2024年中考数学真题分类汇编（全国）：专题33 阅读理解与新定义题（31题）（教师版）

专题33阅读理解与新定义题（31题）

一、单选题

1．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：aba2bab，例如4342343，则函数

yx12的最小值为（）

A．21B．9C．7D．5

【答案】B

【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最

值即可．

【详解】解：由题意得，yx12x122x12x5x1，

2

即yx24x5x29，

当x2时，函数yx12的最小值为9．

故选：B．

2．（2024·山东威海·中考真题）定义新运算：

①在平面直角坐标系中，a,b表示动点从原点出发，沿着x轴正方向（a0）或负方向（a0）．平移a

个单位长度，再沿着y轴正方向（b0）或负方向（b0）平移b个单位长度．例如，动点从原点出发，

沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作2,1．

②加法运算法则：a,bc,dac,bd，其中a，b，c，d为实数．

若3,5m,n1,2，则下列结论正确的是（）

A．m2，n7B．m4，n3

C．m4，n3D．m4，n3

【答案】B

【分析】本题考查了新定义运算，平面直角坐标系，根据新定义得出3m1,5n2，即可求解．

【详解】解：∵a,bc,dac,bd，3,5m,n1,2

∴3m1,5n2

解得：m4，n3

故选：B．

3．（2024·广东深圳·中考真题）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些

物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏

季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立

冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为

（）

1111

A．B．C．D．

21264

【答案】D

【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式直接得出答案．

【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个，

61

则抽到的节气在夏季的概率为，

244

故选：D．

4．（2024·甘肃·中考真题）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全

套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可

组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，

长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（）

A．y3xB．y4xC．y=3x+1D．y4x1

【答案】B

【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是2x，再根据

长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可．

【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是2x，

∴yxx2x4x，

故选：B．

5．（2024·甘肃·中考真题）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积

表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的

矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和

宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为15,16，那么有

序数对记为12,17对应的田地面积为（）

A．一亩八十步B．一亩二十步C．半亩七十八步D．半亩八十四步

【答案】D

【分析】根据15,16可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，解答即可．

本题考查了坐标与位置的应用，熟练掌握坐标与位置的应用是解题的关键．

【详解】根据15,16可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，

故12,17对应的是半亩八十四步，

故选D．

二、填空题

6．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：m*nmnmn（m，n均为整数，且m0）．例：

2*323232，则(2)*2．

【答案】8

2

【分析】根据定义，得(2)*22228，解得即可．

本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．

2

【详解】根据定义，得(2)*22228，

故答案为：8．

7．（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究

物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是1018秒，也就是十亿分之一秒

的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为秒．

【答案】4.31017

【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a10n，解题的关键是熟知1a10．根

据题意可知，43阿秒431018秒，再根据科学记数法的表示方法表示出来即可．

【详解】解：根据题意1阿秒是1018秒可知，

43阿秒4310184.31017秒，

故答案为：4.31017．

8．（2024·甘肃·中考真题）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化

遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同

的圆心O，且圆心角O100，若OA120cm，OB60cm，则阴影部分的面积是cm2．（结果

用π表示）

【答案】3000

【分析】根据扇形面积公式计算即可．本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．

【详解】∵圆心角O100，OA120cm，OB60cm，

1001202100602

∴阴影部分的面积是

360360

3000cm2

故答案为：3000．

9．（2024·四川泸州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移aa0个单位，再

绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的a,变换．如：点A2,0按照1,90变

换后得到点A的坐标为(-1,2)，则点B3,1按照2,105变换后得到点B的坐标为．

【答案】2,2

【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形．根据题意，点B3,1向上平移2个单位，得到点C3,1，

再根据题意将点C3,1绕原点按逆时针方向旋转105，得到OBOC2，BOD45，据此求解即

可．

【详解】解：根据题意，点B3,1向上平移2个单位，得到点C3,1，

∴CE1，OE3，

2CE1

∴OC1232，sinCOE，

OC2

∴COE30，

根据题意，将点C3,1绕原点按逆时针方向旋转105，

∴BOE10530135，

作BDx轴于点D，

∴OBOC2，BOD18013545，

∴BDODOBsin452，

∴点B的坐标为2,2，

故答案为：2,2．

10．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数a，b定义运算“※”为a※ba3b，例如5※253211，

则关于x的不等式x※m2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是．

1

【答案】0m

3

【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于m

的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于x的不等式，再由不等式的解集有且只有一个

正整数解得出关于m的不等式组求解可得．

【详解】解：根据题意可知，x※mx3m2

解得：x23m

x※m2有且只有一个正整数解

23m1①

23m2②

1

解不等式①，得：m

3

解不等式②，得：m0

1

0m

3

1

故答案为：0m．

3

11．（2024·湖北武汉·中考真题）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次

综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升

至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45，底端B的俯角为63，则测得黄鹤楼的高度

是m．（参考数据：tan632）

【答案】51

【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长BA交距水平地面

102m的水平线于点D，根据tan632，求出DCAD51m，即可求解．

【详解】解：延长BA交距水平地面102m的水平线于点D，如图，

由题可知，BD102m，

设ADx，

∵DCA45

∴DCADx

BD102

∴tan632

DCx

∴DCAD51m

∴ABBDAD1025151m

故答案为：51．

12．（2024·山东泰安·中考真题）某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和

小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备

从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率

是．

【答案】2

9

【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是

解答本题的关键．

先列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果数，再利用概率公式计算

即可．

【详解】解：将《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》、《朝花夕拾》分别记为A，B，C，D，

列表如下：

ABD

A（A，A）（A，B）（A，D）

B（B，A）（B，B）（B，D）

C（C，A）（C，B）（C，D）

共有9种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果有2种，

∴小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率为2．

9

故答案为：2．

9

13．（2024·湖南长沙·中考真题）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，

现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者

从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果

再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应

的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的

出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是．

【答案】2009

【分析】本题考查二元一次方程的解，理解题意是解答的关键．设这位参与者的出生年份是x，从九个数

字中任取一个数字为a，根据题意列二元一次方程，整理得x100a1109，根据a的取值得到x的9种

可能，结合实际即可求解．

【详解】解：设这位参与者的出生年份是x，从九个数字中任取一个数字为a，

根据题意，得10a4.6101978x915，

整理，得100a461978x915

∴x100a1109，

∵a是从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，

∴x的值可能为1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009，

∵是为庆祝中国改革开放46周年，且参与者均为在校中学生，

∴x只能是2009，

故答案为：2009．

14．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数ya(xm)2k（a0）中存在一点Px,y，使得

11

xmyk0，则称2xm为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线yx2x3“开口大小”

23

为．

【答案】4

【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理

11

解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到1，按照定义

2x

3

求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键．

【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知yka(xm)2中存在一点Px,y，使得

yk1

xmyk0，则a，

(xm)2xm

11

yx2x3

23

122

xx3

23

12211

xx3

2399

12211

xx3

23918

2

1155

x，

2318

11

12111

yxx3中存在一点Px,y，有21，解得x2，则2x4，

23x33

3

11

抛物线yx2x3“开口大小”为4，

23

故答案为：4．

15．（2024·重庆·中考真题）一个各数位均不为0的四位自然数Mabcd，若满足adbc9，则称这

个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵18279，∴1278是“友谊数”．若abcd是一个“友谊

M

数”，且bacb1，则这个数为；若Mabcd是一个“友谊数”，设FM，且

9

FMabcd

是整数，则满足条件的M的最大值是．

13

【答案】34566273

【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到adbc9，再由bacb1可求出a、b、c、d

FMabcd3ab6

的值，进而可得答案；先求出M999a90b99，进而得到9a8，根据

1313

FMabcd3ab63ab6

是整数，得到9a8是整数，即是整数，则3ab6是13的倍数，

131313

求出a8，再按照a从大到小的范围讨论求解即可．

【详解】解：∵abcd是一个“友谊数”，

∴adbc9，

又∵bacb1，

∴b4，c5，

∴a3，d6，

∴这个数为3456；

∵Mabcd是一个“友谊数”，

∴M1000a100b10cd

1000a100b109b9a

999a90b99，

M

∴FM111a10b11，

9

∴FMabcd

13

111a10b1110ab10cd

13

111a10b1110ab109b9a

13

120ab110

13

117a3ab1046

13

3ab6

9a8，

13

∵FMabcd是整数，

13

3ab63ab6

∴9a8是整数，即是整数，

1313

∴3ab6是13的倍数，

∵a、b、c、d都是不为0的正整数，且adbc9，

∴a8，

∴当a8时，313ab638，此时不满足3ab6是13的倍数，不符合题意；

当a7时，283ab635，此时不满足3ab6是13的倍数，不符合题意；

当a6时，253ab632，此时可以满足3ab6是13的倍数，即此时b2，则此时d3，c7，

∵要使M最大，则一定要满足a最大，

∴满足题意的M的最大值即为6273；

故答案为：3456；6273．

16．（2024·重庆·中考真题）我们规定：若一个正整数A能写成m2n，其中m与n都是两位数，且m与n的

十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成m2n的过程，称为“方减分解”．例

如：因为60225223，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分

解成60225223的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是．把一个“方减数”A进

行“方减分解”，即Am2n，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为1，且2mnk2

（k为整数），则满足条件的正整数A为．

【答案】824564

【分析】本题考查了新定义，设m10ab，则n10a8b（1a9，0b8）根据最小的“方减数”

3a4b7

可得m10,n18，代入，即可求解；根据B除以19余数为1，且2mnk2（k为整数），得出

19

为整数，30ab8是完全平方数，在1a9，0b8，逐个检验计算，即可求解．

【详解】①设m10ab，则n10a8b（1a9，0b8）

2

由题意得：m2n10ab10a8b，

∵1a9，“方减数”最小，

∴a1，

则m10b，n18b，

2

∴m2n10b18b10020bb218b82b221b，

则当b0时，m2n最小，为82，

故答案为：82；

②设m10ab，则n10a8b（1a9，0b8）

∴B1000a100b10a8b1010a99b8

∵B除以19余数为1，

∴1010a99b7能被19整除

B13a4b7

∴53a5b为整数，

1919

又2mnk2（k为整数）

∴210ab10a8b30ab8是完全平方数，

∵1a9，0b8

∴30ab8最小为49，最大为256

即7k16

设3a4b719t，t为正整数，

则1t3

33

当t1时，3a4b12，则b3a，则30ab830a3a8是完全平方数，又1a9，0b8，

44

无整数解，

313a313a

当t2时，3a4b31，则b,则30ab830a8是完全平方数，又1a9，0b8，

44

无整数解，

503a503a

当t3时，3a4b50，则b，则30ab830a8是完全平方数，

44

经检验，当a6,b8时，3a4b73648757193，30688196142，t3,k14，

∴m68,n60，

∴A682604564

故答案为：82，4564．

17．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图

象的“近轴点”．例如，点0,1是函数yx1图象的“近轴点”．

（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是（填序号）；

2

①yx3；②y；③yx22x1．

x

（2）若一次函数ymx3m图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为．

11

【答案】③m0或0m

22

【分析】本题主要考查了新定义——“近轴点”．正确理解新定义，熟练掌握一次函数，反比例函数，二次

函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键．

（1）①yx3中，取xy1.5，不存在“近轴点”；

2

②y，由对称性，取xy2，不存在“近轴点”；

x

2

③yx22x1x1，取x1时，y0，得到1,0是yx22x1的“近轴点”；

11

（2）ymx3mmx3图象恒过点3,0，当直线过1,1时，m，得到0m；当直线过1,1

22

11

时，m，得到m0．

22

【详解】（1）①yx3中，

x1.5时，y1.5，

不存在“近轴点”；

2

②y，

x

由对称性，当xy时，xy2，

不存在“近轴点”；

2

③yx22x1x1，

x1时，y0，

∴1,0是yx22x1的“近轴点”；

∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③

故答案为：③；

（2）ymx3mmx3中，

x3时，y0，

∴图象恒过点3,0，

当直线过1,1时，1m13，

1

∴m，

2

1

∴0m；

2

当直线过1,1时，1m13，

1

∴m，

2

1

∴m0；

2

11

∴m的取值范围为m0或0m．

22

11

故答案为：m0或0m．

22

三、解答题

18．（2024·吉林·中考真题）吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大

冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸

引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机

抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮

恰好抽中同一个项目的概率．

1

【答案】

3

【分析】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或

两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．画出树状图，可知共有9种

等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，再由概率公式求解即可．

【详解】解：将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件A、B、C，可画树状图为：

由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，

31

∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率P．

93

19．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正

sin

弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，

sin

介质对光作用的一种特征．

7

(1)若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且cos，30，求该介质的折射率；

4

(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，

若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知60，

CD10cm，求截面ABCD的面积．

3

【答案】(1)；

2

(2)1002cm2．

【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识，

7

（1）根据cos，设b7x，则c4x，利用勾股定理求出a(4x)2(7x)23x，进而可得

4

a3x3

sin，问题即可得解；

c4x4

3sinsin6033

（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，根据，可得sin，则有

2sinsin23

3

sinOCDsin，在Rt△ODC中，设OD3x，OC3x，问题随之得解．

3

7

【详解】（1）∵cos，

4

∴如图，

设b7x，则c4x，由勾股定理得，a(4x)2(7x)23x，

a3x3

∴sin，

c4x4

又∵30，

1

∴sinsin30，

2

3

sin3

∴折射率为：4．

sin12

2

3

（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，

2

∵60，

sinsin603

∴，

sinsin2

3

∴sin．

3

∵四边形ABCD是矩形，点O是AD中点，

∴AD2OD，ÐD=90°，

又∵OCD，

3

∴sinOCDsin，

3

在Rt△ODC中，设OD3x，OC3x，

由勾股定理得，CD(3x)2(3x)26x，

OD3x1

∴tan．

CD6x2

又∵CD10cm，

OD1

∴，

102

∴OD52cm，

∴AD102cm，

∴截面ABCD的面积为：102101002cm2．

20．（2024·青海·中考真题）综合与实践

顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中．点．四．边．形．．数学

兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．

以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．

【探究一】

原四边形对角线关系中点四边形形状

不相等、不垂直平行四边形

如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点．

求证：中点四边形EFGH是平行四边形．

证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，

∴EF、GH分别是ABC和ACD的中位线，

11

∴EFAC，GHAC（____①____）

22

∴EFGH．

同理可得：EHFG．

∴中点四边形EFGH是平行四边形．

结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．

（1）请你补全上述过程中的证明依据①________

【探究二】

原四边形对角线关系中点四边形形状

不相等、不垂直平行四边形

ACBD菱形

从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．

（2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后．续．的证明过程．

【探究三】

原四边形对角线关系中点四边形形状

不相等、不垂直平行四边形

ACBD②________

（3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________．

（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后．续．的证明过程．

【归纳总结】

（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．

中点四边形形状

原四边形对角线关系

③________④________

结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________．

【答案】（1）①中位线定理

（2）证明见解析

（3）②矩形

（4）证明见解析

（5）补图见解析；③ACBD且ACBD；④正方形

【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性

质等知识

（1）利用三角形中位线定理即可解决问题；

（2）根据三角形中位线定理，菱形判定定理即可解决问题；

（3）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题；

（4）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题；

（5）根据三角形中位线定理，正方形判定定理即可解决问题.

【详解】（1）①证明依据是：中位线定理；

（2）证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，

∴EF、GH分别是ABC和ACD的中位线，

11

∴EFAC，GHAC

22

∴EFGH．

同理可得：EHFG．

∵ACBD

∴EFGHEHFG

∴中点四边形EFGH是菱形．

（3）②矩形；

故答案为：矩形

（4）证明∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，

∴EF、GH分别是ABC和ACD的中位线，

∴EF∥AC，GH∥AC，

∴EF∥GH．

同理可得：EH∥FG．

∵ACBD

∴AODAIH90，∠FEH∠AIH

∴AODEFGFEHEHG90

∴中点四边形EFGH是矩形．

（5）证明：如图4，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，

∴EF、GH分别是ABC和ACD的中位线，

11

∴EFAC，GHAC

22

∴EFGH．

同理可得：EHFG．

∵ACBD

∴EFGHEHFG

∴中点四边形EFGH是菱形．

∵ACBD

由（4）可知AODEFGFEHEHG90

∴菱形EFGH是正方形．

故答案为：③ACBD且ACBD；④正方形

21．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火

箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运

行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的

1

直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线yax2x和直线yxb．其中，当火箭运行的

2

水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．

(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km．

①直接写出a，b的值；

②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．

(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．

1

【答案】(1)①a，b8.1；②8.4km

15

2

(2)a0

27

【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，

一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．

2

1211515

（1）①将9,3.6代入即可求解；②将yxx变为yx，即可确定顶点坐标，得出

151524

y2.4km，进而求得当y2.4km时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可；

2

（2）若火箭落地点与发射点的水平距离为15km，求得a，即可求解．

27

【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为3.6km

1

∴抛物线yax2x和直线yxb均经过点9,3.6

2

1

∴3.681a9，3.69b

2

1

解得a，b8.1．

15

11

②由①知，yx8.1，yx2x

215

2

1211515

∴yxxx

151524

15

∴最大值ykm

4

15

当y1.352.4km时，

4

1

则x2x2.4

15

解得x112，x23

又∵x9时，y3.62.4

∴当y2.4km时，

1

则x8.12.4

2

解得x11.4

11.438.4km

∴这两个位置之间的距离8.4km．

（2）解：当水平距离超过15km时，

火箭第二级的引发点为9,81a9，

1

将9,81a9，15,0代入yxb，得

2

11

81a99b，015b

22

2

解得b7.5，a

27

2

∴a0．

27

22．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】

手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装

了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．

【模型建立】

（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．AMAN，DMDN．求证：AMDAND．

【模型应用】

（2）如图2，AMC中，MAC的平分线AD交MC于点D．请你从以下两个条件：

①AMD2C；②ACAMMD中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明

过程．（注：只需选择一种情况作答）

【拓展提升】

（3）如图3，AC为O的直径，ABBC，BAC的平分线AD交BC于点E，交O于点D，连接CD．求

证：AE2CD．

【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解

析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形

斜边上的中线性质，三角形的外角性质等：

（1）利用SSS证明△ADM≌△ADN，即可；

（2）选择②为条件，①为结论：在AC取点N，使ANAM，连接DN，证明△ADM≌△ADN，可得DMDN，

AMDAND，再由ACAMMD，可得DNCN，从而得到CCDN，即可；选择①为条件，

②为结论：在AC取点N，使ANAM，连接DN，证明△ADM≌△ADN，可得DMDN，AMDAND，

再由AMD2C，可得CCDN，从而得到DNCN，即可；

（3）连接BD，取AE的中点F，连接BF，根据圆周角定理可得BDCD，从而得到BCDCBD，再

由AC为O的直径，可得AE2BF2AF，从而得到ABFBAF，然后根据ABBC，可得ABBC，

可证明△ABF≌△CBD，从而得到BFBDCD，即可．

【详解】解：（1）在△ADM和△ADN中，

∵AMAN，DMDN，ADAD，

∴ADM≌ADNSSS，

∴AMDAND；

（2）解：选择②为条件，①为结论

如图，在AC取点N，使ANAM，连接DN，

∵AD平分MAC，

∴DAMDAN，

在△ADM和△ADN中，

∵AMAN，DAMDAN，ADAD，

∴ADM≌ADNSAS，

∴DMDN，AMDAND，

∵ACAMMD，ACANNC，

∴DMCN，

∴DNCN，

∴CCDN，

∴AMDANDCDNC2C；

选择①为条件，②为结论

如图，在AC取点N，使ANAM，连接DN，

∵AD平分MAC，

∴DAMDAN，

在△ADM和△ADN中，

∵AMAN，DAMDAN，ADAD，

∴ADM≌ADNSAS，

∴DMDN，AMDAND，

∵AMD2C，

∴AND2CCDNC，

∴CDNC，

∴DNCN，

∴DMCN，

∵ACANNC，

∴ACAMMD；

（3）如图，连接BD，取AE的中点F，连接BF，

∵BAC的平分线AD，

∴DCBD，

∴BDCD，

∴BCDCBD，

∵AC为O的直径，

∴ABC90，

∴AE2BF2AF，

∴ABFBAF，

∵BAFBCD，

∴ABFCBD，

∵ABBC，

∴ABBC，

∴△ABF≌△CBD，

∴BFBDCD，

∴AE2CD．

23．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．

制定加工方案

◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．

背景◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”

服装件．

生产背11

◆要求全厂每天加工雅服装至少件，正服装总件数和风服装相等

景“”10“”“”.

背景每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：

2①“风”服装：24元/件；

②“正”服装：48元/件；

③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每

件获利将减少2元．

现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：

服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）

信息整理风y224

雅x1

正148

任务

探寻变量关系求x、y之间的数量关系．

1

探究任任务

建立数学模型设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．

务2

任务

拟定加工方案制定使每天总利润最大的加工方案．

3

170

【答案】任务1：yx；任务2：w2x272x3360(x10)；任务3：安排19名工人加工“雅”

33

服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润

【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键．

任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有70xy

人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果；

任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x1002x10，然后将2种服装的获利求和即可得出结

果；

任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可．

【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，

∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，

∴加工“正”服装的有70xy人，

∵“正”服装总件数和“风”服装相等，

∴70xy12y，

170

整理得：yx；

33

任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x1002x10，

∴w2y2470xy48x1002x10，

整理得：w16x112032x22402x2120x

∴w2x272x3360(x10)

2

任务3：由任务2得w2x272x33602x184008，

∴当x18时，获得最大利润，

17052

y18，

333

∴x18，

∵开口向下，

∴取x17或x19，

53

当x17时，y，不符合题意；

3

51

当x19时，y17，符合题意；

3

∴70xy34，

综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工