函数单调性与曲线凹凸性的判别法市公开课一等奖省赛课获奖课件

第九节函数单调性与曲线凹凸性判别法第1页本节关键点本节经过函数一阶导函数及二阶导函数符号研究函一、函数单调性判别法二、曲线凹凸性判别法数单调性及曲线凹凸性.第2页一、函数单调性判别法1.问题提出设函数假如函数负,即假如函数在在上单调增加,则曲线图形是一条沿轴正向逐步上升曲线,因而曲线上各点处切线斜率非ab一样,第3页由导数定义及极限保号性,上单调降低,则曲线图形是一条沿轴正向逐下降曲线,因而曲线上各点处切线斜率非正,即由此可见,函数单调性与其导函数符号有亲密关系.我们可证实:ab第4页若可导函数在区间上单调增加（降低）,反之,我们有定理（函数单调性判别法）若⑴若有且则:⑵若有则对任意有则在上单调增加;则在上单调降低.第5页证仅证⑴.则由拉格朗日中又因:故由此说明函数是单调增加.值定理,得第6页例1判定函数解因我们知道,函数是单调性.所以是单调增加.单调增加,但此说明一个单调增加函数,其导函数可能有若干个零点.作为普通结论,我们有第7页定理若函数在区间上可导,且在例2设则所以,函数在任何一个有限区间仅有有限个驻点,由任何一个有限区间内仅有有限个零点,则是单调增加.上面定理知函数是单调增加.第8页水平切线第9页例3讨论函数解因所以当即单调性.是单调降低;当增加.即函数是单调能够将函数导数符号及单调性按区间分段列表第10页注此例说明了怎样去讨论函数单调性:若函数点点可导,则可依据函数驻点将函数划分成若干个单调区间.但若函数在一些点不可导,则此方法不再适用.第11页例4求函数解函数定义域为而且在区间当从而将定义域分成三个区间:当因而函数单调增加;单调区间.内连续.导数为第12页当因而函数单调降低;当因而函数单调增加.第13页将函数导数符号及单调性按三个区间列表以下:第14页单调下降单调上升第15页结合上面两个例子,我们得到求函数单调区间一⑴确定函数定义域;⑵求出函数一阶导函数,并求出函数驻点及不可⑶依据驻点和导数不存在点,划分区间,注意到,般方法:导点;导函数在每一个区间内符号不会改变,从而有确定单调性.第16页应用:证实不等式.例5证实当时,有证令所以函数在区间中是单调增加,因而则第17页当时,有注从这个例中能够归纳出利用单调性证实不等式即基本方法.第18页问题证实当时有:方法⑴结构函数⑵验证从而函数在⑶由此得到:当时,有在中连续,可导;且函数给定区间上单调增加;即第19页例6证实证令所以所以在上单调增加,从而且第20页由此即得第21页二、曲线凹凸性及判别法考查右图中曲线,注意到即设点与点曲线是向下凸,即任取曲线上两点,那么连接这两点弦总位于这两点间弧段上方.是曲线上任意两点,那么介于之间中点函数值满足第22页由此我们引入曲线凹凸性定义.第23页定义设函数在区间中连续，假如对任意则称曲线在区间内是下凸（或称凹弧）.都有第24页假如对任意都有则称曲线在区间内是上凸（或称凸弧）.第25页上下凸性,则称点假如函数图形在经过点时改变了一个拐点.是曲线第26页曲线凹凸性判别法1设且导函数在内单调增加（降低）,那么曲线在内是下凸（上凸）.证设单调增加,任取，记由微分中值定理第27页从而证实了曲线是下凸.第28页即有以下:更深入地,假如函数在区间有二阶导数,则假如则曲线在内是下凸；我们能够经过二阶导函数符号来判定曲线凹凸性.曲线凹凸性判别法2假如则曲线在内是上凸.第29页例7对函数因由判别法知曲线在定义域内是下凸;再对函数因知曲线在定义域内是上凸.第30页例8设函数解当时,当时而当时,二阶导数不存求曲线凹凸区间.在,从而将函数定义域划分成三个区间:第31页将函数二阶导数符号及凹凸性按三个区间列表以下:第32页当当当从而点是曲线拐点,而不是曲线曲线以下列图所表示.曲线是