函数展开成幂级数市公开课一等奖省赛课获奖课件

9-5函数展开成幂级数

1第1页定理若幂级数收敛半径则其和函在收敛域上连续；且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同，即收敛域1.幂级数和函数分析运算性质:复习2第2页•求部分和式极限二、幂级数和函数求法求和•逐项求导或求积分法逐项求导或求积分对和式积分或求导难（在收敛区间内）3第3页第五节本节内容:一、泰勒(Taylor)级数

二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数第九章展开方法直接展开法间接展开法4第4页则称函数在该区间内能展开成幂级数给定函数假如能找到一个幂级数，使得函数能展开成幂级数定义:它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定函数比如:5第5页则称函数在该区间内能展开成幂级数给定函数假如能找到一个幂级数，使得函数能展开成幂级数定义:它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定函数问题:1.假如能展开,是什么?2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?6第6页则称函数在该区间内能展开成幂级数给定函数假如能找到一个幂级数，使得函数能展开成幂级数定义:它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定函数比如:无穷级数有限形式表示函数7第7页一、泰勒(Taylor)级数

其中(

在x与x0之间)称为拉格朗日余项.则在若函数某邻域内含有n+1阶导数,此式称为f(x)n阶泰勒公式

,该邻域内有:1.回想泰勒公式8第8页为f(x)

泰勒级数.

则称待处理问题:若函数某邻域内含有任意阶导数,2.泰勒级数定义:当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.？9第9页定理1.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数充要条件是f(x)泰勒公式中余项满足:证实:设函数f(x)在点x0某一邻域内含有3.泰勒级数收敛定理:泰勒级数收敛于f(x)10第10页定理2.若f(x)能展成x幂级数,则这种展开式是惟一,且证:

设f(x)所展成幂级数为则显然结论成立.4.系数惟一性定理:11第11页说明：2)幂级数展开式是唯一.？问题:1.假如能展开,是什么?2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?12第12页二、函数展开成幂级数1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为骤以下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式函数展开0.求第二步写出泰勒级数,并求出其收敛半径R;则13第13页例1.将函数展开成x幂级数.解:

其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足故(

在0与x之间)故得级数14第14页例2.将展开成x幂级数.解:

得级数:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足15第15页惯用函数幂级数展开式（要求切记！）16第16页2.间接展开法依据唯一性,利用已知函数展开式,经过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,函数已知展开式新函数转化将所给函数展开成幂级数.例1.

将函数展开成x幂级数.解:把x

换成,得17第17页解思索：例2将展开成x幂级数.将-2x代入上式中x位置，即得

将展开成x幂级数.

将展开成x幂级数.18第18页解例3将展开成x幂级数.19第19页例4.

将展成解:

幂级数.20第20页例5解21第21页例6.

将在x=0处展为幂级数.解:所以22第22页例7.将以下函数展开成x幂级数解:x＝±1时,此级数条件收敛,所以23第23页注意：把函数展开为幂级数间接