预测04 圆的综合（解析版）

预测04圆的综合

中考预测

概率预测☆☆☆☆☆

题型预测解答题☆☆☆☆☆

①有关圆的证明题

考向预测

②有关圆的计算

应试必备

圆的综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容！圆作为一个载体，常与三角形、

四边形结合，难度系数中等。

1.从考点频率看，圆是高频考点，中考对圆的知识点考查，综合能力要求极高！

2.从题型角度看，以解答题为主，分值10分左右！

圆常见辅助线的作法

1：连接半径，构造等腰三角形

在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件，我们通常可以连接半径构造等腰三角形，从而利用

等腰三角形的性质及圆中的相关定理。

2：遇弦添加弦心距或半径

根据垂径定理，连半径，可以构造直角三角形。设未知数，利用勾股定理列方程，求线段的长度。

3：构造同弧或等弧所对的圆心角或圆周角解题

在同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半。

在同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

4：构造直角或直径

直径所对的圆周角是90°。

5：切线的性质有关的辅助线一一添加过切点的半径

利用切线性质，可得半径与切线垂直

6：切线的判定有关的辅助线

（1）有公共点，连半径，证垂直。（2）无公共点，作垂直，证明与半径相等。

7：与三角形内切圆有关的辅助线

遇到三角形的内切圆时，连接内心与三角形各顶点，利用内心的性质进行有关计算与证明。

中考圆的综合题常见的隐含条件：①同圆所有的半径都相等；②直径所对的圆周角相等；③

同弧或等弧所对的圆周角相等。有关圆的解答题综合性特别强，会用到初中阶段所学所有几何知识

点，如果所有方法都尝试不行，记得用相似，对应边成比例。

真题回顾

1.（2021•湖北随州市•中考真题）如图，。是以A8为直径的。。上一点，过点。的切线。E交

AB的延长线于点E，过点B作交4。的延长线于点C,垂足为点尸.（1）求证：

AB=BC；（2）若的直径A8为9,sinA=-.①求线段8尸的长；②求线段距的长.

9

【答案】（1）见解析；（2）①B/=1；②BE=—

7

【分析1）连接0。，由DE是。。的切线，可得DE_L0。，可证OD//BC,可得NOZM=NC.由

OA^OD，可得NOZM=NA即可；（2）①连接BD，由。O的直径A5为9,sinA=02='，

AB3

BF1

可求5。=3,可证=尸，由5皿/8。/=而=],BF=1.②由（1）可知OD//BF,

_^.=19

可证尸s△召8,由性质可得99,解方程得6七=一.

BE+——7

22

【详解】（1）证明：连接OD,•••0E是。。的切线，，。石，。。，

又,：BC上DE,：.ODHBC,：,NODA=4C.

乂•.•在△QW中，OA^OD，：.ZODA=ZA，：.ZC=ZA,：.AB=BC；

（2）①连接6。，：。。的直径AB为9,.♦.AB=9，

在RtAABZ）中.VsinA=BD=—AB—3.

AB33

又「/OBD+ZA=ZFDB+/ODB=90°，豆NOBD=NODB，二ZA=/BDF，

在RtVBDF中,VsinZBPF=—=-,：.BF=-BD=\.

BD33

②由（1）可知ODHBF,：.ND0扶NFBE,Z0DE=ABFE,

BE1

BEBF=—9

:.AEBFsAEOD,：.——=——，即99,解得BE=—.经检验符合题意.

OEODBE+277

【点睛】本题考查圆的切线性质，平行线性质，等腰三角形判定与性质，直径所对圆周角性质，锐

角三角函数，三角形相似判定与性质，利用相似的性质构造方程是解题关键.

2.（2021•山东陶泽市•中考真题）如图，在。0中，AB是直径，弦CD_LAB,垂足为“，E为

BC上一点，/为弦OC延长线上一点，连接EE并延长交直径48的延长线于点G,连接AE交

3

CO于点P,若FE=EP.（1）求证：FE是。。的切线；（2）若。。的半径为8,sinF=-,求

8G的长.

【答案】（1）见解析；（2）BG=2

34

【分析】（1）连接施；证明施上研即可；（2）由sinF=；证得sinG=—,运用正弦的概念可得结

55

论.

【详解】解：（1）证明：连接施；如图，

・：()A^0E：・40AB^4()EA.•:E芹PF,:"EP2/PEF

V/AP44EPF,:・/AP+4EPF,:・/AE六NAPH.

■:CDLAB,：.ZAHC=90°.：・/OAE+/AP中9。°.

：・/OEA+/AE后90。：.NOEQ90°：.OEX.EF,丁必是。。的半径，成是圆的切线,

(2)・・・C〃J_力儿・・ArHG是直角三角形

•••sin产=3；♦丝=3设G〃=3x,则产G=5x

5FG5

由勾股定理得，FH=4x由（1）得，AOEG是直角三角形

84

,：0E=3：.-------=一解得，8G=2

8+BG5

【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定

是解答此题的关键.

3.（2021•四川广元市•中考真题）如图，在Rt^ABC中，NACB=90°,AD是4AC的平分

线，以A。为直径的。。交A8边于点区连接CE,过点。作DF//CE,交A8于点尸.

3

（1）求证：。尸是0。的切线；（2）若BD=5,sinZB=-,求线段。厂的长.

BD

【答案】（1）证明见详解；（2）述.

2

【分析】（1）先根据圆周角定理、角平分线定义、平行线性质证明仄应，再根据初为。。直

径，得到//峪/的后90°,进而得到/〃，劭，问题得证；

（2）先求出止3,证明△?!反叵△/"?,得至IJ游屐3,BOBACF8,解Rt△ABC中求出/R6,进

而得到4后6,求出A£>=3百，证明△/施s/\47）,得到匹=丝，即可求出也）=之叵.

FDAD2

【详解】解：（1）证明：连接DE,,:DC=DC工NCAANCED,

:A。是NR4c的平分线，：.ACAD-ZEAD,：.ACEI>AEAD,

'：DF//CE，；.ZCED-ZFDE,：.ZEAD-ZFDE,

•.3〃为O。直径，二/45»=/4公90°,:.NADE+NDA占9Q°,

:.NADE+NFS即4„外，又：4。为0。直径，二OF是0。的切线；

3

（2）,:NAE庐9Q：：.NBES：.DE=BD-sinZB=5x-=3,

ZAED-ZACD,ADAE-ADAC,AD-AD,：./\AED^/\ACD,

3

...腔屐3,...小筋68,在RtA?WC中，sin">

，设/小3x,/庐5x,，（5x）2-（3x）2=8、...犬〉。，.•.二2,反5A=10,/小3产6,

'：^AED^/XACD,：.AE-AO<6,...在口△/〃£中，=ylAE2+DE2=375.

■:/EAk/DAF,NAED=NAD六90°,

.DEAE36

：.^ADE^/\AFD,HP--=-7=,FD-正

'FD-ADFD3后2

【点睛】本题为圆的综合题，考查了切线的判定，圆的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质

等知识，根据题意添加辅助线，熟知圆的性质，利用三角函数解直角三角形是解题关键.

4.（2021•甘肃武威市•中考真题）如图，AABC内接于是。。的直径4B的延长线上一

点，NDCB=NOAC.过圆心。作BC的平行线交。C的延长线于点E.（1）求证：CO是。。

的切线；（2）若CO=4,CE=6,求。。的半径及tanN0C3的值；

A

【答案】（1）见解析；（2）半径为3,tanNOC3=2

【分析】（1）证明OC是00的半径，即证明/。8=90。，结合直径所对圆周角是90°、等腰

和已知NQ4C=NOC4即可求解；（2）由（1）中结论和3C〃OE可知，

EC

tanZOCB=tanZEOC=—,再由切、以和平行线分线段成比例，即可找到"、OB、BC.0E

OC

的关系，最后利用放△08三边的勾股定理即可求解.

【详解】（1）证明；如图，•••OA=OC.•.NtMCnNOO，

•：ZDCB=NOAC,：.4OCA=ZDCB,

QAB是。。的直径，.•.ZACBugO。，.•.NOC4+NOCB=90°，

:.ZDCB+NOCB=90°,即NOCD=90°,:.OC1DC^

又•••0C是00的半径，CO是00的切线.

“〃八.BDCDBD42

(2)BC〃OE,--------,LIaJn--------------

OBCEOB63

...设BD=2x，则OB=OC=3x,OD=OB+BD=5x,

OC±DC,OC2+CD2=OD2：.(3x)2+42=(5x)2,解得，x=l,

:.OC=3x=3.即。。的半径为3,•「BC〃。瓦.•.N0C3=N£0C，

EC6

在Rt^OCE中,tanZEOC=—=—=2,.•.tanNOC5=tanNEOC=2.

OC3

【点睛】本题考查圆切线的证明、平行线分线段成比例、勾股定理和锐角三角函数，属于中档几何

综合题，解题的关键在于直径所对圆周角是直角和方程思想.

5.（2021•四川泸州市•中考真题）如图，△力弘是。。的内接三角形，过点C作。。的切线交力

的延长线于点用小是。。的直径，连接抽⑴求证：NACE=N5；⑵若A3=8C,ADLBC

于点。，FC=4,E4=2,求的值

【答案】（1）证明见详解；（2）18.

［分析1（1）连接0C,根据尸C是。。的切线,小是。。的直径,可得？ACF?ECO,利用OE=OC、

得到？OEC?ECO,根据圆周角定理可得？OEC?B,则可证得NAC/=/B；

（2）由（1）可知NAC尸=NB,易得VAFC:7CFB,则有尸8=a=8,则可得AB=BC=6,

FA

并可求得。4=£擎=3,连接5E,易证VACD:VAE8,则有丝=生，可得

FCABAE

AD^E=ABg^C=18.

【详解】解：（1）连接OC

：FC是。。的切线，/少是。。的直径，，？OCF1ACE90。，

?ACF?ACO?ECO?ACO90°A?ACF?ECO

XVOE=OC：.^OEC?ECO根据圆周角定理可得：?OEC?B

：.?B?ECO,:.ZACF=ZB；

（2）由（1）可知ZACF=ZB,;ZAFC=NCFB/.VAFC:NCFB

•,甯需FB=£/：FC=4'*2,.・.用=胃咚=8

：.AB=FB-AF-8-2^6：.AB=BC=6

又•；V4FC:VCFB中，—=—：.CA=FA^iC=3,如图示，连接BE

BCFCFC4

'：ZACD=ZAEB,?ADC?ABE90"/•NACD:NAEB

ADAC

——=——ADg4E=ABgAC=6?318.

ABAE

【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，三角形相似

的判定与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键.

6.（2021•新疆中考真题）如图，/C是。。的直径，BC,物是。。的弦，”为及7的中点，OM与BD

交于点尸，过点〃作OE_L3C,交回的延长线于点反且切平分NACE.（1）求证：DE是00

2

的切线；（2）求证:NCDE=4DBE；（3）若DE=6,tanZC£）E=-,求曲,的长.

3

B

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

6

【分析】（1）连接如，AD,根据直径所对的圆周角为直角得出//屐90°,再综合角平分线的定义

以及圆的基本性质，推出/。层N4V,从而推出N49小应，即可得证；

（2）在（1）的基础之上，结合同弧所对的圆周角相等，即可得证；

（3）通过垂径定理的推论得到/〃*90°,,再根据锐角三角函数求出阳从而得到CV和阳/,再

结合（2）的结论，在以△孙;V中求解即可.

【详解】（1）如图，连接切，AD,•.3C为直径，俏90°,

•.•①平分/4龙，:"ACFNECD,,:DE1BC,/庞R90°,：.ZCAD=ACDE,

■:/CAD=/ADO,:./ADO=/CDE,

：.ZAD&ZODOZODC+ZCDE,即：AADOODE,:.NODE=9Q°,

为半径，，施是。。的切线；

(2)如(1)图，可得N6Z比/

根据同弧所对的圆周角相等，7得NCAA4DBE,：.NCD格乙DBE；

(3)为弦比'的中点，.•.根据垂径定理的推论得：/O循90：

：.NODE=/DEM=/OME=9Q：四边形0/应V为矩形，

2

,:DE=6,在灯△腔中，CE=Df.tanZCDE=6x-=4,

3

由(2)可知，/CD44DBE,

22

tanZ.DBE=—,BE=DEtanZCDE=6=9

33

5

BdBE-CE=9-4=5,；.B后C沪-,

2

525

在RtXBFM中，FM=BM»tanZ.FBM=BM»tanZ.CDE=—x—=—,

233

；•BF=y/BM2+FM2=

6

【点睛】本题考查圆的综合问题，掌握圆的基本性质，证明圆的切线的方法，以及垂径定理及其推

论是解题关键.

7.(2021•山东枣庄市•中考真题)如图，。。是AABC的外接圆，点。在边上，N84C的

平分线交。。于点。，连接80,CD,过点。作。。的切线与AC的延长线交于点P.(1)求证:

DP//BC-,(2)求证：△AB4ADCP；(3)当AB=5cm,4C=12cm时，求线段PC的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)16.9cm.

【分析】(1)连接。£),先根据圆周角定理、角平分线的定义NCOD=2NC4D=NBAC=90°,

再根据圆的切线的性质可得OD_L。尸，然后根据平行线的判定即可得证；

(2)先根据圆周角定理、平行线的性质可得NAT)B=NACB=NP,再根据圆内接四边形的性质

可得ZABD=ZDCP.然后根据相似三角形的判定即可得证；

(3)先利用勾股定理可得6C=13cm,CO=U0cm,再利用圆周角定理可得

2

NCBD=NCAD=NBAD=/BCD=45°,从而可得5。=8=/0cm,然后根据(2)中,

2

相似三角形的性质即可得.

【详解】证明：(1)如图，连接。。，•.•BC是。。的直径，二N84C=90°,

;AD平分NBAC,：.ZBAD=ACAD=-ABAC=45°,

2

由圆周角定理得：ZC(9D=2ZC4D=90o，:.OD1BC，

(2)由圆周角定理得：ZADB^ZACB,

•;DP〃BC，:.ZACB=NP,:.ZADB=/P，

由圆内接四边形的性质得：NA3O+NACD=180°，

ZDCP+ZACD=180°.ZABD=ZDCP.

ZADB=NP

在Z^ABD和ADCP中,<,.\^ABD—^DCP；

Z/\JJD=乙Dir

(3)•••NBAC=90°,AB=5cm,AC=12cm,

_________]]3

:.BC=y]AB2+AC2=13cm-OC^OD=-BC^—cm,

在中，CD=JOC:+Of)?=U也5,

2

由圆周角定理得：NCBD=ZCAD=45°,/BCD=ABAD=45°,

iq

Z.CBD=/BCD,BD=CD=一岳m,

2

13万

prCDPCov

又「FABD~ADCP，,即-=-，

BDAB"夜5

解得PC=16.9(cm),答：线段PC的长为16.9cm.

【点睛】本题考查/圆的切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性

质等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题关键.

8.（2021•湖北黄石市•中考真题）如图，PA，是。。的切线，A、B是切点,AC是。。的

直径，连接OP,交。。于点。，交AB于点E.（1）求证：BCHOP；

（2）若E恰好是。。的中点，且四边形加有的面积是16月，求阴影部分的面积;

(3)若sin/8AC=§,且AO=2x/5，求切线的长.

【答案】（1）见解析；（2）当乃一4g；（3）6点

【分析】（1）证明NP好NC80,根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论;

(2)证明△/如是等边三角形得//盼60°,设。1=凡求出/后立R,A扶gR,PO-2R,根据四

2

边形OAPB的面积是16省求出"，再利用S阴影=S扇形村08-S^OB求解即可；

(3)利用sinABAC=4设出BOm,则AO^m,分别求出AE=而n，际用,在Rt^AED中运用勾

3

股定理列方程，求出。的值，再证明N4/佚/曲C,利用sinNBAC=」求出力的长.

3

【详解】解：(1)证明：•••孙,P8是0。的切线

/.PO±AB,即Z.OEB=90°/.ZEOB+NOBE=90°

是。。的直径.••/46e90°ZEBO+ZCBO^90°

:./EOB=/CBO：.BCIIOP

(2)是阳的中点，且/8_1勿，：.AO-AD,

又AO-OD：./XA0D是等边三角形；.N4的60°

.四是。。的切线，QI是。。的半径，

勿后90°月叱30°：.P0=2A0

在mAAOE中，/4片60°/后30°

设法"，则。£=区AAE=—R

22

AB=2AE=6R,PO=2Ao=2R

•.•四边形。4PB的面积是16g，...；A8P0=16jL即g6R・2R=16G

解得，R=±4(负值舍去)A6=4百,OE=2

VZA(?D=60°ZAOB=\20°

S阴影一S扇形AO5SMOB

Bc]3

(3)ZABC=90°/.sinABAC-——故设BOm,则力俏3/〃，/.AO=­m

AC32

1131

'/0E//BC'.OE=—BC=—mDE=OD-OE=—m——m=m

2222

在服△4加中，AE=ylAO2-OE2=41m在■RtAAED中,AE2+DE2=AD2

/.(V2m)2+m2=(2>/3)2m=2(负值舍去)AE=2^2

•:ZOAE+ZAOE=90°,ZAPO+ZAOE=90°.・.ZOAE=ZAPO

1AE1

sin^.APO—sinNBAC——————PA=3AE=6'\/2

3PA3

【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、扇形面积的计算、勾股定理以及解直角三角形等知识,

灵活运用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径和切线的判定是解题的关键.

9.（2021•山东泰安市•中考真题）如图1,0为半圆的圆心，G〃为半圆上的两点，且BD=CQ.连

接AC并延长，与8。的延长线相交于点反

（1）求证：CD=ED；（2）A。与OC,8c分别交于点尸，H.

①若CP=CH，如图2,求证：=②若圆的半径为2,3。=1，如图3,求4c

的值.

7

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；@AC=-

2

【分析】（1）连接BC,根据ZACB=N8CE=90°，ZECD+ZBCD=90°^BD=CD-则

/E=/ECD，即可推导出CD=E£>；

⑵①CF=CH,则NAR9=NC川7，又BD=CD，NCAD=NBAD,则

进而推导出C-AF=尸0-AH；

②连接。。交BC于G,设OG=x，则£>G=2-x,根据在RtZ\0G8和RtZ\BGO中

列式22-/=12一（2-幻2,进而求得x的值，再根据中位线定理求出4C的长.

【详解】证明：（1）连接BC,

VAB为直径，ZACB=NBCE=90°NECD+ZBCD=90°

'：BD-CD•,0/EBC=/BCDAE=/ECD­•CD=ED.

E

D

O

(2)©VCF=CH:.Z.CFH=/CHF

又：ZAFO=ZCFHZAFO=ZCHF

又：BD=CD^CAD=ZBAD，/^FO^/\AHC

.AFOFAF

——ACFAF^OFAH

'AH~CH~AHCF

②连接0。交BC于G.设0G=x，则DG=2-x

*/CD=BD:.Z.C0D=NBOD又：0C=OB：.OABC,CG=BG

77

在RtAOGB和RtABGD中2?-1?=F一(2-x/；.x=—即OG=—

44

17

VOA=OB：.OG是△ABC的中位线；.OG^-AC：.AC=一.

22

【点睛】本题考查了等弧对等角、相似三角形、等腰三角形、中位线等有关知识点，属于综合题型,

借助辅助线是解决这类问题的关键.

10.（2021•湖南永州市•中考真题）如图1,A3是。。的直径，点E是。。上一动点，且不与4

6两点重合，NE4B的平分线交O。于点C，过点C作CD_LAE,交AE的延长线于点〃.

图1图2

（1）求证：CO是。。的切线；（2）求证：AC2=2ADAO;

（3）如图2,原有条件不变，连接延长A8至点弘NE8M的平分线交AC的延长线于

点只NC4B的平分线交NCBM的平分线于点Q.求证：无论点£如何运动，总有NP=/Q.

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解

【分析】（1）连接04先证明/£4e/购，可得3〃/£,进而即可求证；

（2）连接a7,可证△ZMCS4C45,进而即可得到结论；

（3）由三角形外角的性质可得/四斤生N0,NCB*/CAM=NACB,结合角平分线的定义，可得

乙ACW2乙Q,同理：4AEF22P,进而即可得到结论.

【详解】（1）证明：连接0G

,//FAR的平分线交00于点C,：.NEAONCAB,

•：OA=OC,：.ZCAB=ZOCA,.,.ZEAOZOCA,J.CO//AE,

,/CDLAE,：.COLCD,CD是QO的切线；

(2)连接a

D

•：AB是QO的直径，，=90°,

'：CD±AE,.-.Z^O0,即：NAC氏ND,

:ZDAC=ZCAB,：.ADAC^/\CAB,

ADAC,

——•~——"即nn：AC~=AD-AB>

ACAB

,/AB=2A0,AC2=2AD-AO;

（3）证明：•.•/①犷是448。的一个外角，，/。8氏/。4沪/。，同理：NCB\f~NCAAf=NACB,

：NC4B的平分线交NCBM的平分线于点Q,

：.NCBM=2NQBM,ZCAlf=2ZQAJ/,：.NACB=2NQ,同理：4AEB^ZP,

,.•//=和N/fi?都是直径所对的圆周角，.♦./4除N/既90°,

NP=NQ,即：无论点£如何运动，总有NP=NQ.

【点睛】本题主要考查圆的基本性质，三角形外角的性质，切线的判定定理，相似三角形的判定和

性质，熟练掌握圆周角定理及其推论，切线的判定定理，是解题的关键.

11.（2021•江苏扬州市•中考真题）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：

已知线段3。=2,使用作图工具作NB4C=30°,尝试操作后思考：

（1）这样的点4唯一吗？

（2）点/的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点力的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点

B、C除外），…….小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）.

B''-----C

图1图2备用图

（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决.

①该弧所在圆的半径长为；②AABC面积的最大值为；

（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，

我们记为A',请你利用图1证明ZBAC>30°；

（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2,已知矩形ABCD的边长AB=2,

4

BC=3,点P在直线CO的左侧，且tanN£>PC=—.

3

2

①线段尸8长的最小值为；②若,则线段PD长为.

【答案】（1）①2；②6+2;（2）见解析；（3）①历二5；②堂1

44

【分析】（1）①设。为圆心，连接加，CO,根据圆周角定理得到N8筱60°,证明△物是等边三

角形，可得半径：②过点。作成■的垂线，垂足为£,延长加，交圆于〃，以理为底，则当力与。

重合时，△｛玄的面积最大，求出阳根据三角形面积公式计算即可；（2）延长胡'，交圆于点〃,

4

连接切，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可：（3）①根据tanNDPC=§,连接外，设

点。为切中点，以点。为圆心，工加为半径画圆，可得点尸在优弧。沙上，连接80,与圆。交于

P',可得储'即为郎的最小值，再计算出功和圆0的半径，相减即可得到睇'；②根据/〃，CD

2

和5/8=§5"犯推出点—在//%的平分线上，从而找到点尸的位置，过点「作”如，垂足为

F,解直角三角形即可求出分.

【详解】解：（1）①设〃为圆心，连接加，CO,叱60°,又OB=OC,

△阳C是等边三角形，，阱妗陷2,即半径为2；

②•.•△力欧以龙1为底边，路2,...当点4到欧的距离最大时，△四C的面积最大，

如图，过点。作8c的垂线，垂足为£,延长附交圆于〃，,上行1,D0-B0-2,

；・()行痂匚融一仙,・,•畛6+2，，△18c的最大面积为:x2x(6+2)-6+2;

D

图1

(2)如图，延长的'，交圆于点〃连接切，:点〃在圆上，，/必华/加£

'・'/物'O/BDC+/A'CD,・•・/物'OZBDC,：.ZBAfOABAC,即N"1,030°；

3

(3)①如图，当点尸在，。上，且修一时，

2

CD4

VZPC!)=W°,A±CD=2,A庐B83,：.tanZDPC=—二一，为定值，

PC3

连接阳，设点0为切中点，以点。为圆心，;如为半径画圆，

4

当点尸在优弧板上时，tanADPO-,连接60,与圆0交于尸'，

3

此时外'即为郎的最小值，过点。作叫即垂足为

113

•.•点。是如中点，:.点、E为吃中点,即岭；aM,pac与二PO-,

2724

39________/°7

BB=BC-C43-：.BQ=^BE2+QE2=--,

''PD-4CD2+PC2=|>.,•圆0的半径为；X|=（,

：.BP'-BQ-P'午屈一$,即」卯的最小值为质一5；

44

图2

2CD2

②,・3%3,CW2,S^prcL。U=—3S4尸PAD1则7A-Z-）-=—3，

...△阳〃中49边上的高=/\内切中切边上的高，即点尸到的距离和点一到切的距离相等，

则点〃到/〃和⑦的距离相等，即点夕在N/%的平分线上，如图，过点「作垂足为凡

,:PD平■分乙ADC,:.NAD匕/CH5：△处为等腰直角三角形，

2CF4315

又。2,：.C百D尺〒-五，'：tan/DPC=——一，:.P2*±,

y/2PF34

【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值

问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知

条件找到点P的轨迹.

12.（2021•湖南长沙市•中考真题）如图，点。为以A8为直径的半圆的圆心，点A/，N在直径

AB上，点P，。在AB上，四边形MNPQ为正方形，点C在QP上运动（点C与点P,。不重

合），连接并延长交MQ的延长线于点。，连接AC交MQ于点E，连接。。.

D

（1）求sinNAOQ的值；（2）求包的值；（3）令ME=x,QD=y,直径AB=2R（R>0,

MN

R是常数），求y关于X的函数解析式，并指明自变量X的取值范围.

【答案】（1）侦；（2）（3）里—亚氏产一5R<X（撞

525x555

【分析】（1）连接OP，先利用定理证出RSOPNMR/AOQM,从而可得ON=OM,再在

放△OQM中，解直角三角形即可得；（2）在（1）的基础上，利用AM=Q4—QW求出40的

长，由此即可得;

（3）如图（见解析），先解直角三角形可得QM=2叵H,OM=4^R，再根据圆周角定理、相似

三角形的判定可得MM-^AEM，从而可得?一=——，由此即可得出V关于x的函数解析式,

AMME

FMAM

然后连接AP,交QM于点尸，根据相似三角形的判定与性质可得工=不，由此可求出

PNAN

FM=^~5R,最后根据同M<"E<QM可得自变量x的取值范围.

5

【详解】解：（1）如图，连接0P,则。尸=OQ，

D

•：四边形MNPQ为正方形，，PN=QM=MN,NQMO=ZPNO=90°,

\PN=QM

在RtQPN和Rt/A\OQM中，\.•••RtQPNsRtqQM(HL),：.ON=OM,

设QM=MN=2a,则ON=OM=a,在中，OQ=^QM2+OM2=45a-

.’a八八QM2a275

则sinZAOQ=——==----；

OQV5«5

⑵设QM=MN=2a,则ON=OA/=a，0Q=限，

：,OA=OQ=非a,AM=OA-OM=(y/5-i)a,坐=(止-DJ；

'MN2a2

⑶•.•AB=2R，.•.OA=OQ=OB=R,...sinZAOQ="=述，

OQ5

.•.比=述，解得。”=述氏，OM=y)OQ2-QM2=—/?-

R555

:.BM=OB+OM=5+^R，AM=AB-BM/一4R,

55

••・QO=y，.•.£>/=QD+QM=y+竽R，由圆周角定理得：ZACB=90°,

NDBM+NBAC=90。,

-.■ZQMO=90°,.-.ZDBM+ZD=90°,：.ZD=ZBAC,

ZD^ZEAM

在△丽和△曲中'“加4g9。。'"曲，

口5+V5p

VH---------JK-----------JK

DMBM解得y=£一半R,

,即5,5

AMME^-RX

5

如图，连接AP,交QM于点F，

D

•/PN=MN=QM=R.AM=5一好R,:.AN=AM+MN=R，

555

•.•四边形〃NPQ为正方形,:.QMHPN,：.次FM〜次PN,

5-石R

FMAMFM5K3^5-5

B|J—解得\M=YR，

~PN~AN2V5p5+V5p5

----------A-----------------A

55

•.•点C在QP上运动（点。与点P,Q不重合），

，点E在线段QF上运动（点£与点£Q不重合），

:.FM<ME<QM,即步7R<X〈亚尺,

55

会卜4W百-5*,2后八

分；」一，y=----------/?（-------R<x<------R）.

5x555

【点睛】本题考查了正方形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识

点，较难的是题（3）,正确找出相似三角形是解题关键.

13.（2021•浙江温州市•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，0M经过原点。，分别交x轴、

V轴于A（2,0）,3（0,8）,连结AB.直线CM分别交0M于点。，E（点。在左侧），交x轴

于点C（17,O）,连结AE.

(1)求0M的半径和直线CM的函数表达式.(2)求点。，E的坐标.

(3)点尸在线段4c上，连结PE.当与AOBD的一个内角相等时，求所有满足条件的0P

的长.

1]7

【答案】(1)半径为J万，直线CM的函数表达式为y=-1X+w；(2)点。为(—3,5),点E为

17

(5,3)；(3)5,10或1

【分析】(1)由A(2,0),6(0,8),确定点M为(1,4),再利用两点间距离公式求解即可得到半径

的长，利用待定系数法可直接得到直线的函数表达式；

(2)先作辅助线构造相似三角形，求出=4，=1，即可得到点D为(-3,5)，点£为(5,3)；

(3)先作辅助线，得到NOB。=ABDK=45°,再分三种情况讨论，通过作3_Lx轴于点耳，

证出点耳为符合条件的点，再分别讨论当ZAEP2=ZODB时和ZAE[=N50D时的情况，分别

得到。鸟和。鸟的值，最后完成求解.

【详解】解：(1)•••NAQ3=9()°,为OM的直径.

•.•4(2,0),3(0,8),.•.点加为(1,4),.,・半径为M4=血[J万.

设直线CM的函数表达式为》="+以

rU-1

把C(17,0),“(1,4)代入得1