结合与分类讨论的思想方法,

属于中档题.

z29〃

20.(1)q,=3*2"(2)7；=—'n+答；最大值为105.

【解析】

【分析】

(1)利用基本元的思想将已知转化为4,4的形式，由此求得《应，进而求得数列的通项公式.(2)先求

得々的表达式，根据等差数列前〃项和公式求得力,，再利用二次函数的性质求得7”的最大值.

【详解】

解：(1)设数列｛q｝的公比为讥q>0),若4=1,有§4=44,S?=2《，而§4=90。2s4=36,故qrl,

q(i

邑------

^=18r

l-q4=6

/〜OX,解得c-

故数列｛4｝的通项公式为%=6*2"T=3x2".

(2)由2=15—log22"=15—〃，

则一〃(14+15-〃)__炉+现

"222

29

r229x

由二次函数y=—]+言的对称轴为工=一

故当〃=14或15时7,有最大值，其最大值为

【点睛】

本小题主要考查利用基本元的思想求解等比数列的通项公式，考查等差数列的识别，考查等差数列前〃项

和公式，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.

21、(1)—+^-=1；(2)3

43

【解析】

【分析】

（1）由|MN|=2有得人=百，再根据焦距等于其长半轴长可求a,J故可得椭圆的方程.

（2）设直线方程为丁=依+1,A（xI,yl）,B（x2,y2）,

【详解】

解：（1）由题意可知：2c=a,2b=2超,又/=k+。2,

有b=Ji,c=l,a=2,故椭圆。的方程为：―+―=1.

43

（2）由题意知直线/的斜率存在，设其方程为y=H+l,用A3的横坐标表示T的纵坐标，再联立/的

方程和椭圆的方程，消去y得（4二+3）/+8区一8=0,利用韦达定理化简7的纵坐标后可得所求的定

值.

设4（石,丁|）,5（马,％）

联立直线方程和椭圆方程得,二!_12-0'消去＞'得0公+3尸+8丘-8=0,

-弘-8

X1+工24公+3”内―4k2+3,且有％+%2=必%2,

又IBN：y=)2+Cj一百,4w：y=21_--X+V3,

x2%]

y=红也—rr

W得y-,3_x-J3X2

由＜

X

比也.x+框＞6'

y二

,,y—百2+1-V3一如三生二等，整理得到

故^---/==—!---------

y+{3%仇+1-J3g/+Q+43)为

y-^_依尤2+(1-痂v—出x2g尤2+2(1-百)X2+[

7=--------7=--,故y-VJX

-------7=——---------(1+V3)X|—(1-,\/3)%2

2J3(1+5/3)^-(1-V3)X2

G2kx]x2+(x,+x2)+＞/3(%)-x2)

'(1+A/3)X,-(1-V3)X2

_Jjx3(工1+工2)+百(X|-*2)_3

百(X]+%2)+(X|-4)

故点T的纵坐标为3.

【点睛】

求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中

的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于X或)'的一元二次方程，再把要求解的

目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有用工2，5+々或乂为，乂+%,最

后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程(或函数)，从而可求定点、定值、最值问题.

1〃+