2025北京高三一模数学汇编：第二道解答题（第17题）

第1页/共1页2025北京高三一模数学汇编第二道解答题（第17题）一、解答题1．（2025北京延庆高三一模）在中，，.(1)求b；(2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使为锐角三角形，并求的面积.条件①：；条件②：AB边上中线的长为；条件③：.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.2．（2025北京平谷高三一模）如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，.(1)点在棱上，若平面，求证：为的中点；(2)求与平面所成的角.3．（2025北京朝阳高三一模）在中，(1)求c的值；(2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长．条件①：；条件②：AB边上的高为；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．4．（2025北京丰台高三一模）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，.

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.5．（2025北京石景山高三一模）某市在高中阶段举办“环保知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动．现从参赛学生中随机抽取了男、女各30名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下：成绩男生人数361182女生人数ab1242(1)在抽取的60名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率；(2)从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；(3)试确定a，b的值，使得抽取的女生成绩方差最小．（结论不要求证明）6．（2025北京房山高三一模）如图，在长方体中，为的中点，与平面交于点.(1)求证：为的中点；(2)若二面角的余弦值为，求的长度.7．（2025北京西城高三一模）在中，．(1)求的值；(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．8．（2025北京东城高三一模）如图，在几何体中，四边形为平行四边形，平面平面.(1)证明：平面；(2)已知点到平面的距离为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.9．（2025北京海淀高三一模）在中，已知，．(1)求的值；(2)若为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．10．（2025北京顺义高三一模）已知函数.(1)求的值；(2)再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定.当在区间上仅有一个零点时，求的取值范围.条件①：在上是单调函数；条件②：图象的一个对称中心为；条件③：对任意的，都有成立.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.11．（2025北京门头沟高三一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知.(1)求；(2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：，；条件②：，；条件③：边上的高，.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

参考答案1．(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可求解；（2）若选择①②，应用余弦定理结合锐角三角形，即可判断；若选择③应用余弦定理及同角三角函数关系，以及三角形面积公式即可求解.【详解】（1）在中，因为，再由可得.所以，即，所以.因为，所以.（2）选择条件①：，，，由余弦定理得，，因为为锐角三角形，所以不符合题意，不存在三角形；选择条件②：在中，设点为的中点，则，，中，根据余弦定理解得，所以，所以，因为，所以为锐角三角形，所以，在中，.选择条件③：在中，为锐角三角形，因为，所以，所以，，，所以，所以，所以，解得或舍.所以，所以为锐角三角形，所以，在中，.2．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面平行的性质，结合平行四边形的定义，可得答案；（2）由题意建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案.【详解】（1）在中，过点作交于点，连接，因为，所以，所以四点共面.因为平面，平面，平面平面，所以.所以四边形是平行四边形，所以，所以为的中点.（2）过作于，连接.因为，所以为中点，，，所以四边形为平行四边形，又，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，所以.如图建立空间直角坐标系.因为，由题意得，，所以.设平面的法向量为，则，即，令，则.所以平面的一个法向量为.设与平面所成角为，则，又，解得.所以与平面所成的角为.3．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合两角和的正弦公式化简求解的值；（2）根据所选条件，结合正弦定理、三角形面积公式等求出三角形的其他边，进而求得周长.【详解】（1）由正弦定理及得．所以．所以．又因为，所以．所以．（2）选条件①：因为，且，所以．因为，所以．所以．又因为，所以．所以．又，所以．所以的周长为．选条件②：因为边上的高为，所以．又因为，所以．所以．因为，所以．（1）当时，由，得．又，所以．所以．所以的周长为．（2）当时，由，得．又，所以，不符合题意．综上，的周长为．选条件③：由余弦定理，可得，即。解得或，此时不唯一，不符合要求.4．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据余弦定理求得即可得到，利用面面垂直的性质定理可证明结论.（2）分别取，中点，证明，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量可得结果.【详解】（1）∵在中，，，，∴，故.∵，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）

分别取，中点，连接，，则，.∵，∴.∵为等边三角形，∴，故.∵平面，平面，∴.∵，∴，故，，两两垂直.如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，，.设平面的法向量为，则即令，则，，∴.设直线与平面所成角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为.5．(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）先确定成绩在80分及以上的男、女生人数，再利用组合数计算从这些学生中随机抽取2人，恰好男、女生各1人且分数段不同的概率，用到古典概型的概率公式；（2）先求出从男生中随机抽取1人成绩在80分及以上的概率，判断随机变量X服从二项分布，然后根据二项分布的概率公式求出分布列，再根据期望公式求出数学期望；（3）根据方差的性质，数据越集中方差越小，确定a，b的值.【详解】（1）确定成绩在80分及以上的学生人数，男生中成绩在的有8人，在的有2人，共人；女生中成绩在的有4人，在的有2人，共人.所以成绩在80分及以上的学生共有人.从这16人中随机抽取2人的总组合数为种.要满足恰好男、女生各1人且分数段不同，分两种情况：男生从选，女生从选，有种选法.男生从选，女生从选，有种选法.所以满足条件的选法共有种.根据古典概型概率公式所求概率.（2）从男生中随机抽取1人，成绩在80分及以上的概率为.从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X，因为每次抽取是相互独立的，且概率相同，所以X服从参数为，的二项分布，即.根据二项分布的概率公式，可得：.....所以X的分布列为：X01234P根据二项分布的数学期望公式，可得.（3）因为抽取的女生共30人，所以，即.当数据越集中时方差越小，所以当时，抽取的女生成绩方差最小.6．(1)证明见解析(2).【分析】（1）运用长方体性质，得到面面平行，再用面面平行性质得到线线平行，进而得到是平行四边形.则.借助勾股定理和已知条件得到即可.（2）建立空间直角坐标系，设，求出关键点坐标和平面法向量坐标，结合向量夹角公式得到，解出即可.【详解】（1）在长方体中，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以.同理.所以是平行四边形.所以.又，.所以.所以为的中点.（2）在长方体中，建立空间直角坐标系，设，则.因此.设平面的法向量为，则即令，则，因此.易知平面的法向量为，则.解得.所以.7．(1)(2)条件选择见解析，答案见解析【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值；（2）对于条件①，利用余弦函数的单调性求出角的取值范围，结合三角形的内角和定理推出矛盾，可值条件①，不符合要求；选择条件②，求出的值，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面积公式结合等面积法可求出边上的高；选择条件③；求出、的值，利用两角和的正弦公式可求出的值，利用正弦定理求出的值，进而可得出边上的高为，求解即可；【详解】（1）由正弦定理，且，得，即．由，得．所以．由，得，所以．（2）选择条件①：因为，且余弦函数在上单调递减，故，又因为，从而可得，与三角形的内角和定理矛盾，故①不成立.选择条件②：由，且，得．由余弦定理，得，解得或（舍）．设边上的高为，则三角形面积，所以．选择条件③：由，且，得．由，且，得．所以．由正弦定理，得，所以边上的高．8．(1)证明见解析；(2)所选条件见解析，.【分析】（1）由题设得，，应用线面平行的判定证明平面，平面，再由面面平行的判定及性质证明结论；（2）根据已知证明，，，构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求点面距，列方程求的长.【详解】（1）由四边形为平行四边形，则，又，平面，平面，则平面，同理平面，由，都在平面内，则平面平面，平面，则平面；（2）平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，则，，选条件①：，都在平面内，则平面，平面，则；选条件②：由，，，则，又，故，所以，则，综上，，，，以为原点，为的正方向建立空间直角坐标系，所以，令，则，故，，令是平面的一个法向量，则，取，则，由题设，可得，所以.9．(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）转化已知条件求得，解得正弦定理，即可求得；（2）对条件①：求得，由其可为钝角，也可为锐角，从而判定三角形不唯一；对条件②，由，判定角唯一，且三角形唯一，再由正弦定理求得，以及，即可求得其面积；对条件③，求得，由，判定为锐角，三角唯一，同理求得，即可求得三角形面积.【详解】（1）因为，则，又，，故，也即；又，由正弦定理可得：，解得.（2）由（1）可知，，又为锐角，故，又；若选择条件①：，由正弦定理可得，解得，此时，可以为锐角，也可以时钝角，故此时三角形有两解，不满足题意，条件①不能选择；若选择条件②：，则，由正弦定理，可得；此时，两角均为锐角，故三角形唯一，且，故三角形的面积；若选择条件③：，又，解得，因为，又为锐角，故也是锐角，此时，三角形唯一，且，故三角形的面积；综上所述：条件①不能选；若选择条件②或③，三角形唯一，且其面积为.10．(1)(2)答案见解析【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式即可求解；（2）关于条件①，从函数的周期，以及单调区间两方面限制求出的取值范围；关于条件②求出函数对称中心表达式，将代入，确定的取值；关于条件③根据已知条件确定，从而确定的取值；再从选条件①②、①③、②③三种情况分别确定的值，再利用函数的性质即可求解.【详解】（1）因为，所以，所以.（2）对于条件①：在上是单调函数，因为在上是单调函数，所以，所以，又因为，解得，因为，解得，所以函数的单调单调递增区间为：，若函数在上单调递增，则，整理有，当时，，解得，当时，无解，得其他值时不等式无解；因为，解得，所以函数的单调单调递减区间为：，若函数在上单调递减，则，整理有，当时，，解得，当时，无解，得其他值时不等式无解；对于条件②：图象的一个对称中心为，因为，解得，所以函数的对称中心为，若是图象的一个对称中心，则，解得；对于条件③：对任意的，都有成立，则时，函数取得最大值，有，解得；若选条件①②，则有，方程无解，或，时，，所以，因为，所以，因为在区间上仅有一个零点，所以，，解得；若选条件①③，则有有，方程无解，或，时，，所以，因为，所以，因为在区间上仅有一个零点，所以，，解得；若选条件②③，则有，即，方程解不唯一，此时取值不唯一，所以函数不唯一，不合要求.11．(1)(2)解答见解析【分析】（1）利用正弦定理：边化角，再利用正弦的二