第十八章复习

第十八章复习第十八章平行四边形

考点一平行四边形的判定与性质典例1

（2024·绵阳期末）在平面直角坐标系中，以O（0，0），A

（1，2），B（4，0），C为顶点构造平行四边形，请写出一个满足条

件的点C的坐标：

⁠.答案不唯一，如（5，2）

跟踪训练1.

（2023·成都金牛期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝∠BDC

＝90°，点E在AB上，DE∥BC.

（1）求证：四边形EBCD是平行四边形.解：（1）

∵

∠ABD＝∠BDC＝90°，∴

AB∥CD.

∵

DE∥BC，∴四边形EBCD是平行四边形.（第1题）（2）若∠A＝30°，DE平分∠ADB，CD＝1，求AB的长.

（第1题）考点二矩形的判定与性质典例2

（2024·牡丹江）已知矩形ABCD的面积是90，对角线AC，BD

交于点O，E是边BC的三等分点，连接DE，P是DE的中点，OP＝

3，连接CP，则PC＋PE的值为

⁠.

跟踪训练2.如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE的中点，

且AF＝BF.

（1）求证：四边形ABCD为矩形.解：（1）

∵

F为BE的中点，AF＝BF，∴

AF＝BF

＝EF.

∴

∠BAF＝∠ABF，∠FAE＝∠FEA.

在

△ABE中，∵

∠BAF＋∠ABF＋∠FAE＋∠FEA＝

180°，∴

2（∠BAF＋∠FAE）＝180°.∴

∠BAF

＋∠FAE＝90°，即∠BAE＝90°.又∵四边形

ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为矩形.（第2题）（2）过点F作FG⊥BE，交BC于点G.

若BE＝BC，S△BFG＝5，CD

＝4，求CG的长.

（第2题）（第2题答案）考点三菱形的判定与性质典例3

（2024·通辽）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，下

列条件不能证明四边形ABCD是菱形的为（

D

）

（典例3图）A.

∠BAC＝∠BCAB.

∠ABD＝∠CBDC.

OA2＋OB2＝AD2D.

AD2＋OA2＝OD2D跟踪训练3.

（2023·南阳新野期末）如图，在▱ABCD中，CD＝BD，DE平分

∠BDC，交BC于点O，交AB的延长线于点E，连接CE.

（1）求证：四边形BECD是菱形.解：（1）

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴

AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC.

∴

∠CDE＝

∠BED.

∵

DE平分∠BDC，∴

∠CDE＝∠BDE.

∴

∠BED＝∠BDE.

∴

BE＝BD.

∵

CD＝BD，

∴

CD＝BE.

∵

BE∥CD，∴四边形BECD是平行

四边形.又∵

CD＝BD，∴四边形BECD是菱形.（第3题）（2）

若AB＝5，AD＝6，求四边形BECD的面积.

（第3题）考点四正方形的判定与性质典例4

（2024·重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC上

一点，F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于

点M.

若BE＝DF＝1，则DM的长为（

D

）（典例4图）DA.

2B.

C.

D.

跟踪训练4.

（2024·呼和浩特）如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB

平分∠CAE，AB∥FD.

（1）求证：四边形ABDF是平行四边形.解：（1）

∵

AB平分∠CAE，∴

∠CAB＝∠BAE.

∵

AB∥DF.

∴

∠BAE＝∠DFE.

∴

∠CAB＝

∠EFD.

∵

∠ACB＝∠FED＝90°，AC＝FE，

∴

△CAB≌△EFD.

∴

AB＝FD.

又∵

AB∥FD，∴

四边形ABDF是平行四边形.（第4题）（2）过点B作BG⊥AE于点G.

若CB＝AF，请直接写出四边形

BGED的形状.解：（2）由（1），可知BC＝DE，四边形ABDF是

平行四边形，∴

BD＝AF.

∵

AB平分∠CAE，

BC⊥AC，BG⊥AE，∴

BC＝BG.

∵

BC＝AF，

∴

BD＝DE＝BG，且∠BGE＝∠GED＝90°.

∴

BG∥DE，BG＝DE.

∴四边形BGED是平行四边

形.∵

BD＝DE，∴四边形BGED是菱形.∵

∠BGE

＝∠GED＝90°，∴四边形BGED是正方形.（第4题）

1.

（2024·蚌埠期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，

△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形.下列说法中，错误的是

（

D

）A.

AB⊥ACB.

EF＝6C.四边形AEFD是平行四边形D.

S四边形AEFD＝24

（第1题）D12345678

（第2题）

123456783.

（2023·河南一模）已知正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线

AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上.有下

列结论：①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；②存在无数个四

边形PMQN是菱形；③存在无数个四边形PMQN是矩形；④至少存在

一个四边形PMQN是正方形.其中，正确的是

（填序号）.①②④

12345678（第4题）4.

（2024·兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，

CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC于点F.

若BC＝4，CE＝3，则EF的

长为

⁠.

123456785.

（2023·南通如皋期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝

60°.E是对角线BD上的一个动点（不与点B，D重合），连接AE，

以AE为边作菱形AEFG，点G位于直线AB的上方，且∠EAG＝60°，

P是AD的中点，连接PG，则线段PG长的最小值是

⁠.（第5题）

123456786.

（2023·周口郸城期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是

AD，BC的中点.（1）

若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF

的长.

（第6题）（第6题答案）12345678（2）若∠BDC－∠ABD＝90°，求证：AB2＋CD2＝4EF2.

（第6题）123456787.

（2023·朝阳凌源期末）如图，在矩形ABCD中，延长BC至点E，使

得BE＝BD，连接DE，F为DE的中点，连接AF，CF.

若AB＝3，

AD＝4.（第7题）12345678（1）

求CF的长.

（第7题）12345678（2）求证：CF⊥AF.

（第7题）（第7题答案）12345678

（第7题答案）（第7题答案）12345678（3）若矩形ABCD的边长为任意值，其他条件不变，CF⊥AF还成立

吗？请说明理由.解：（3）成立.理由：由（2），得AF2＝BF2＝BE2－EF2.∵

EF＝CF，BE＝BD，∴

AF2＋CF2＝BE2－EF2＋CF2＝BD2－CF2

＋CF2＝BD2.∵

BD＝AC，∴

AF2＋CF2＝AC2.∴

△ACF是以

∠AFC为直角的直角三角形.∴若矩形ABCD的边长为任意值，

CF⊥AF仍然成立.（第7题）123456788.

（2023·广州荔湾期中）如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC

上的一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，

EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.