第1章 直线与方程综合测试（解析版）

第1章直线与方程综合测试第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·上海宝山·高二统考期末）若，，则直线不经过第象限（

）A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【解析】依题意、、均不为，所以直线可化为，因为，，所以，，所以直线的斜率为正，纵截距为正，即直线通过第一、二、三象限，不通过第四象限.故选：D2．（2023·河南南阳·高二校联考阶段练习）若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（

）A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2【答案】A【解析】因为两直线：，：平行，可得且，解得或，当时，，，即，可两平行线间的距离为，符合题意；当时，，，即，可两平行线间的距离为，不符合题意，舍去.故选：A.3．（2023·高二课时练习）已知入射光线所在直线的方程为，经x轴反射，那么反射光线所在直线的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由直线，令，可得；令，可得，即入射光线所在直线与轴、轴分别交于点,如图所示，根据对称性，反射光线比经过点和点关于轴的对称点，所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在直线的方程为.故选：B.

4．（2023·高二课时练习）过点的直线与直线平行，则m的值为（

）A．0 B． C．2 D．【答案】B【解析】由点，可得，因为直线与直线平行，可得，解得.经检验，所得m满足两线平行.故选：B.5．（2023·高二校考课时练习）直线和直线在同一平面直角坐标系中的图像有可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】化简直线方程分别为和，显然的斜率是的纵截距,的纵截距是的斜率，对于A中，由的图象，可得，即；由的图象，可得，即，显然不成立；对于B中，由的图象，可得，即；由的图象，可得，即，显然成立；对于C中，由的图象，可得，即；由的图象，可得，即，显然不成立；对于D中，由的图象，可得，即；由的图象，可得，即，显然不成立；故选：B.6．（2023·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】直线恒过定点，且，，由图可知，或.故选：C.7．（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】，由，解得，故过定点．，由，解得，故过定点，故，距离的最大值为．此时，，则，，解得，故．故选：C．8．（2023·高二课时练习）已知三条直线为，则下列结论中正确的一个是（

）A．三条直线的倾斜角之和为B．三条直线在y轴上的截距满足C．三条直线的倾斜角满足D．三条直线在x轴上的截距之和为．【答案】C【解析】设三条直线的倾斜角，且则，所以所以，且为锐角，所以三条直线的倾斜角之和大于，故A不正确；对于直线，令，得纵截距，同理，所以，故B不正确；由于，且为锐角，所以，由，故，故C正确；直线在x轴上的截距分别为，截距之和为，故D不正确.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2023·江苏·高二假期作业）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（

）A．B．C．以点为直角顶点的直角三角形D．以点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【解析】对于A，因为，所以，所以A正确，对于B，因为，所以，所以B错误，对于C，因为，，所以，所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确，对于D，因为，，所以，所以D错误，故选：AC10．（2023·江苏·高二假期作业）与直线平行且到的距离等于的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】设所求直线方程为，由题意得，解得：或，故所求直线方程为：或.故选：AB.11．（2023·高二课时练习）已知平面上三条直线，，，若这三条直线将平面分为六部分，则的可能取值为（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】ABC【解析】（1）当三条直线中有两条平行，另外一条与这两条相交，此时符合题意，若直线与直线平行，可得，此时满足题意；若直线与直线平行，可得，此时满足题意，（2）若三条直线相交于一点，也符合题意，由，解得，即两直线的交点为，将代入直线，可得，综上可得，实数的值为或或.故选：ABC.12．（2023·高二课时练习）已知直线，则下列结论正确的是（）A．原点到直线l距离等于2B．若点在直线l上，则C．点到直线l距离的最大值等于D．点到直线l距离的最小值等于【答案】ABCD【解析】对于A：由点到直线的距离公式知，，故A正确；对于B：由题意得，当时，则，其中，因为，所以，即.当时，，则，即，综上，点在直线l上，则，故B正确；对于CD：因为，所以的最大值等于，最小值等于，故CD正确；故选：ABCD第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为________．

【答案】【解析】设直线的倾斜角为，因为和向上的方向所成的角为，所以，，故．故答案为：.14．（2023·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）将直线MN绕原点旋转60°得到直线，若直线的斜率1，则直线MN的倾斜角是______（结果用角度制表示）．【答案】105°或165°【解析】直线的斜率1，则直线的倾斜角为45°，当将直线MN绕原点顺时针旋转60°时，直线MN的倾斜角为60°＋45°＝105°；当将直线MN绕原点逆时针旋转60°时，直线MN的倾斜角为180°－(60°－45°)＝165°，故答案为：105°或165°.15．（2023·江苏·高二假期作业）若动点，分别在直线和直线上移动，求线段的中点到原点的距离的最小值为________．【答案】【解析】由题意线段的中点的集合为与直线和直线距离相等的直线，记为，则到原点距离最小值为原点到的距离，设直线，则，解得，所以，根据点到直线的距离公式可得，到原点的距离的最小值为．故答案为：．16．（2023·上海徐汇·高二上海市第二中学校考阶段练习）设，求的最小值是__．【答案】【解析】根据题意可得，表示直线上一点到点和点的距离之和，点关于直线的对称点为，则满足解得；所以点关于直线的对称点为，如下图所示：则所以.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由．(1)，；(2)，．【解析】（1）设直线的斜率分别为，．因为，，所以从而与垂直;（2）因为，从而与平行．18．（12分）（2023·广西南宁·高二校联考开学考试）如图，在平行四边形中，边所在的直线方程的斜率为2，点.求直线的方程.

【解析】∵四边形为平行四边形，∴，∴，∴直线的方程为，即.19．（12分）（2023·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习）已知直线的方程为，若直线过点，且.(1)求直线和直线的交点坐标；(2)已知直线经过直线与直线的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求直线的方程.【解析】（1）因为直线过点，且，所以直线的方程为，即，联立，解得，，所以直线和直线的交点坐标为；（2）当直线在两坐标轴上的截距都为0时，此时直线方程为，当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，此时可设直线方程为，因为直线过，所以，所以，此时直线方程为，即，综上直线的方程为或.20．（12分）（2023·高二校考课时练习）如图所示，某县相邻两镇在同一平面直角坐标系下的坐标为，一条河所在的直线方程为，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇的管道最短，问供水站P应建在什么地方?

【解析】如图，作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，若点（异于点P）在直线l上，连接，，，

则，所以供水站建在点P处时，到A，B两镇所使用的管道最省，设，则的中点在l上，且，即，解得，即，所以，所以直线的方程为，即，联立方程，解得，所以点P的坐标为，所以供水站P应建在点处．21．（12分）（2023·上海杨浦·高二校考期中）在中，顶点的坐标为，的平分线所在直线的方䅣为：，且边上的中线所在直线的方程为：．(1)求点的坐标；(2)求边所在直线的一般式方程．【解析】（1）设点的坐标为，由已知点在直线上，所以，又线段的中点为，点在直线上，所以，解得，所以点的坐标为；（2）由已知点关于直线的对称点在直线上，所以，解得，，所以点的坐标为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.22．（12分）（2023·上海·高二专题练习）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．(1)若直线l的斜率为，求△的面积；(2)若的面积S满足，求直线l的斜率k的取值范围；(3)如图，若点P分向量所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标．【解析】（1）因为直线的斜率为，所以直线的方程为：，整理得：，所以直线与轴、轴正半轴的交点为、，故的面积为.（2）根据题意，直线的斜率存在且，所以直线的方程为：