2024年中考数学真题分类汇编（全国）：专题22 图形的相似（31题）（学生版）

专题22图形的相似（31题）

一、单选题

1．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比为1:4，则这两个三角形面积的比是（）

A．1:2B．1:4C．1:8D．1:16

2．（2024·四川内江·中考真题）已知ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1:3，则ABC与△A1B1C1的周长

比为（）

A．1:1B．1:3C．1:6D．1:9

3．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E,F是边BC上两点，且BEEFFC，连接

DE,AF,DE与AF相交于点G，连接BG．若AB4，BC6，则sinGBF的值为（）

1031012

A．B．C．D．

101033

4．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA1，则OG（）

125512564323

A．B．C．D．

64642727

5．（2024·四川德阳·中考真题）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：dm）的正方

形纸片ABCD，他在边AB和AD上分别取点E和点M，使AEBE,AM1，又在线段MD上任取一点N

（点N可与端点重合），再将EAN沿NE所在直线折叠得到△EA1N，随后连接DA1．小王同学通过多次实

践得到以下结论：

①当点N在线段MD上运动时，点A1在以E为圆心的圆弧上运动；

②当DA1达到最大值时，A1到直线AD的距离达到最大；

③DA1的最小值为252；

④DA1达到最小值时，MN55．

你认为小王同学得到的结论正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

6．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AF平分BAC，将矩形沿直线EF折叠，使点A，

B分别落在边AD、BC上的点A，B处，EF，AF分别交AC于点G，H．若GH2，HC8，则BF的

长为（）

20220353

A．B．C．D．5

992

k

7．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形ABC中，ABAC，反比例函数yk0的图象经

x

AN

过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则的值为（）

AB

1112

A．B．C．D．

3455

二、填空题

8．（2024·辽宁·中考真题）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且AOB与△DOC的面积比是1:4，

若AB6，则CD的长为．

9．（2024·山东济宁·中考真题）如图，ABC中，ABAC,BAC90，AD是ABC的角平分线．

（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F．

（2）以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G．

（3）以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H．

（4）画射线AH．

（5）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M．

（6）连接MC，MB，MB分别交AC，AD于点N，P．

根据以上信息，下面五个结论中正确的是．（只填序号）

AM3

①BDCD；②ABM15；③APNANP；④；⑤MC2MNMB．

AD2

10．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB、CD于点

E、F．若AD8，BE10，则tanABD．

11．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长

是．

12．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在ABC中，AC2，AB3，直线CM∥AB，E是BC上的动点

（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP2ED，作PQ∥AB，交射线AC

于点Q．设AQx，PQy．当xy时，CD；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式

为．

13．（2024·安徽·中考真题）如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB,BC上，沿垂直于EF的

直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B，C处，然后还原．

（1）若点N在边CD上，且BEF，则CNM（用含α的式子表示）；

（2）再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD,AD上，点D落在正方形所在平面

内的点D¢处，然后还原．若点D¢在线段BC上，且四边形EFGH是正方形，AE4，EB8，MN与GH

的交点为P，则PH的长为．

14．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BD、CD

于点F、M，过点F作NPAE，分别交AD、BC于点N、P，连接MP．下列四个结论：①AMPN；

②DMDN2DF；③若P是BC中点，AB3，则EM210；④BFNFAFBP；⑤若PM∥BD，

则CE2BC．其中正确的结论是．

15．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它

是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形

ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2．若BEkAE(k1)，

S

则用含k的式子表示1的值是．

S2

三、解答题

16．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB是O的直径，BC,BD是O的两条弦，点C与点D在AB的

两侧，E是OB上一点（OEBE），连接OC,CE，且BOC2BCE．

(1)如图1，若BE1，CE5，求O的半径；

(2)如图2，若BD2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答）

17．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是BAD，BCD的平分

线，且E、F分别在边BC，AD上．

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)若ADC60，DF2AF2，求GDF的面积．

k

18．（2024·山东烟台·中考真题）如图，正比例函数yx与反比例函数y的图象交于点A6,a，将正

x

比例函数图象向下平移nn0个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴

交于点D，E，且满足BE:CE3:2．过点B作BFx轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC与BG

关于直线BF成轴对称，连接CG．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)求n的值及BCG的面积．

19．（2024·四川德阳·中考真题）如图，在菱形ABCD中，ABC60，对角线AC与BD相交于点O，点

F为BC的中点，连接AF与BD相交于点E，连接CE并延长交AB于点G．

(1)证明：BEF∽BCO；

(2)证明：△BEG≌△AEG．

20．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，AB是O的直径，ACD内接于O，CDDB，AB，CD的延

长线相交于点E，且DEAD．

(1)求证：△CAD∽△CEA；

(2)求ADC的度数．

21．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yxm与直线y2x相交于点

k

A2,a，与x轴交于点Bb,0，点C在反比例函数yk0图象上．

x

(1)求a，b，m的值；

(2)若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值；

(3)过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得△ABD

与ABE相似，求k的值．

m

22．（2024·四川南充·中考真题）如图，直线ykxb经过A(0,2),B(1,0)两点，与双曲线y(x0)交

x

于点C(a,2)．

(1)求直线和双曲线的解析式．

(2)过点C作CDx轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与△BCD相似，直接写出点

P的坐标．

23．（2024·重庆·中考真题）如图，在ABC中，AB6，BC8，点P为AB上一点，过点P作PQ∥BC交

AC于点Q．设AP的长度为x，点P，Q的距离为y1，ABC的周长与△APQ的周长之比为y2．

(1)请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；

(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；请分别写出函数y1，y2的一条性质；

(3)结合函数图象，直接写出y1y2时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）

24．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方

法．

(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗

杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为________m；

(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得

小李的眼睛距地面高度DE1.5m，小李到镜面距离EC2m，镜面到旗杆的距离CB16m．求旗杆高度；

(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显

提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水

平线上．

如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．

如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并

标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG1.8m，DG1.5m．将观测点D后移24m到D¢处，采

用同样方法，测得CG1.2m，DG2m．求雕塑高度（结果精确到1m）．

25．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如

图1，在ABC中，ABAC，点D是AC上的一个动点，过点D作DEBC于点E，延长ED交BA延长

线于点F．

请你解决下面各组提出的问题：

(1)求证：ADAF；

DFAD

(2)探究与的关系；

DEDC

AD1DF2AD4DF8

某小组探究发现，当时，；当时，．

DC3DE3DC5DE5

请你继续探究：

AD7DF

①当时，直接写出的值；

DC6DE

ADmDF

②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明；

DCnDE

(3)拓展应用：在图1中，过点F作FPAC，垂足为点P，连接CF，得到图2，当点D运动到使ACFACB

ADmAP

时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．

DCnAD

26．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在YABCD中，ABC为锐角，点E在边AD上，连接BE,CE，

且SABESDCE．

(1)如图1，若F是边BC的中点，连接EF，对角线AC分别与BE,EF相交于点G,H．

①求证：H是AC的中点；

②求AG:GH:HC；

(2)如图2，BE的延长线与CD的延长线相交于点M，连接AM,CE的延长线与AM相交于点N．试探究线

段AM与线段AN之间的数量关系，并证明你的结论．

27．（2024·贵州·中考真题）综合与探究：如图，AOB90，点P在AOB的平分线上，PAOA于点

A．

(1)【操作判断】

如图①，过点P作PCOB于点C，根据题意在图①中画出PC，图中APC的度数为______度；

(2)【问题探究】

如图②，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PNPM交射线OB于点N，求证：OMON2PA；

(3)【拓展延伸】

点M在射线AO上，连接PM，过点P作PNPM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，

OP

若ON3OM，求的值．

OF

28．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在ABC中，点D在边BC上．若BADC，

则AB2BDBC，请证明；

（2）【灵活运用】如图2，在ABC中，BAC60，点D为边BC的中点，CACD2，点E在AB上，

连接AD，DE．若AEDCAD，求BE的长；

（3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB5，点E，F分别在边AD，CD上，ABC2EBF，

延长AD，BF相交于点G．若BE4，DG6，求FG的长．

29．（2024·江西·中考真题）综合与实践

如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD

CECB

的右侧构造Rt△CDE，DCE90，连接BE，m．

CDCA

特例感知

（1）如图1，当m1时，BE与AD之间的位置关系是______，数量关系是______；

类比迁移

（2）如图2，当m1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．

拓展应用

（3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC6，设ADx，

四边形CDFE的面积为y．

①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；

②当BF2时，请直接写出AD的长度．

30．（2024·四川达州·中考真题）在学习特殊的平行四边形时，我们发现