二次函数几何方面的应用2020

一、选择题

（2020•南充）9.如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1,1）,（3,1）,（3,3）,（1,3）,若抛物线丫=2*?的

图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（）

1111

1<<c<<3<<

---a---a----

B.93D.3

｛答案｝A

｛解析｝v-2

抛物线y=a的图象与正方形有公共顶点，必须满足1WxW3.抛物线经过（1,3）时，a=3,抛物线

11

最

a--3吮a=-a

过（1,1）时，a=1,a最大可以取3：抛物线过点（3,1）时,93)3

小可以取工，所以故选A.

99

二、填空题

17.（2020.无锡）二次函数夕=G2—3批+3的图像过点/（6.0）,且与y轴交于点8,点M在该抛物线的对

称轴上，若是以Z8为直角边的直角三角形，则点M的坐标为.

｛答案｝（I--9）或（1,6）

｛解析｝根据题意得，点B坐标为（0,3）,对称轴为直线为x=1|'若NABM=90°时，tan/BAO=tanN

8MC=tanNN8M=4，则8N=3,则ON=6,则用的坐标为弓，6）.若/历1M=9O°时，可以求得点

%的坐标为（1,-9）.

三、解答题

24.(2020湖州)如图，已知在平面直角坐标系xQy中，抛物线y=-x2+bx+c(c>0)的顶点为。，与y

轴的交点为C.过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点4在对称轴左侧)，点8在/C的延长线

上，连结04,OB,DADB.

(1)如图1,当轴时，

①已知点/的坐标是(-2,1),求抛物线的解析式；②若四边形4O8D是平行四边形，求证：廿=4c.

BC3

(2)如图2,若b=-2,-=是否存在这样的点力，使四边形是平行四边形？若存在，求

AC5

【分析】(1)①先确定出点C的坐标，再用待定系数法即可得出结论；

②先确定出抛物线的顶点坐标，进而得出DF=f,再判断出△AFDgZ\BCO,得出DF=OC,即可得出结

4

论；

(2)先判断出抛物线的顶点坐标D(-1,c+l),设点A(m,-m2-2m+c)(m<0),

判断出AAFD/△BCO(AAS),得出AF=BC,DF=OC,再判断出△ANFsZ\AMC,得出"=叫=竺=

AMCMAC

翌进而求出m的值，得出点A的纵坐标为c-2<c,进而判断出点M的坐标为(0,c—8)，N(-

AC544

1,c--),进而得出CM=3DN=-,FN=--c,进而求出c=a,即可得出结论.

44442

【解答】解：(1)①'.认(3〃*轴，点A(-2,1),；.C(0,1),

将点A(-2,1),C(0,1)代入抛物线解析式中，得｛；[：2b+c=1,...｛：；[2,

，抛物线的解析式为y=-x2-2x+l；

②如图1,过点D作DE_Lx轴于E,交AB于点F,：AC〃x轴，，EF=OC=c,

:点D是抛物线的顶点坐标，.\D(B,c+-),ADF=DE-EF=c+--c=-,

2444

:四边形AOBD是平行四边形，.,.ADuDO,AD/7OB,/.ZDAF=ZOBC,

h2

VZAFD=ZBCO=90",.,.△AFD^ABCO(AAS),.*.DF=OC,：.-=c,即b2=4c；

4

(2)如图2,：b=-2..,.抛物线的解析式为y=-x2-2x+c,

.•.顶点坐标D(-1,c+l),假设存在这样的点A使四边形AOBD是平行四边形，

设点A(m,-m2-2m+c)(m<0),过点D作DE_Lx轴于点E,交AB于F,

...NAFD=NEFC=/BCO,,四边形AOBD是平行四边形，，AD=BO,AD〃OB,

.,.ZDAF=ZOBC,/.△AFD^ABCO(AAS),/.AF=BC,DF=OC,

过点A作AM_Ly轴于M,交DE于N,；.DE〃CO,.•.△ANFs/\AMC,.•.加=畀=丝=装=三,

AMCMACAC5

—m—12S

VAM=-m,AN=AM-NM=-m-I,Am=

-m52

二点A的纵坐标为-(--)2-2X(--)+=c--<c,；AM〃x轴，

22c4

...点M的坐标为(0,c--),N(-I,c--),；.CM=c-(c--)=-,

4444

,点D的坐标为(-1,c+l),DN=(c+l)-(c--)=-,VDF=OC=c,

44

9

.♦.FN=DN-DF=--c，，点A纵坐标为％；.A(一豆

.••存在这样的点A,使四边形AOBD是平行四边形.

25.(2020•铜仁)如图，已知抛物线丫=加+笈+6经过两点A(-I,0),B(3,0),C是抛物线与y轴

的交点.“

(1)求抛物线的解析式；］八

(2)点P(〃?，〃)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设APBC的面积

为5,求5关于胴的函数表达式(指出自变量〃，的取值范围)和5的最大值；A1

(3)点M在抛物线上运动，点”在y轴上运动，是否存在点“、点N使得/\|

90°,且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标./\«

(解析｝(1)根据点A、B的坐标利用待定系数法求出抛物线的解析式；/

(2)过点P作PF〃y轴，交BC于点F,利用二次函数图象上点的坐标恃征可得出点C/M

的坐标，根据点B、c的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，设点p的坐-^-o\----土工

标为(m,-2m2+4m+6),则点F的坐标为(m,-2m+6),进而可得出PF的长

度，利用三角形的面积公式可得出SZ\PBC=-3m2+9m,配方后利用二次函数的性质即可求出Z^PBC面

积的最大值；

(3)分两种不同情况，当点M位于点C上方或下方时，画出图形，由相似三角形的性质得出方程，求出

点M,点N的坐标即可.

｛答案｝解：(1)将A(-1,0)、B(3,0)代入y=ax2+bx+6,

fa_b+6=0fa=-2

得：l9a+3b+6=0,解得:1b=4,抛物线的解析式为y=-2x2+4x+6.

(2)过点P作PF〃y轴，交BC于点F,如图1所示.当x=0时，y=-2x2+4x+6=6,

...点C的坐标为(0,6).设直线BC的解析式为y=kx+c,'

将B(3,0)、C(0,6)代入y=kx+c,得：

(3k+c=0卜2人|\

IC=6,解得：\c=6,直线BC的解析式为y=-2x+6.\

设点P的坐标为(m,-2m2+4m+6),则点F的坐标为(m,-2m+6),/XW

，PF=-2m2+4m+6-(-2m+6)--2m2+6m,/\i

/.SAPBC=2PF«OB=-3m2+9m=-3(m-2)2+4,

3_27_

.•.当m=2时，△PBC的面积取得最大值，最大值为4.

•.,点P(m,n)在平面直角坐标系第•象限内的抛物线上运动，...OVniVS.

(3)存在点M、点N使得NCMN=90°,且4CMN与/XOBC相似.

如图2,ZCMN=90°,当点M位于点C上方，过点M作MD_Ly轴于点D,

；NCDM=NCMN=90°,NDCM=NNCM,AAMCD^ANCM,

若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△BCO相似,

设M(a,-2a2+4a+6),C(0,6),；.DC=-2a2+4a,DM=a,

DMOB31————=1

当CD0C62时，△COB^ACDM^ACMN,A_2a+4a",

_12XLCDQB.1

解得a=l,，M(1,8),此时ND=2DM=2,.•.N(0,2),当DM时，

-2a2+4a17755

-----------——--

△COB^AMDC^ANMC,a2,解得a=4,AM(4,8),此时

83

N(0,8).

如图3,当点M位于点C的下*

过点M作ME_Ly轴于点E,设M(a,-2a2+4a+6),C(0,6)

22

/.EC=2a2-4a,EM=a,同理可得：2a-4a=：或2a-4a

a2a

OBC相似，解得a=亍或a=3,M(?,-^7-)或M(3,0),

448

此时N点坐标为(0,*或(0,-卷).

82

综上所述，M(1,8).N(0,)或M以昌)，N(0,)或M(?,

24884

QQQQ

胃),N(0,-1)或M(3,0),N(0,--1),使得NCMN=90°,且aCMN

与AOBC相似.

25.(2020•重庆4卷)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线片f+6状°与直线/冰目交于4硒点，其

中力(-3,-4),B(0,-1).

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点协直线4斤方抛物线上的任意一点，连接为，PB,求△为嗣积的最大值；

(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线ynqV+ex+qmwo),平移后的抛物线与原抛

物线相交于点G点〃为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点£,使以点

｛解析｝(1)将A,B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c,得到方程组，通过解方程组求出b,c；(2)由A,B

两点的坐标求出直线AB的函数表达式y=x-L过点P作PQ_Lx轴交AB于点Q,设P(t,t2+4tT),Q(t.t-

1),则PQ=(t-1)Yt2+4t-l)=-t2-3t.根据MSAPAB=2•PQ.|xA-xB|”求出SAPAB与t的函数表达

式，进而求出该函数的最大值；(3)抛物线y=x2+4xT向右平移后的抛物线的表达式为y'=x2-5,它们

的交点为点C（1,-4）,以点B,C,D,E为顶点的四边形为菱形可分为BC为对角线，BD为对角线，BE为

对角线三种情况，其中BE为对角线又分为点E在直线AB上方和下方两种情况.

｛答案｝解:(1):抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,-4),点B(0,-1),

9-3b+c=-4,伍=4,

<<

£=一1,解得〔。=一1..•.该抛物线的函数表达式为y=x2+4x-l.

(2)设直线AB的函数表达式为丫=1«+111(k#0).

-3k+m=-4,伏=1,

<V

将点A(-3,-4),点B(0,-1)代入函数表达式，得〔机=T,解得〔加=—1,...直线AB的函数

表这式为y=x-l.

过点,P作PQJ_x轴交AB于点Q.设P(t,t2+4t-l)(-3<t<0),则Q).____

J__1_3_£

.*.PQ=(t-1)-(t2+4t-l)=-t2-3t./.SAPAB=2•PQ•|xA-xB|=2(-t2-3t)X3=-2t2-2t.

9

3_3__27

,-3<-2<o,.•.当t=-2时，SaPAB有最大值.最大值为SZkPAB=8..•.△PAB

面积的最大值为8.

（3）满足条件的点E的坐标为（1,-3）,（-3,-4+痛）,（-3,-4-J&）,（-1,,2）.

28（2020•江苏徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y=_a?+2or+3%a>0）的图像交谢于点/、B,

交廊于点心它的对称轴交x轴于点&过点。乍切〃谕交抛物线于点〃，连接应并延长交端13于点片交抛

物线于点G.直线力戌的点〃，交抛物线于点人，连接加入GK.

（1）点珊坐标为：；

（2）当△/«直角三角形时，求a的值；

（3）侬与仍有怎么的位置关系？请说明理由.

（第28题）备用

图

｛解析｝（1）利用二次函数对称轴的方程来进行计算；（2）先分别求出A、B、C三点的坐标，根据对称

性求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线DE的解析式，通过解由直线DE和二次函数的解析式组成的方

程组可得G点的坐标，由直线DE的解析式求出点F的坐标，同样求出点K的坐标和H点的坐标，然后由H、

F、E三点的坐标，利用两点间距离公式分三种情形来进行计算可得a的值；（3）在（2）的条件下，分别

求出直线IIE和直线GK的解析式，然后由解析式来判别直线1IE和宜线GK的位置关系.

｛答案｝解：（1）（1,0）,理由如下：

2a

对于抛物线丫=-演+26+3。，它的对称轴x=2x（-a）=i,点的坐标为⑷0）；

（2）对于抛物线》=一占+2办+3”，

令y=0,有一以2+2ax+3a=o,解得xl=-l,x2=3,，A点的坐标为（-1,0）,B点的坐标为（3,0）,令

x=0,则y=3a,...点C的坐标为（0,3a）,

由于CD〃x轴，，点D和C关于抛物线的对称轴对称，点D的坐标为（2,3a）,

设直线DE的解析式为：y=kx+b,代入（1,0）和（2,3a）,

［攵+b=0

有12女+6=3〃，解得k=3a,b=-3a,二直线ED的解析式为：y=3ax—3a,

令x=O则y=—3a,，点F的坐标为(0,—3a),

(y=3ax-3a

解方程组口=-以2+2依+3〃，解得G的坐标为(一3,—12a),

同理可求得直线UK的解析式为：y=-3ax—3a,点K的坐标为(6,—21a),

对于直线y=-3ax-3a,令y=3a,解得H的坐标为(-2,3a),AH(-2,3a),E(1,0),F(0,-

3a),根据两点间距离公式可得：HE2=9a2+9,HF2=36a2+4,EF2=9a2+l,

当HE2=HF2+EF2时,有9a2+9=36a2+4+9a2+l,解得a=3(舍负)；

g

当HF2=HE2+EF2时,有36a2+4=9a2+9+9a2+l,解得a=3,

!3

当HE2+HF2=EF2时,有9a2+9+36a2+4=9a2+L无解，...a的值为：3或3.

(3)由于点G(-3,-12a),K(6,-21a),二直线GK的解析式为：y=-ax-15a,

由于点H的坐标为(一2,3a),点E的坐标为(1,0)，二直线HE的解析式为；y=-ax+a,

.•.直线GK〃直线HE.

25.(2020•聊城)如图，二次函数尸a/+6x+4的图象与x轴交于点4(-1.0),8(4.0),与y轴交

于点C,抛物线的顶点为。，其对称轴与线段回交于点瓦垂直于x轴的动直线/分别交抛物线和线段6C

于点？和点“动直线/在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿x轴正方向移动到6点.

(1)求出二次函数y=ax+bx+^和8C所在直线的表达式；

(2)在动直线/移动的过程中，试求使四边形密为平行四边形的点。的坐标；

(3)连接〃，CD,在移动直线/移动的过程中，抛物线上是否存在点尸，使得以点尸，C,尸为顶点的三角

形与△腔相似，如果存在，求出点尸的坐标，如果不存在，请说明理由.

｛解析｝(1)运用待定系数法，利用A,B两点的坐标构建二元一次方程组求解二次函数的表达式，利用B,

C两点的坐标确定直线BC的表达式；

(2)DE长可求，由于直线1与抛物线的对称轴互相平行，故只需具备PF=DE,即得四边形DEFP为平行

四边形.点P与点F的横坐标相同，故利用抛物线与直线的解析式表示它们的纵坐标，根据其差等于DE

长构建一元二次方程求解；

(3)结合图形与已知条件，易于发现若两三角形相似，只可能存在△PCFs^CDE一种情况.ACDE的三边

均可求，(2)中已表示PF的长，再构建直角三角形或借助两点间距离公式，利用勾股定理表示出CF

的长，这样根据比例式列方程求解，从而可判断点P是否存在，以及求解点P的值.

｛答案｝解：(1)由题意，将A(—1.0),B(4.0)代入y=ax2+bx+4,得

。一b+4=0,a=-1,

16a+4力+4=0.解得‘,.二次函数的表达式为y=-x2+3x+4.

b=3.

当x=0时，y=4,得点C(0,4),又点B(4,0),设线段BC所在直线的表达式为y=mx+n,

n=4,m=-1,

A八解得In=4.，BC所在直线的表达式为『=-x+4.

4m+H=().

(2)；DEJ_x轴,PF_Lx轴,；.DE〃PF,

3253

只要DE=PF,此时四边形DEFP即为平行四边形.由二次函数y=-x2+3x+4=(x——)2+—，得D(一,

242

2533535

一).将x=一代入y=—x+4,即y=-----M=—,得点E(一,—).

422222

•*.DE=—————.设点P的横坐标为t,则P(t,—t2+3t+4),E(t,—1+4),

424

PF=-t2+3t+4-(—t+4)=-t2+4t,由DE=PF,得一t2+4t=—，

4

35

解之，得tl=一(不合题意，舍去)，t2=-.

22

“，5,,5、，5,21,521

当弋=一时，-t2+3t+4=—(—)2+3X----F4=—...P(一,—).

(3)由(2)知，PF〃DE,/.ZCED=ZCFP.

乂NPCF与NDCE有共同的顶点C,且/PCF在NDCE的内部，/.ZPCF^ZDCE,

,只有当NPCF=NCDE时，APCF^ACDE.

32535

由D(±,―),C(0,4),E(-,-),利用勾股定理，可得

2422

CE=J(-)2+(4--)2=-V2,DE=—.由(2)以及勾股定理知，PF=-t2+4t,

V222424

pg「F~t~+4t

rz,Ti-ir\^r----------=-----

CF=J厂+[4—(T+4)「=行t.♦♦，即3rr15-

vCEDE-72

24

.1516、,，164,16,16,84

.t#0,..—(z-1+4)=3,..t=—.当t=—时，-t2+3t+4=—(—)2+3X----F4=—.

4555525

...点P的坐标是(3，——).

525

24.(2020・陕西)如图，抛物线＞=/+云+。经过点(3,12)和(-2,-3),与x轴交于/、8两点(点力在

点8左侧)，与y轴交于点C,它的对称轴为直线/.

(1)试求抛物线的表达式；

(2)P是抛物线上的点，过点P作/的垂线，垂足为。，£是/上的点，要使以P、D、E为顶点的三

角形与一/OC全等，求满足条件的点尸、£的坐标.

X

｛解析｝（1）运用待定系数法求二次函数表达式，即将点（3,12）和（-2,-3）分另代入y=x2+bx+c,

列方程组求解；（2）由点A、C的坐标判断出AOC是等腰直角三角形，根据条件“PDE与AOC全等”

和“PDDE”，可确定DP=DE=0A=0C=3,由于点P可能位于对称轴1的左侧或右侧，所以分类讨论,

从而确定点P和点E的坐标.

J12=9+36+cJb=2

｛答案｝解：（1）由题意，得1-3=4-26+c解方程组，得卜=-3

所以抛物线的表达式为：y=d+2x-3；

（2）如答图所示：

当x=0时，y--3；当y=0时，即『+2x-3=0,解得xl=-3,x2=l；

即A（-3,0）、B（1,O）、C（0,-3）,对称轴1为x=-l.所以OA=OC=3,即□AOC为等腰直角三角形.因

为HPDE与AOC全等，且PDDE,所以DP=DE=OA=OC=3,所以点P的横坐标为-4或2,当x=

-4和x=2时，y=5,所以Pl（-4,5）,P2（2,5）,El（-1,8）,El（-1,2）.

25.（2020•泰安）（13分）若一次函数y=—3x—3的图象与x轴，y轴分别交于4C两点，点8的

坐标为（3,0）,二次函数y=ax'+bx+c的图象过4B,C三点，如图（1）.

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图（1）,过点C作8〃x轴交抛物线于点。，点E在抛物线上（y轴左侧），若8c恰好平分

/DBE.求直线8E的表达式；

（3）如图（2）,若点尸在抛物线上（点P在y轴右侧），连接/尸交8C于点F,连接5P,S"FP=

mSeBAF.

①当〃7=3时，求点P的坐标；

②求〃，的最大值.

（第25题）

｛解析｝本题考查了一次函数图像性质、应用待定系数法求二次函数与一次函数的表达式，图像中线段与

相应三角形面积之间的数量关系与其对应点坐标之间的联系.问题（1）,直接求得图象过4B,。三

点，并应用待定系数法求得二次函数表达式；问题（2）,根据图像中的点的坐标隐含的线段条件，并构

造全等三角形求得BE与y轴交点M的坐标，再应用待定系数法求得直线8E的表达式；问题（3）,①根

据SABFP=|S"AF，得PF=1AF.过点P作PN//AB交BC于点N,则AB=2NP,NP=2.设尸（f,

r2—2Z—3),有/一2/—3=XN—3则x,v=/—2f.从而PN=t一(『一2f),则f—(，一2f)=2,

pt1,,(t~2/)1t~Rt

L

解得，值，即可得点P坐标；②由①得：，"=牛，：.m^~~--4---=-4----,可得加

的最大值.

｛答案｝(1)解：令一3x—3=0,得4=-1.令x=0时，y=-3.

：.A(―1,0),C(0,—3).

•・•抛物线过点。(0,—3),

c——3.

则y-ax-\~bx-3,将/(—1,0),3(3,0)代入

得(0=T—3'

(0=9。+36—3.

解得长12

[0=——乙

二次函数的表达式为y=x~—2x—3.

(2)解：设3E交。。于点

,:B(3,0),C(0,—3),

JOB=OCfZOBC=ZOCB=45°.

*：CD〃AB,

：.NBCD=45°.

/.ZOCB=ZBCD.

■:BC汽•分乙DBE,

：.ZEBC=ZDBC.

又♦:BC=BC,

・•・△MBgXDBC.

・•・CM=CD.

由条件得：D(2,—3).

CD=CM=2.

・•・OM=3—2=1.

,•M(0,-1).

'：B(3,0),

直线BE解析式为卜=；x—1.

(3)@2SABAF，

1

PF=5AF.

过点、P作PN〃AB交BC于点、N,则△ABFS^PNF.

：.4B=2NP.

■:AB=4,

・・・NP=2.

,/直线BC的表达式为y=x—3,

设P(人2L3),

/2—2/-3=X，N—3.

.*•XN=t-2t.

PN=t—(Z2—2/),贝h一(?—2/)=2,解得力=2,，2=1.

工点尸(2,—3)或尸(1,—4).

②由①得：〃2=^PN

t—(r2—2r)—/2+3/­(/—3/)1,3、2J

・・m=)

444=7x(L])+44

3.2.9

2)+元•

_9

，"7有最大值，加姓大佰=正•

(2020•四iR故州)28.如图，在平面直角坐标系中，图1®尸质+3分别交x轴、y轴于48两

点，经过48两点的抛物线y=—f+bx+c与x轴的正半轴相交于点C(l,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若尸为线段上一点，/4PO=N4CB,求ZP的长；

(3)在(2)的条件下，设M是y轴上一点，试问:抛物线上是否存在点N,使得以4P,M,N为顶点的四边

形为平行四边形?若存在，求出点N的坐标;若不存在，请说明理由.

｛解析｝本题考查了抛物线的解析式、相似三角形、平行四边形的存在性，属二次函数综合.

(1)利用待定系数法可求得抛物线的解析式；

(2)先求出力8,OA,/C,再利用相似三角形的性质求解.

(3)分两种情况讨论：①均为平行四边形的边时，点N的横坐标可以为±2,求出点N的坐标即可解决

问题.②当4P为平行四边形的对角线时，点N"的横坐标为-4,求出点N”的坐标即可解决问题.

｛答案｝解：(1)；抛物线经过8(0,3),C(1,0),

解得H,，

[c—3.

・・・抛物线的解析式为y=-x2-2工+3.

(2)对于抛物线y=-/-2x+3,令y=0,解得x=-3或1.

：.A(-3,0).

*：B(0,3),C(1,0),

：・OA=OB=3,OC=1,AB=3显.

VZAPO=ZACB,NR4O=/CAB,

:•△PAOs/XCAB,

.APAO

**AC-AB"

.AP_3

••——尸,

43V2

:.AP=2&.

(3)由(2)可知，P(-1,2),AP=2y/2.

①当ZP为平行四边形的边时，点N的横坐标为2或-2,

：.N(-2,3),N1(2,-5).

...点M向右平移2个单位,再向上平移2个单位得到M(0,5),

点N'向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到(0,-7),

②当AP为平行四边形的对角线时，点N"的横坐标为-4,

：.N"(-4,-5),此时AT(0,7),

综上所述，满足条件的点N的坐标为(-2,3)或(2,-5)或(-4,-5).

(2020•乐山)已知抛物线)，=加+以+c与x轴交于A(—1,0),B(5,0)两点，C为抛物线的顶点，抛物

4

线的对称轴交x轴于点。，连结BC,且tanNCBQ=1,如图所示.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设P是抛物线的对称轴上的一个动点.

①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E,过点E作EFLPE交抛物线于点F,连接FB、FC,求△BCF

的面积的最大值；

3

②连接PB,求wPC+PB的最小值.

5

4

｛解析｝(1)先根据抛物线的对称性求出对称轴与x轴的交点求出。点坐标，再由tanNC3£)=w，求出点

。的坐标，用待定系数法设交点式，羽1点C的坐标代入即可求解；

420420

(2)①先求出BC的解析式为y=--x+—,再设点E坐标为亿一亍+彳)，由二次函数关系式用t表示点

产的坐标，进而用f表示出△8CF的面积，再根据二次函数的性质即可求出最大值；

33

②过点P作PG-LAC于G,由PG=PCsinZACD=-PC可得二PC+PB=PG+PB,再过点B作BHA.AC于

33

33

点、H,由此可知当仄P、〃三点共线时二尸C+PB的值最小，即线段8H的长就是三PC+P8的最小值，根

□□

据面积法求高即可.

｛答案｝解：(1)根据题意，可设抛物线的解析式为：＞=。0+1)—5),

VCD是抛物线的对称轴，D⑵0)；

4

又•.•tanNC8C=aCD=BDtanZCBD=4,即C(2,4),

4

代入抛物线的解析式，得4=a(2+l)(2—5),解得。=一§,

441620

二二次函数的解析式为y=—§Cr+DCv—5),即y=—§./+1二+卞；

(2)①设直线8C的解析式为y=Ax+6,

J0=51t+6,初］"一一3，

・[4=2£+b.叶宣20

[b=T

420

即直线BC的解析式为y=一5工十干,

OO

5…一4।20、,…L,,4-16120、

设E坐标为(Z,--/+—),则F点坐标为(/,—g/-+—/+—),

11,42,2840、2,7、，3

AS^BCF=QX£FX5Z)=-X3X(一厘+石/一石)=一三(lR“+5,

73

...当/=］时，△8CF的面积最大，且最大值为：；

②如图，连接ZC,根据图形的对称性可知NACD=NBCD,AC=BC=5,

过点P作PG±AC于G,过点B作BH±AC于点H,

3

则在RtAPCG中，PG=PCsinZACD=~PC,

0

3

:.-PC+PB=PG+PB》BH,

□

3

由此可知当&P、〃三点共线时wPC+PB的值最小，即线段8H的长.

□

1115

VSAABC=QXJ5XCZ)="X6X4=12,又S38C=]XACXBH=0H,

524

：.~BH=l2即BH=?

Lt0

324

C.-PC+PB的最小值为二.

55

24.(2020•绵阳)如图，抛物线过点/(0,1),和C,顶点为。，直线/C与抛物线的对称轴点的

交点为8(6,0),平行于y轴的直线E厂与抛物线交于点E,与直线ZC交于点儿点尸的横坐标为

短，四边形8DE尸为平行四边形.

3

(1)求点F点的坐标及抛物线的解析式；

(2)若点P为抛物线上的动点，且在直线ZC上方，当△为8面积最大时，求点尸的坐标及△/MB面积的

最大值：

(3)在抛物线的对称轴上取一点。，同时在抛物线上取一点R,使以4C为一边且以/、C、。、R为顶点

的四边形为平行四边形，求点。和点R的坐标.

｛解析｝(1)运用待定系数法，利用A,B两点的坐标确定宜线AB的表达式，再将F点的横坐标代入解析

式，便可求得厂点的坐标；将抛物线设为顶点式，然后利用平行四边形的性质，以及尸点的坐标，将E点

的坐标表示出来，再将A,E两点的坐标分别代入顶点式中，便可以解决；

(2)利用铅锤底水平高，将△物8的面积表示出来，设点P的横坐标为f,可以将PG用，的代数式表示

出来，然后再利用二次函数的性质求出△以8面积的最大值及P的坐标；

(3)由题意可以判断出点。和点R均在x轴的下方，利用平行四边形的性质构造一对全等的直角三角形，

通过直线/C与抛物线联立可以求出C点的坐标，然后根据4、C两点的坐标再结合全等三角形的对应边

相等，便可以求出点。和点7?的坐标了.

｛答案｝解：(1)"：A(0,1),B(V3,0),...直线48的解析式为：尸一［x+1,把尸怨代入夕=

6一俎一1•尸，461,

———x+1得y——一,•.F(---,一一)；

3^333

设抛物线解析式为：y=a(x-V3)2+A,反交工轴于"，过E作EALLB。，则四边形N8ME为矩形，

:.BN=EM,♦・♦四边形3OEF为平行四边形，:.BD=EF,：.DN=MF=-：.y=h--,将4(0,1),

3fE3

E(上^，A—)分别代入歹=。(x—G)2+/?,得a=—1,/?=4,・,•抛物线解析式为：y=-x2+2\/3

x+1.

(2)过尸作尸轴，交直线4C于点G

设点尸的横坐标为f,贝-t2+2y/3t+\),G(t,

PG——P+26r+1—(-:+1)=一r+I,

/)X6=-9一逑,4973

SPAB=S~S,S——(—L+—y-I----，

PACpBCpAB2624

--<0,，当f=拽时，s.有最大值，最大值为驾

26

(3)如图，♦.【、C、0、R为顶点的四边形是以/IC为边的平行四边形，，0、R均在x轴的下方.

过R作夕轴的垂线，过C作对称轴的垂线，垂足分别为7、H,则△4RTWAQCH,：.RT=CH,AT=QH,

将直线4C与抛物线联立得：

-y=~~X+},解得」3,『=°,(拽，，)，."”二述二夫兀...我的横坐标为

j一+2怎+]|,i=_|I_333

一迪，将x=一还代入到抛物线中得了=一卫，(一生g,AT=\~(--)=—=

333333